竞赛辅导(静电).PPT.ppt

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1、.,1,静电场,.,2,基本概念,静电场,场强,电势,电场线,等势面,性质.关系,通量,环流,点电荷,试验电荷,电偶极子,.,3,基本规律,库仑定律:,高斯定律:,真空中、点电荷,表述、意义、应用,环路定理:,叠加原理:,力的叠加、场强叠加、电势叠加,表述、意义,.,4,电势分布函数 数已知 或易求,对称性分析；,选Gauss面；,列方程解方程 。,具有对称性,均匀带电球体,无限大均匀带电平面,求,无限长均匀带电圆柱面,均匀带电细圆环轴线,基本方法,.,5,场强分布函数 数已知 或易求,均匀带电球面,均匀带电球体,无限大均匀带电平面,求,无限长均匀带电圆柱面,均匀带电细圆环轴线,.,6,用场强

2、叠加法计算场强的步骤：,1、选微元，写出微元的带电量dq。,2、写出与微元形状相对应的dE， 画出dE的方向。,3、根据带电体的形状，建立坐标系， 写出dE的各分量式。,4、统一变量，积分，计算出E的各分量。,5、写出场强E的大小和方向。,.,7,典 型 场 举 例：,均匀带电球面,均匀带电球体,.,8,无限大均匀带电平面,无限长均匀带电圆柱面,均匀带电 细圆环轴线,.,9,1、导体的静电平衡条件。,2、静电平衡时导体上的电荷分布。,3、导体存在时电场的分布问题。,孤立导体静电平衡时，其表面各处的面电荷密度与表面的曲率有关，曲率越大处,面电荷密度也越大。,静电平衡条件，,电荷守恒，,高斯定理。

3、,一、电场中的导体：,.,10,二、电介质：,电介质：,无极分子电介质,有极分子电介质,电极化：,转向极化,位移极化,介质中的高斯定理,D线与E线的区别,.,11,三、电容：,并联：,串联：,四、电场的能量：,电容器的能量：,电场的能量密度：,.,12,稳恒电场：,电流强度:,电流密度:,电动势:,.,13,1.两个完全相同的导体球，皆带等量的正电荷Q，现使两球互相接近，到一定程度时，则_ (1)二球表面都将有正、负两种电荷分布； (2)二球中至少由一个表面上由正、负两种电荷分布； (3)无论接近到什么程度二球表面都不能有负电荷分布； (4)结果不能判断，要视电荷Q的大小而定。 （一-二-3）

4、,.,14,解：用反证法。设此相互接近的两导体球为A和B，在达到静电平衡时，都带有异号电荷，则A球上正电荷所发电力就有部分终止于B球的负电荷上，因而A球上电荷处的电势 就高于B球上负电荷处的电势 ，即 。可这样一来，作为等势体的B球上的正电荷所发电力线，不仅不可能终止于本身的负电荷上，也不可能终止于A球的负电荷上，而只能终止于无限远处。,.,15,因若有B上发的电力线终止于A上，则有 ，于是会导致 ，即出现了在静电平衡时导体球A不是等势体 荒谬结果。这就是说不可能有电力线终止于A球上，也即导体球A上只有正电荷不能有负电荷。又由于A、B两导体完全相同，且皆带等量正电荷，故同理也可用上述方法证明导

5、体B上也只有正电荷而无负电荷。,.,16,2.有一半径为R的金属球，外面包有一层相对介电常数 的均匀电介质壳，壳内、外半径分别为R和2R，介质内均匀分布着电量为 的自由电荷，金属球接地，求介质外表面的电势。 （一-六）,解：设金属球上带电量为q，由高斯定理可求得介质壳内电场强度为,.,17,在介质外的电场强度,金属球接地，即表示金属球与无限远等电势，有,即：,由上式可求得,介质壳外表面电势为,.,18,3. 设在y-z平面内放置一个边长为a的正六角形线框，其中心位于坐标原点O。现有电量为q的电荷均匀分布在线框上，有人得出在x轴上电场强度的表达式为,其中 代表x轴正向上的单位矢量。你能否举出理由

