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1、等比数列前n项和公式教学的新视角厦门市集美区灌口中学 吴清平背景分析：丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念，数学课程标准明确指出“必须关注学生的主体参与、师生互动”，进行在教师指导或引导下的“数学化”过程、“再创造”过程。为贯彻该理念，数学探究活动成了课堂教学的全新教学方式。然而，有些数学结论的发现并不容易，如等比数列前n项和公式推导的思维方法的产生是一个教学难点，乘以公比q后错位相减，如果学生没有事先预习，或者参考课本的方法，既使是优秀的学生也极难想到这一方法，实在没有办法，便只好由老师指出这种方法，学生更多的是惊叹于方法的神奇，却没有自主获得结论的成功感。如何更
2、好地引导学生自主探究并获得结论呢？文1从学生的主体性出发，引导学生独立思考、讨论交流，并获得推导公式的三种方法；文2则由学生的意外发现证明了，从而得出公式，虽然“偏离”了教学目标，却引导学生“经历了一个发现问题、提出问题、解决问题的学习过程”；文3的学生能类比求的方法找到解决问题的突破口；文4从几何视角介绍了求和公式。我们除了惊叹文1、2、3、4学生的聪明才智外，不禁反思：普通学生也能经历如此的发现过程吗？如果学生都无法发现上述的方法，教师又该怎么办呢？（我们曾在普通班级做过试验，5分钟了都没有一位学生能找到思路，只好由教师勉强地给出乘比错位相减法。）教学实录：如何设计问题情境，才能更符合学生
3、的认知规律呢？当我将古印度国王奖励国际象棋发明者的故事抛给学生并引出“求”时，有学生是这样完成的：设，则，猜想，所以。这可是我备课时所没有想到的，学生的意外思维让我怦然心动：或者由此可引出乘比错位相减法！于是更改了自己的课堂预设，而是顺着学生的思路抛出了如下问题：求和：。要猜想的结果并不容易，但在教师的适时引导下及学生的共同努力下可得出。那么呢？有了前面的铺垫，本题的结论是水到渠成的：。此时便可猜想出更一般的结论：。以上的过程展示了从特殊到一般的归纳猜想思想，这不仅与以前的数学结构大不相同，而且承接了前面数列递推公式的内容，符合学生的认知规律，而等比数列的求和公式也呼之欲出：。不过，式仅仅是猜
4、想而已，如何证明其成立呢？在教师的启发下，其实只是多项式的变形：因为 ，当时，。板书时，我有意地按以上的格式来书写，则乘比错位相减法也已跃然纸上：已知为等比数列，公比为q，求其前n项和。模仿以上的过程，因为，所以所以 ，相减得：，当时，。教学反思：1、爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”新课程的教材比以前有了更多的背景足以说明。本节也以国际象棋的故事为引例来激发学生的学习兴趣，然而却在求和公式的证明中以“我们发现，如果用公比乘”一笔带过，这个“发现”却不是普通学生能做到的，他们只能惊叹于解法的神奇，而求知欲却会因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的数学文化背景下进一步拓展学生的视野，使
5、数学知识的发生及形成更为自然，更能贴近学生的认知特征，是每一位教师研讨新教材的重要切入点。2、“课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。”“教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。”这些都是数学课程标准对教材编写的建议，更是对课堂教学实践的要求。然而，在新课程的教学中，“穿新鞋走老路”仍是常见的现状，“重结果的应用，轻过程的探究”或者是应试教育遗留的祸根，却更与教材的编写，教师对课程标准、教材研究的深浅有关，更与课堂教学实践密切相关
6、。我们也曾留足时间让学生思考，却没有人能“发现”用“公比乘以的两边”，设计“从特殊到一般”即由2，3，4，到q，再到，也是对教学的不断实践与探索的成果。因此，新课程教材留给教师更多发展的空间，每位教师有责任也应当深刻理会标准的理念，认真钻研教材，促进标准及教材更加符合学生的实际。3、先看文1由学生自主探究而获得的两种方法：方法1：，当时，。方法2：由定义有，由等比定理有：，于是，得出。且不说初中教材已经把等比定理删去，学生能获得以上两种方法并不比发现乘以来得容易，无奈之下，有的教师便用“欣赏”来走马观花地让学生感受一下，这当然更不可取。回到乘比错位相减法，其实要获得方法1并不难：可以用q乘以，
7、那么是否可以在的右边提出一个q呢？请看：与比较，右边括号中比少了一项：，则有。以上方法仅须教师稍作暗示，学生都可完成。对于方法2，若去掉分母有，与方法1是一致的。4、在导出公式及证明中值得花这么多时间吗？或者直接给出公式，介绍证明，可留有更多的时间供学生练习，以上过程，教师讲的是不是偏多了？如果仅仅是为了让学生学会如何应试，诚然以上的过程将不为人所喜欢，因为按此过程，一节课也就差不多把公式给证明完，又哪来例题与练习的时间呢？但是我们要追问：课堂应教给学生什么呢？课堂教学应从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，挖掘出基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此，本课例在公式的推导及证明中舍得花大量时间，便是为了培养学生学会探究与学习，其价值远远超过了公式的应用。参考文献：1、 鲁彬。注重主体性教学的一个案例。中学数学教学参考，2002，122、 朱胜强。一节“偏离”了教学目标的课等比数列求和公式推导侧记。中学数学教学参考，2003，103、 乔雅丽。等比数列求和公式推导的教学反思。中学数学教学参考，2004，64、 汪晓勤。几何视角下的等比数列求和公式。中学数学教学参考，2006，35、 中华人民共和国教育部制订。普通高中数学课程标准（实验）。人民教育出版社，2003，7