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1、http:/蚂蚁爬行的最短路径1一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3， +10 ，-8， -9，+12 ，-10回答下列问题：（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到0；（ 2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ） 2=114 粒2. 如图，边长为1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是.第 6 题解：如图将正方体展开，根据“两点之间，
2、线段最短”知，线段 AB 即为最短路线AB=22125 3（ 2006?茂名）如图，点A、B 分别是棱长为2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点 A 沿其表面爬到点B 的最短路程是cm第 1页共19页http:/解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4AB4如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（）A A? P? BB A? Q? BC A? R? BD A? S? B解：根据两点之间线段最短可知选A故选 A5如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点 A
3、沿其表面爬到点 B 的最短路程是（）解：如图， AB=12 21210 故选 C第 2页共19页http:/12B1A6 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为 M，一只蚂蚁从 A 点爬行到 M 点的最短距离为 （）解：展开正方体的点M 所在的面，BC 的中点为M ，所以 MC =1 BC=1，2在直角三角形中AM=7如图，点A 和点 B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向 B 处爬行，所走最短路程是cm。解：将盒子展开，如图所示：1111AB=CD =DF +FC=EF+GF =20+20=20cm2222故选 C第 3页共19页http:/8.
4、 正方体盒子的棱长为2， BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M点的最短距离为.第 7 题解：将正方体展开，连接M、 D1，根据两点之间线段最短，MD =MC+CD =1+2=3 ，MD 1= MD 2DD1 2322213 9如图所示一棱长为3cm 的正方体， 把所有的面均分成33 个小正方形 其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用2.5秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面右面由勾股定理得AB=cm；（2）展开底面右面由勾股定理得AB=5cm；第 4页共19页
5、http:/所以最短路径长为 5cm，用时最少： 52=2.5 秒10（ 2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是。解：将长方体展开，连接A、 B，根据两点之间线段最短， AB=25 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1 处（三条棱长如图所示） ，问怎样走路线最短？最短路线长为.D1C1A1 D1B1 CA24B解：正面和上面沿A1B1 展开如图，连接AC1， ABC1 是直角三角形，AC 1= AB2BC1 2421 2 2
6、42325第 5页共19页http:/12如图所示：有一个长、宽都是2 米，高为 3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到 B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。解：由题意得，路径一： AB=；路径二： AB=5；路径三： AB=； 5，5 米为最短路径13如图， 直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为 3cm 的长方形 一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B求：（ 1）蚂蚁经过的最短路程；（ 2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程解：（ 1） AB 的长就为最短路线然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（ cm）；若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（ cm）
7、，或（ cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm（ 2） 5cm+4cm+5cm+4 cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是 30cm第 6页共19页http:/14如图， 在一个长为50cm，宽为 40cm，高为 30cm 的长方体盒子的顶点A 处有一只蚂蚁，它要爬到顶点B 处去觅食，最短的路程是多少？解：图 1 中，cm图 2 中，cm图 3 中，cm采用图3 的爬法路程最短，为cm15如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点 B则蚂蚁爬行的最短路径的长是。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是
8、12cm 和 6cm，则所走的最短线段是=6cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10cm 和 8cm，所以走的最短线段是=cm；第 7页共19页http:/第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是14cm 和 4cm，所以走的最短线段是=2cm；三种情况比较而言，第二种情况最短16如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、 2cmA 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方
9、形，长为20cm，宽为（ 2+3 ） 3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xcm，由勾股定理得：x2=20 2+ （ 2+3）32 =252，解得 x=25 故答案为2517如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm， 3cm 和 1cm， A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是cm。解：将台阶展开，如下图，因为 AC=33+13=12， BC=5，所以 AB2=AC 2+BC2=169，所以 AB=13
10、 （ cm），所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm第 8页共19页http:/答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm18（ 2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从P 点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm解： PA=2（ 4+2 ）=12， QA=5 PQ=13 故答案为： 1319如图，一块长方体砖宽 AN=5cm，长 ND=10cm，CD 上的点 B 距地面的高 BD=8cm，地面上 A 处的一只蚂蚁到 B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？解：如图1，在砖的侧面展开图2 上，连接AB，则 AB 的长即为 A 处到 B
11、处的最短路程解：在 Rt ABD 中，第 9页共19页http:/因为 AD=AN+ND =5+10=15 ， BD=8，所以 AB2=AD 2+BD2=15 2+82=289=17 2所以 AB=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为17cm20（ 2009?佛山）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C1 处（ 1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（ 2）当 AB=4，BC =4， CC1=5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（ 3）求点 B1 到最短路径的距离解：（ 1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC 1D 1 和