6、说明此结果并不正确。 （二-三-2）,问答题，3分,.,19,解：下面两条理由举出一条即可 当a0，应得到点电荷场强结果 而此式在a0时给出E=0； 当x时应得到E按正比于1/x2的规律趋于零（点电荷情形）， 而此式在x时却给出E按正比于1/x3的规律趋于零（电偶极子情形）。,.,20,4. 有一平行板电容器，其间充有两层均匀介质，厚度分别为l1和l2。设介质是漏电的，电阻率分别为1和2；介质的介电常数分别为1和2。今在电容器两极板间接上电池，设电流达到稳定时极板间电势差 U1-U2=U，求两种介质分界面上所带的自由电荷密度。 （二-六）,解：设介质1中的电场强度为E1，介质2中的电场强度为E

7、2，介质分界面上自由电荷密度为。 由高斯定理或直接由电场边界条件可以得出,.,21,由场强和电势的关系有：,由、 解得：,将E1、E2的结果代入得：,由电流的稳定恒条件和欧姆定理的微分形式得出：,.,22,5. 两个半径分别为R1和R2(R2R1)的同心金属球壳，如果外球壳带电量为Q，内球壳接地，则内球壳上带电量是_ （三-一-6）,(A) 0,(B) -Q,解：（C） 内球壳接地，其电位应为零。,其中Q为内球壳上带电量。,.,23,6. 平板电容内充满各向异性的均匀介质，设极板间的电场强度为E，电位移矢量为D，介质的极化强度为P对E、D、P的方向可作判断是_ (A) D与极板垂直，E和P是否

8、与极板垂直不能确定 (B) E与极板垂直，D和P是否与极板垂直不能确定 (C) P与极板垂直，E与D是否与极板垂直不能确定 (D) D、E、P都与极板垂直 (E) D、E、P都与极板不垂直 （三-一-10）,.,24,6. 平板电容内充满各向异性的均匀介质，设极板间的电场强度为E，电位移矢量为D，介质的极化强度为P对E、D、P的方向可作判断是_ 解：（B） 由于介质均与且介质内无自由电荷，所以介质内也没有极化体电荷，极化电荷只存在于与极板接解的介质表面。极化面电荷与极板上的自由面电荷等效成平面面电荷分布。 如果电荷分布是均匀的，则介质内电场也是均匀的，并且垂直于极板，满足两个极板是等位面的条件

9、，由于介质是各向异性的，所以P不一定与E同向，因而D也不一定与E同向，所以可以判断E与极板垂直，但不能判定P、D方向。,.,25,7. 对于一个绝缘导体屏蔽空腔内部的电场和电势可作如下判断_ (A)场强不受腔外电荷的影响，但电势要受腔外电荷影响 (B)电势不受腔外电荷的影响，但场强要受腔外电荷影响 (C)场强和电势都不受腔外电荷的影响 (D)场强和电荷都受腔外电荷的影响 （三-一-11）,解：（A） 导体外电荷在导体表面引起感应电荷，腔外电荷与表面感应电荷的总电场在导体壳及腔内为零，所以导体壳层使腔内电场不受腔外电荷影响，为方便选无穷远为电势零点，不难看出腔外电荷及其在导体表面感应的电荷在腔外

10、的电场就改变了导体的电势，从而影响了腔内电势。,.,26,8. 已知两个同心金属球壳的内经分别为a、b， （ba），中间充满电导率为的材料， 是随外电场 变化的，且=KE，其中K为常数，现将两球壳维持恒 定电压，求两球壳间的电流。(四-三-3),解： 由 j= E， =KE 得 j=KE2 在两金属球壳间作半径为r球面S， 则穿过此面的电流,可知,而两金属球的电压,.,27,9. 一半径为R1的球体均匀带正电，体电荷密度为球内半径为R2的小球形空壳为，空腔中心O点与球心 O点相距为a。求空腔内P点处的电场强度E，画出空腔内电力线的分布，求空腔中心O处的电势。 (四-三-4),解： 整个有空腔的

