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1、171 勾股定理教学设计（第1课时）一、课标分析1教学目标知识与水平：培养准确的观察事物分析事物水平，理解并掌握勾股定理及其证明.并能使用勾股定理解决一些简单实际问题。过程与方法：经历探索及验证勾股定理的过程, 在学生经历“观察猜想归纳验证”勾股定理的过程中，了解利用拼图验证勾股定理的方法，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，感受数形结合和从特殊到一般的思想。情感态度与价值观：经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的文化历史背景，感受数学文化，激发学习兴趣，通过对我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的民族自豪感激发学生爱国热情；在探究活动中，让学生体验自己努力得到结论的成就感，培养
2、学生的合作交流意识和探索精神，体验数学充满探索和创造，体验数学的美感,从而了解数学，喜欢数学。2目标解析我国古代在数学方面又很多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子教学中能够介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心要求学生先观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就要求学生能使用勾股定理实行简单的
3、计算，重点是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度二、教材分析 1内容人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册第十七章第一节“勾股定理”(第1课时)2内容解析勾股定理是中学数学中几个重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是对直角三角形性质的拓展，又为后续学习四边形、函数、解直角三角形等知识做准备.它紧密联系了数学中两个最基本的量一一数与形，能够把形的特征(三角形中有一个角是直角)转化为数量关系(三边之间满足a2+b2=c2 )，堪称数形结合的典范，在理论上有着重要的地位，在数学的发展中起到过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.在此之前，学生对直角三角形已经有了一定的
4、理解，它是平面几何中最常见的图形之一，与日常生活有着密切的联系，它的相关性质在生活实践中有着广泛的应用.在此基础上来探索直角三角形的又一个重要性质勾股定理，应该说有了坚实的基础.教科书增强了对知识的应用，从生活中的问题人手，引导学生应用所学的知识来解决实际问题，积累数学活动的经验，发展学生的数学应用意识和良好的个性品质.本节课内容的教与学，能有效发展学生的动手、动脑、动口、合作交流等水平，进一步增强学生对直觉猜想、类比归纳、演绎推理、割补转化等数学思想方法的理解、领悟、掌握、应用，培养学生的探究水平和创新精神.勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b
5、2=c2，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系：在直角三角形中，已知任意两边长，就能够求出第三边长勾股定理常用来求解线段长度或距离问题勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中应注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理勾股定理是反映直角三角形三边关系的一个特殊的结论在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系，进而得出三边之间的关系
6、但要从等腰直角三角形过渡到网格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，学生有较大困难学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理存有较大的困难，解决问题的关键是要想到用合理的割补方法求以斜边为边的正方形的面积所以，在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考没有网格背景下的正方形的面积关系，再将这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理基于以上分析，本节课的教学难点是：勾股定理的探究和证明三、学情分析(1)八年级学生已具备一定的观察、分析、归纳、猜想和推理的水平，初步掌握了探索图形性质的基本方法，但是对使用割补法和面积法计算、验证几何命题还有一定的困难，
7、对如何将形与数有机地结合起来还感到很陌生. (2) 八年级学生的观察、操作、猜想水平较强，但演绎推理、总结归纳、使用数学的意识还比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、填密性、灵活性相对欠缺；学生普遍学习积极性较高，课堂活动参与较主动，自主探究和合作学习的水平还有待增强，需要在课堂教学中进一步加强和引导. (3)在应用勾股定理解题时，学生常出现的错误有: 忽视勾股定理使用的前提是在直角三角形中，例如，见到三角形的两边是3和4，就会想到第三边是5，而实际上，对于对非直角三角形，不能运用勾股定理;忽视定理的结论与条件的对应关系，例如，当条件是 A=90，误认为结论仍然是则a2+b2=c2忽视应用勾股定理中
8、必要的讨论，考虑问题不全面而造成漏解.学法指导(1)巧设情境，引起认知冲突.提供为学生所熟悉且简明、真实、合理的情境，使学生在观察、思考中构建需要应用勾股定理来解决的数学模型，生成新的问题，引起学生的认知冲突，进而呈现要解决的问题，学生的探索欲望就能被激发出来，从而增强学习的兴趣和学好勾股定理的信心.(2)观察操作，引领探索验证，教科书的总体设计思路是引导学生“做”数学，本节课是定理课，根据学生的认知水平，宜采用“观察特例，发现新知实验操作，探究归纳借图验证，提升方法”的教学流程.在教学过程中，教师要引导学生主动地从事观察、理解、归纳、操作等数学学习活动，使学生在思维积极的状态下进行探究学习;
9、组织好合作交流，并对合作交流的过程进行指导，让学生在自主探究与合作交流中验证勾股定理，经历勾股定理的发现、探索和验证的完整过程，并注意不能以教师的讲解代替学生对知识的自主建构.(3)由浅人深，引导领悟方法.根据本课时教科书内容的特点以及学生的认知特点，通过创设具有启发性、学生感兴趣、有助于自主学习和探究的问题，由浅人深、由特殊到一般地提出问题，引导学生通过实验操作，采用面积法，先从探究等腰直角三角形三边的关系人手，再自然过渡到探究一般直角三角形的三边关系，进而归纳出勾股定理.这种方法是认识事物规律的重要方法之一，掌握这种方法，对于学生良好思维品质的培养有重要作用，对于学生的终身发展也有一定的作
10、用.(4)借助媒体，放大学习资源.充分利用教科书的特点和多媒体的优势，设置问题情境，演示操作过程，以生动的呈现方式，让学生获得形象、直观的感受，在愉快的情绪中学习，使学生获得独立的学习体验.勾股定理的验证方法有很多，可以要求学生在课外用现有的知识再思考、探索几种不同的验证方法，如通过上网查找、翻阅有关资料对知识加以归纳整理，把探索阵地从课堂延伸到课外，充分挖掘学生的潜能.四、教学过程设计环节一 创设情境，激发兴趣问题1 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”这就是大会会徽的图案你见过这个图案吗？它由哪些我们学过的基