12、 ACC1A1故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的A1 1和1（ 2分）CAC（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到 C1，爬过的路径的长是（ 3 分）蚂 蚁 沿 着 木 柜 表 面 经 线 段 BB1到 C1 ， 爬 过 的 路 径 的 长 是（ 4 分）l l，故最短路径的长是（ 5 分）12（ 3）作 B1 E AC1 于 E，则?为所求（ 8 分）21有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C 处，求蚂蚁爬行的最短距离.第10 页共19页http:/第 2 题解： AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离C， D 分别是 BE， AF 的中点AF=2?5=
13、10 AD =5AC= AD2CD 2 16cm故答案为：16cm22有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为 6m，一只老鼠从距底面1m 的 A 处爬行到对角 B 处吃食物，它爬行的最短路线长为.第 3 题解： AB= 52 12213 m12B5A23如图， 一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA1 的端点 A 到达 A1，若圆柱底面半径为6 ，高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为第11 页共19页http:/解：因为圆柱底面圆的周长为26=12，高为 5，所以将侧面展开为一长为12，宽为5 的矩形，根据勾股定理，对角线长为=13 故蚂蚁爬行的最短距离为1324如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高
14、 AB 为 9cm，BC 是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则 AD=24 1 =12cm2又因为 CD =AB=9cm，所以 AC=15cm故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是15cm故答案为： 1525（ 2006?荆州）有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1，BB1 为相对的两条母线在 AA1 上有一个蜘蛛Q， QA=3cm；在 BB1 上有一只苍蝇P， PB1=2cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到 P 点吃苍蝇，最短的路径是cm（结果用带和根号的式子表示）第12
15、 页共19页http:/解： QA=3， PB1=2 ，即可把 PQ 放到一个直角边是4和 5 的直角三角形中，根据勾股定理得：QP=26同学的茶杯是圆柱形，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A 处爬行到对面的中点 B 处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图问题：某正方体盒子，如图左边下方A 处有一只蚂蚁，从A 处爬行到侧棱GF 上的中点M点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图解：如图，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A、 B 分别位于如图所示的位置，连接 AB，即是这条最短路线图第13 页共19页http:/如图，将正方体中面ABCD 和面 CBFG 展开成
16、一个长方形，如图示，则A、 M 分别位于如图所示的位置，连接AM ，即是这条最短路线图27如图， 圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点 B 有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行，它要想吃到母线AC的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是.第 5 题解：圆锥的底面周长是4，则 4=n4 ，180n=180即圆锥侧面展开图的圆心角是180，在圆锥侧面展开图中AP=2 ， AB=4， BAP=90，在圆锥侧面展开图中BP=2025 ，这只蚂蚁爬行的最短距离是25 cm故答案是： 25 cm28如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线 l=5dm， AB 为底面直径，C 为底面圆周上一点，第
17、14 页共19页http:/COB =150，D 为 VB 上一点， VD=现有一只蚂蚁， 沿圆锥表面从点C 爬到 D则蚂蚁爬行的最短路程是（）解：=，设弧 BC 所对的圆心角的度数为=解得 n=90 ， CVD =90，CD =4，n，29已知圆锥的母线长为5cm，圆锥的侧面展开图如图所示，且AOA 1=120 ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A则蚂蚁爬行的最短路程长为。解：连接 AA ，作 OCAA 于 C，圆锥的母线长为5cm， AOA1=120 ，AA =2AC=53 30如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到
18、A 点，它爬行的最短路线长是.第 4 题第15 页共19页http:/解：由题意知，底面圆的直径为2，故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，4 n根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2，180解得 n=90，所以展开图中圆心角为90，根据勾股定理求得到点A 的最短的路线长是：1616324 2 31（ 2006?南充）如图，底面半径为1，母线长为4 的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它爬行的最短路线长是。解：由题意知底面圆的直径=2，故底面周长等于2设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2= 4n，180解得 n=90，所以
19、展开图中的圆心角为90，根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为42 32（2009?乐山）如图，一圆锥的底面半径为2，母线 PB 的长为 6， D 为 PB 的中点一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D ，则蚂蚁爬行的最短路程为。第16 页共19页http:/解：由题意知，底面圆的直径AB =4，故底面周长等于 4设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4= 2n6 ，360解得 n=120，所以展开图中 APD =1202=60，根据勾股定理求得 AD = 33 ，所以蚂蚁爬行的最短距离为3 3 33如图，圆锥底面半径为r ，母线长为 3r ，底面圆周上
20、有一蚂蚁位于A 点，它从 A 点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点，请你给它指出一条爬行最短的路径，并求出最短路径解：把圆锥沿过点A 的母线展成如图所示扇形，则蚂蚁运动的最短路程为AA（线段）第17 页共19页http:/由此知： OA=OA =3r ，的长为 2r2r= n3r ， n=120，180即 AOA=120， OAC=30OC= 1 OA= 3 r223AC =OA2OC 23rAA =2AC= 33 r ，即蚂蚁运动的最短路程是3 3 r34如图， 一只蚂蚁从圆锥底面的A 点出发，沿侧面绕行一周后到达母线SA 的中点 M蚂蚁沿怎样的路径行走最合算？为了解决这一问题，爱动脑筋的
21、银银、 慧慧与乐乐展开了研究（1）善于表现的银银首先列出了一组数据：圆锥底面半径r=10cm，母线 SA 长为 40cm，就这组数据，请你求出蚂蚁所走的最短路程；（2）一向稳重的慧慧只给出一个数据：圆锥的锥角等于60（如图），请问：蚂蚁如何行走最合算？（ 3）通过（ 1）、（ 2）的计算与归纳，银银、慧慧自认为他们已找到问题的解决方法，可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周，请你分析，乐乐为什么认为他们考虑欠周？结合上面的研究，请你给出这一问题的一般性解法解：（ 1） 2?10=n?40180n=90 ，AM=20（ 2）锥角为 60，底面半径的长和母线的长相等，第18 页共19页http:/但缺少母线的长 （ 3）因为银银的数据不合理，因为慧慧缺少条件（ 1）展成平面图形（2）知道母线的长，知道扇形的圆心角度数，以及M 是 SA 的中点，根据三角函数或者构造直角三角形来求解第19 页共19页