11、带电体可以看成半径为R1的均匀带正电荷（体密度为)的无空腔球体及半径为R2的均匀带负电 荷（体密度为- )的球体叠加而成（带负电荷的球体球心在O ）。,P为空腔内任一点，令OP=r，OP=r，OO=a， 则 r= r-a 对无空腔的均匀带正电球体， 由高斯定理可知,.,28,式中E1为此无空腔球体产生在P点的场强，S为过P点的 以O为球心，r为半径的假想球面，等式左边为E14r2， 这样就可以求得,写成矢量式,再考虑均匀带负电荷的球体（处于空腔位置）在P点产生 的场强E2,由高斯定理，同样可得,将两者叠加可得有空腔时P点的场强E,.,29,对于任一点电势，同样应为均匀带电体密度为的大球与均匀带

12、电体密度为-的小球（小球处于空腔位置）分别在该点产生电势的叠加。 先求半径为R的均匀带电球体，在球内任一点的电势。已知在球内的场强为,（r R1）,由高斯定理、求得球体外的场强为,空腔内电力线为一组平行于OO的线，方向与a相同，如图所示。,.,30,同理，可求得均匀带电体密度-的小球在球内距球心为 r处的电势为,对O点，r = a, r= 0，可得,所以球内距球心为r处的电势为,.,31,10. 在两平行无限大平面内是电荷体密度0的均匀带电空间，如图所示，有一质量为m，电量为q（ 0）的点电荷在带电板的边缘自由释放。在仅考虑电场力不考虑其它阻力的情况下，该点电荷运动到中心对称面oo的时间是_

13、(五-二-4),解：,电场为平面对称场，将高斯定理用于图示的柱面得,.,32,方向沿x轴,点电荷q（0）所受的电力为,此与弹簧振子的受力规律相同，而 -q/0 与倔强系数k相当。 显然点电荷q要在两平行无限大平面内作简谐振动其圆频率为为 ，周期为 ，点电荷q从边缘自由释放运动到对称面OO的时间为,.,33,11. 一半径R，带电量Q的导体球在距球心O点d1处放置一已知点电荷q1，今在距球心d2处再放置一点电荷q2，当该点电荷电量为_时可使导体球电势为零（以无穷远处电势为零） (五-二-5),解：由于q1和q2的影响，导体球上的电荷分布不均匀，但总电量不变。导体球是等势体，球上各点的电势与球心O

14、的电势U0相同。,当U0=0时，则,.,34,12. 半径分别为R1与R2的二同心均匀带电半球面现对放置（如图示），二半球面上的电荷密度1与2满足关系1 R1= -2 R2，（1）试求证小球面对的圆截面S为一等势面，（2）求等势面S上的电势值。 (五-四),解： （1）过均匀带电球面的中心O作一截面，将球分成左右两部分，若左半球的电荷在截面上任一点激发的电场强度E左，,由对称性知，右半球的电荷在截面上同一点激发 的电场强度E右必如图示。因均匀带电球面内任一点的总电场强度为零。,.,35,在本题中，左右两个均匀带电的半球在圆截面S上激发 的电场强度都垂直于S，当然S上的总电场强度也必 垂直于S，

