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1、三十个有趣的不等式安振平中学数学教学参考2017 第 11 期1.， ，（ ， ），tantan3, 求证：0,2且 tan1+1+16.cos coscoscoscoscos2.设 x,y,zR, 且 x2y 2z23 , , 求证： xyz3.xyz3.实数 x,y满足 x5y 52,求证： xy2.4.设 a,b,cR, 求证：3332(abc) .abcbccaababcyzzx5.设 x,y,zR, 求证：x+y(y+z)(z+x)4)xyz.（xyzz6.设 x,y,zR, 且 x+y+z=3, 求证： xx+ yy+ zz3.1xyz1 yz1 zx1 xy7.设 x,y,zR,
2、 求证 :xyyz+yz+zxxyz .xyyzzxzxxy28.设 x,y,z1，且 1112, nN, 求证：xnynznn 1 (x y z) nn 1 x n -1n 1 y n - 1n 1 zn -1.9.设 x,y,zR, 求证：x2+y 2+z21.3 x626 y3 z3y 626z3 x326 x3 y 333 z610. 设 x,y,zR,nN, 正数 x 满足 x n1xn0, 求证： n2 n1 x n1 n 2.11.a,b1,3 ， ab 4, 求证：a1b122 .ba312. 设 x,y,z0， xyz1, 求证： 38x +3 8y38z43 9.13. 0
3、 abc, 求证：a+bc3.a2bb2cc2a14. 设 a,b,cR , 且 abc=8, 求证 :1+114c 2 .a3 )(1b3 )(1c 3 )c3 )(1a3 )a 2b2（1b3 )（1（115.设 a,b,cR，求证 :（a 2b2 )(b2c 2 ) + （ b2c 2 )(c2a 2 )（ c2a 2 )(a 2b2 )2(abbcca).16.设 a,b,cR, 且 a+b+c=3, 求证 :a+b1c3 .1b 21c 2a 2217.设 a,b,cR，且 a 2b 2c2(abc)24, 求证 :(ab1)(bc1)( ca1)( ab) 2 (bc) 2 (ca
4、)2 .18.设 x,y,z为互不相等的正实数，求证：1xy1yz1zx3.xyyzzx19.设 a,b,cR,求证：111)(11139.1，（abcab)cabc20.设 x,y,zR, 且 xy+yz+zx=1,求证 :1+1+133 .2x y z 2 y z x 2z x y421.设 x,y1 ,2 ，求证： ,3x1xy1xxy19 .22xy1x1022. a1 , a2 , an 是互不相同的正整数，求证：a13a23an3n(n1)(a1a2an ).223.设 a,b,cR, 且 a+b+c=3,n2, nN , 求证 :1b n+1cn+1a n3 .2 an2 bn2
5、 c n424.设 1abc, mn且 m,nN , 求证：（ log a b) n +（ log b c) n（ log c a) n（ log b a)m（ log c b)m（ log a c) m .25. 设 ABC 的三边长为 a,b,c ，求证：caaba 2abbcb 2bccac2abc.26. 设ABC 的三边长为a,b,c ，求证：a 2 b(bc)(abc)b2 c(ca)(bca)c 2a( ab)(cab)0.27. 设ABC 的三边长为 a,b,c ，求证：a b c +ab cabc .abacbc28. 设ABC 的三边长为 a,b,c ，且 bc, 求证：8abc( 2a b c)(2bc a)(2c ab).29. 设ABC 的三边长为a,b,c ，面积记为，求证：3a 23b2c243 .30. 设ABC 的三边长为a,b,c ，半周长为p, 面积记为，求证：B CCAA Ba( p a) cosb( p b) cosc( p c) cos2 3 .444