11、本图形组成？这个图案有什么特别的意义？它与数学中著名的勾股定理有着密切的联系，今天让我们共同走进“勾股世界”教师板书课题17.1勾股定理(1)师生活动:教师引导学生寻找图形中的直角三角形、正方形等，并说明直角三角形的全等关系。设计意图：本节课是本章的起始课，重视引言教学，从国际数学家大会的会徽说起，设置悬念，引入课题.环节二 探究勾股定理观察特例,发现新知(探究等腰直角三角形三条之间的关系)问题2 毕达哥拉斯(公元前572-前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系三个正方
12、形A，B，C的面积有什么关系？ 师生活动: 学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积追问: 由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？师生活动: 教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，由学生归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方设计意图: 从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化深入探究,交流归纳 (探究网格中直角三角形三
13、条之间的关系)问题3等腰直角三角形有上述性质,其它的直角三角形是否也具有这个性质呢？ 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的关系？ABC 图2ABC 图1师生活动: 学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系师生活动：学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积.由学分别展示并讲解通过割、补的两种方法求出C的面积，教师在学生回答的基础上归纳方法-割补法教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方追问: 正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？设计意图:
14、 网格中的直角三角形也是直角三角形的一种特殊情况,为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法问题4通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？师生活动: 教师引导学生表述直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方设计意图: 在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，为形成猜想提供了典型特例,于是猜想的形成变得水到渠成.得出猜想 (一般直角三角形三条之间的关系)问题5: 以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长
15、为c，我们的猜想仍然成立吗？师生活动: 学生得出猜想:命题1 如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.合作探究,验证定理(借助拼图,验证勾股定理)问题6: 勾股定理的证明方法据说有500多种，下面咱们借助拼图验证命题1是否成立.请同学们利用手中的学具(四个全等的直角三角形,短边为a,长边为b,斜边为c,一个边长为b-a的小正方形),小组为单位拼出图1,并表示这个图形的面积.baac 黄实朱实朱实朱实 朱实 ab C 图1 图2师生活动: 学生表示这个图形的面积有一定难度,留给学生充足的时间,充分交流,并展示交流后得出的结论:面积为a2+b2问题7: 请同学们拼出
16、会徽图案（图2）,并表示拼得图形的面积师生活动: 拼图后表示面积为c2问题8: 你能得出什么结论?师生活动: 师生共同得出结论a2+b2=c2，猜想是正确的，从而验证了勾股定理.设计意图: 通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想拼图验证,加深理解 (介绍赵爽的证法及定理思路，加深对勾股定理的理解)师生活动：教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间部分是一
17、个小正方形（黄实）设计意图: 通过拼图活动,调动学生思维的积极性,为学生提供从事数学活动的机会,发展学生的形象思维;师学生对定理的理解更加深刻,体会数形结合思想. 通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心环节三 初步应用，巩固新知1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.(1)已知a=6, c=10,求b;(2) 已知a=5, b=12,求c;(3) 已知c=25, b=15,求a.2.如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D 的边长分别是1
18、2，16，9，12求最大正方形E 的面积.A B C D E 师生活动: 学生独立完成，教师巡视并个别辅导设计意图: 这是教材书第24页的练习, 是定理的初步应用，帮助学生巩固新知,理解定理作用,已知任意两边都可求第三边3.求出图中两个直角三角形中未知边的长度.设计意图: 勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的所以勾股定理本质上是反映面积关系的如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：；在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想环节四 归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学主要内容
19、，并请学生回答以下问题：（1）勾股定理总结的是什么数量关系？（2）勾股定理有什么作用？设计意图: 让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信环节五 课堂过关,达标测试1.下列说法正确的是( )(A)若a,b,c是ABC的三边,则a2+b2=c2. (B)若a,b,c是RtABC的三边,则a2+b2=c2.(C)若a,b,c是RtABC的三边,A=90,则a2+b2=c2. (D)若a,b,c是RtABC的三边,C=90,则a2+b2=c2. 设计意图: 考察学生能否清晰地辨别勾股定理的表达方式.2. 若一个直角三角形的三边长为6,8，x,则x= .设计意图:考察学生运用勾股定理的能力,以及分类讨论的数学思想. 如图，图中每个小正方形的边长都是1，则BC= ,AB=.ACB设计意图:考察学生运用勾股定理的能力环节六 布置作业1. 教科书28页 习题17.1第15题2. 收集有关勾股定理的证明方法，下节课展示、交流