15、故S为一等势面。,S面上的电势为零。,而图中的E左+E右0，显然矛盾，这个矛盾只有当E左和E右都垂直于截面时才能消除，这就断定了均匀带电半球在截面上激发的电场强度必垂直于截面。,（2）既然S为等势面，那S上各点的电势必与O点的电势U0相等，而,.,36,13. 内外半径分别为R1和R2的金属球壳带有电量Q，则球心处的电势为_。若再在球壳腔内绝缘的放置一电量为q0的点电荷，点电荷离球心的距离为r0，则球心处的电势为_;若又在球外离球心的距离为R处,放置一电量为q的点电荷,则球心处的电势为_（五-一- 9）,解：金属球壳带有电量为Q时，其电量分布在外表面，且均匀分布如图（a）。,.,37,当球壳腔

16、内绝缘放置q 0时，导体球壳电量分布如图（b） 利用电势叠加原理则O点电势为q 0，-q0，Q+q0产生电势的叠加。,球壳外再放置q，如图c，O点电势加上q作用的结果，,根据均匀带电球面场分布，球体为等势体，故球心O处电势与球面等势,.,38,14. 某质子加速器使每个质子获得动能 ，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为 .假定质子与金属球相碰后将其电荷全部交给金属球，经足够长时间后，金属球的最高电势(无穷远处电势为零)为 (七-一-4) (A)2000V. (B)1500V. (C)1000V. (D)3000V.,.,39,质子是在带电金属球的

17、保守场中运动，它的能量守恒，即,解：金属球达到最高电势时，质子轨迹刚好与金属球相切，质子所受力为有心力，它对球心O的角动量守恒，即,由(1)、(2)、(3)式联立解得,.,40,解：接过第k个抽头时，电容器上电压为 ，电量为 .现接第(k+1)个抽头再充电，电量变为 ，新增电量 .,最后电容器上电压为 ，故总能量为,这次充电电压是 ，充电过程中这第(k+1)个电池作功 ，将各次充电作的功相加，得电流所作的总功为,.,41,16. 一平行板电容器中有两层具有一定导电性的电介质A和B，它们的相对介电常数、电导率和厚度分别为 、 、 、 、 、 ；且 ，d为平板电容器的两块极板之间的距离.现将此电容

18、器接至电压为V的电源上(与介质A结束的极板接电源正极)，设极板面积为S，忽略边缘效应，试求稳定时,(1)电容器所损耗的功率P； (2)电介质A和B中的电场能量 和 ； (3)电介质A和B交界面上的自由电荷面密度 和束缚电荷密度 . （八-四）,解： (1)极间电阻 ， 损耗功率,.,42,(2)由电介质A、B中电流密度相等，有,解得电场强度,电场能量,(3)由D的高斯定理，,由E的高斯定理，有,.,43,17.在半径为R的金属球内偏心地挖出一个半径为r的球形空腔。在距空腔中心O点d处放一点电荷q，金属球带电为-q，则O点的电势为 （九-一-3） (A) (B) (C) 0. (D) 因q偏离球

19、心而难以求解,解：据静电平衡条件，金属球内表面带电量为-q，(金属球内表面电荷并不均匀分布)，设dS面积上电荷面密度为 .,据电势叠加原理：,.,44,18 .静电天平装置如图.一空气平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，(d极板线度)下极板固定，上极板接天平一头.当电容器不带电时，天平正好平衡，若电容器两极板加有电压U，则天平另一头需加上质量为m的砝码，天平才能达到平衡，求所加电压U= （九-二-3）,(E为两板电荷在两板间产生的合场强),解：两极板相互作用力,E为一个板在另一板处所产生的场强.,.,45,20 .无限大带电导体板两侧面上的电荷面密度为 ，现在导体板两侧分别充以介电常数 与

20、 ( )的均匀电介质，则导体两侧电场强度的大小 ， 。 （九-二-4）,解：充入电介质后，导体板两侧自由电荷分布改变，设自由电荷面密度分别为 与 ，,对板外电场，将自由电荷、束缚电荷一并考虑，它犹如一块均匀带电的大平板，板两侧的电场强弱相同，即,电荷守恒定律：,.,46,21. 三等长绝缘棒连成正三角形，每根棒上均匀分布等量同号电荷，测得图中P、Q两点(均为相应正三角形的重心)的电势分别为 和 .若撤去BC棒，则P、Q两点的电势为 ； . （十-一-3）,解：设AB、BC、CA三棒对P点的电势贡献及AC对Q点的电势贡献皆为U1 ,AB、BC棒对Q点的电势贡献皆为U2.由电势叠加原理，有,撤去B

21、C棒后应有,.,47,22. 真空中，在半径为R的接地金属球外，与球心O相距为a(aR)处，置一点电荷q,不计接地导线上电荷的影响，则金属球表面上的电荷总量为 =_. (十一-一-11),解：因为金属球处于静电平衡，所以是等势体，即U球心=U球=0,.,48,23. 两个固定的均匀带电球面A、B的球心距离d远大于A、B的半径，A的带电量为4Q(Q0)，B的带电量为Q.由两球心确定的直线记为MN，在MN与球面相交处均开出一个足够小的孔，随小孔挖区的电荷量可不计. 将一带负电的质点P静止地放在A球面的左侧某处，假设P被释放后恰能穿经三个小孔越过B球面的球心，试确定开始时P与A球面球心的距离x。 (

22、十一-三-15),.,49,解：P能达到B球心的必要条件是能到达A、B之间的库仑力平衡点S，对力平衡点S有：,如果质点P从静止开始，达到S时，也刚好静止，则P在出发点和S点，应有相同的静电势能，即：,由三式解得：,.,50,如果P点在B球心处的电势能WB小于在S处的电势能WS，则P点到达B球心时将具有一定的动能，可以越过B球球心。,因RB d，故有 即 WBWS，故质点P必能越过B球心。,.,51,24. 真空中边长为2a的立方体形导体带有电量Q，静电平衡时全空间的电场总能量记为W1；真空中半径为a的球形导体带有电量Q，静电平衡时全空间的电场总能量记为W2，则W1、W2间的大小关系为W1_W2

23、 ( 填 、=、 ）。 (十二-一-4 ),解：带电导体的静电场能量：,对边长为2a的立方体，处处有ra，而总量等于Q的电荷不可能只分布在立方体与球相切的四个切点上，故必有U10U20，即W1W2。,Q相同时，只需比较U的高低。,导体为等势体，选择其几何对称中心O计算电势。由点电荷电势叠加，有,因导体电荷分布在表面，对导体球，r=a,.,52,25. 球形电容器的两个极为两个同心金属球壳，极间充满均为各向同性的线性介质，其相对介电常量为r，当电极带电后，其极上电荷量将因介质漏电而逐渐减少。设介质的电阻率为，t = 0时，内、外电极上电量分别为Q0,求电极上电量随时间减少的规律Q(t)以及两极间

24、与球心相距为r的任一点处的传导电流密度j(r,t). (十二-一-4 ),解：方法一：取包围内电极，位于内外电极之间的任一闭合面，由电流连续性方程，有,介质均匀，、r处处相同，,.,53,由高斯定理，,将式代入方程，分离变量后得微分方程,代入初始条件，求出方程的解为,因j、 E呈球对称，沿径向，有 ，,极间任一处传导电流密度为：,.,54,方法二：设两电极间电阻为R，电容量为C，由欧姆定律I=U/R，又U=Q/C及I=-dQ/dt，可得微分方程,球形电容器电容为,电流沿径向呈球对称，总电阻可看作半径为rr+dr 的无限多个薄球壳电阻串联，故总电阻,将R、C值代入方程并分离变量，,.,55,26

25、. 在xoy面上倒扣着半径为R的半球面上电荷均匀分布，面电荷密度为 ，A点的坐标为（0，R/2），B点的坐标为（3R/2，0）电势差UAB为_. (十三-一-4 ),解： 由于电荷分布关于Z轴旋转对称，所以场关于Z轴旋转对称。B、C两点电势相同，其中C在y轴上，坐标（0，3/2R）。,补上下半球面成为完整球面，对原来场E上，补充的下半球面场为E下，整个球面场为E总。由对称性y轴上的E总沿y方向，E上、E下关于xy平面对称。, y轴上,场在y轴上分量E上y、E下y相等，且等于E总/2，即 E上y =E下y =E总/2,.,56,UA、UC为整球面场中A、C的电势。 由均匀球面电势关系，,.,57

26、,27. 厚度为b的无限大的平板内分布有均匀电荷密度(0)的自由电荷，在板外两侧分别充有电常数为1与2的电介质， 1）求板内外的电场分布；2)板外的A点与B点分别距左右两板壁为l , 求电势差UAB . (十三-二-11),以MM作底面作垂直板面的高斯面，求得电位移矢量与电场度:,解：假设板内存在一E=D=0的平面MM距左侧面为d1距右侧面为d2，根据对称性，E,D的方向垂直板面，,.,58,因板左侧至A点的电势差与板右侧至B点的电势差相等，所以 A点与B点的电势差仅需计算板左侧至板右侧的电势差UAB，即,（ 方向由左指向右）,E1=-E2, 得 d1/1=d2/2, 与d1+d2=b联立得:

27、,.,59,28. 有两个半径分别为5cm和8cm的薄铜球壳同心放置，已知内球壳的电势为2700V，外球壳带电量为8.010-9C，现用导线把两球壳联接在一起，则内球壳电势为 V. (真空介电常量 0=8.8510-12C2/Nm2） (十四-一-7),解：令内球壳带电量Q, 外球壳的电势为u，,用导线把两球壳联接后,电荷全部都跑到外球壳上去了, 内外球壳的电势u相等。,.,60,29. 板间距为2d 的大平行板电容器水平放置，电容器的右半部分充满相对介电常数为r的固态电介质，左半部分空间的正中位置有一带电小球P，电容器充电后P恰好处于平衡状态，拆去充电电源，将固态电介质快速抽出，略去静电平衡

28、经历的时间，不计带电小球P对电容器极板电荷分布的影响,则P将经t=_ 时间与电容器的一个极板相碰. (十四-一-8),解:令小球的质量为m,电量为Q.电容器极板的面积为S,电量为Q.初电场强度为E0,末电场强度为E,初电容为C0,末电容为C。欲求t,需求E.,.,61,抽出电介质后,小球P受的合力为,小球的加速度为：,.,62,30. 一直流电源与一大平行板电容器相连，其中相对介电常数为 的固态介质的厚度恰为两极板间距的二分之一，两极板都处于水平位置，假设此时图中带电小球P恰好能处于静止状态.现将电容器中的固态介质块抽去，稳定后试求带电小球P在竖直方向上运动的加速度a的方向和大小. (十六-1

29、3),解：P必为负电荷，其电量记为-q，质量记为m, 将两极板间距记为2d.,开始时，介质外的场强记为 E1 ,有,抽去介质后，场强记为E2，有,.,63,开始时P受力平衡，有,P的加速度向下，有,抽掉介质后，P受的合力向下，有,.,64,解： P1、P2、P3、P4各点的电势分别为,.,65,电场对P1P2轴呈旋转对称性，故将圆上各点的电场绕P1P2轴旋转便是球面上的电场，因圆上各点的场强皆不为零，故球面上各点的场强也必皆不为零，显然，第三空的答案为“否”，第四空的答案为“是”。,.,66,32. 半径为r的金属球远离其他物体，通过理想细导线和电阻为R的电阻器与大地连接。电子束从远处以速度v

30、射向金属球面，稳定后每秒钟落到球上的电子数为n，不计电子的重力势能，试求金属球每秒钟自身释放的热量Q和金属球上的电量q.（电子质量记为m，电子电荷量绝对值记为e） (十五-16),解：稳定后流经电阻R的电流为 I=ne R上的损耗功率为 P=I2R=n2e2R 单位时间n个电子带给金属球的动能为 Ek=nmv2/2 金属球自身释放的热量便为 Q=Ek-P=n(mv2/2-ne2R) 金属球的电势为 U= -IR= -neR U与球面电荷q的关系为 U=q/40r 即得 q = - 40rneR,.,67,讨论：仅当电子的动能能够克服球的斥力所作的功，电子才会落到球上，这要求mv2/2-eU 即

31、有 nmv2/2e2R 事实上从热量的表达式也可得到Q0的条件为上述不等式，如果nmv2/2e2R，球电势U的绝对值将增大，球上电荷对外部电子的排斥将增大，落到球上的电子数将会减少，直到n=mv2/2e2R为止。,.,68,解：,.,69,34. 半径为R的半球面A的球心 O位于O-z轴上距O点R处，半球面横截面与O-xy面平行，坐标原点O处有一电量为q的点电荷，则半球面A的电通量 . (十七-7),解： 以 为半径作一球面，它被半径为R的半球面截下一球帽，球帽的高度为 ，球帽的面积为：,球帽对点电荷q张的立体角为：,已知点电荷q在 立体角内的电通量为 ，故在球帽上的电通量为：,.,70,35

32、. 近代量子量子理论认为，电子在核外的位置虽然是不确定的，但在给定的量子态下，位置的概率分布是确定的，据此，可以将氢原子基态的电子模型化为电荷连续分布的球对称电子云，电荷密度为,总电量为_，氢原子在距中心r=a0处的电场强度方向 _，其绝对值为_. 参考公式：,qe为电子电量绝对值，按照这一模型，在半径r=a0的球体内电子云,(十八-5),.,71,解：在半径r = a0的球内，电子云的总电量为,.,72,将高斯定理应用于r=a0的球面上得,氢原子核的电量为qe，半径为a0的球面包围的电量与球面内的电子云的电量之和为正值，因此该球面上的电场强度E的方向沿径向朝外。,.,73,36. 在每边长为

33、a的正六边形各顶点处有固定的点电荷，它们的电量相间为Q或-Q。(1)试求因点电荷间静电作用而使系统具有的电势能W, (2)若用外力将其中相邻的两个点电荷一起（即始终保持它们的间距不变）缓慢的移动到无穷远处，其余固定的点电荷位置不变，试求外力做功量A。(十八-12),解： 其他点电荷在Q处的电势为,.,74,同理，其它点电荷在-Q处的电势为,系统的电势能为:,（2）用功能原理知，外力做的功应等于系统电势能的增量，系统的初态如图1所示；把图1中相邻的两个点电荷移动到无穷远处，便是末态，系统的初电势能便是上面的W，下面分析系统的末电势能。图2中2、3、4号点电荷处的电势为,.,75,1、4、3号点电

34、荷在2号点电荷处的电势为,2、1、4号点电荷在3号点电荷处的电势为,1、2、3号点电荷在4号点电荷处的电势为,.,76,图3中两个点电荷的电势能为,外力所做的功为,图2中这四个点电荷的电势能为,.,77,在q从B点再移动到无穷远处的全过程中， q受的电力qE始终与位移dr同向，故电力做功为：,37. 电量为q的实验电荷在电量为Q的静止点电荷周围电场中，沿半径R的四分之三圆轨道由A点移动到B点的全过程中，电场力做功为_，从B再移动到无穷远处的全过程中，电场力做功为_. (十九-7 ),解：在q沿圆形轨道从A点移动到B点的全过程中，,q受的电力qE,始终与路径垂直，故电力做功为零。,.,78,38

35、. 电荷Q 均匀地分布在半径为R的球面上，与球心O相距R/2处有一静止的点电荷q，球心O处电势为_,过O点的等势面面积为_.,解：球心O处的电势为,Q在球面内不激发电场，故单对Q而言，球面内为等势区，因此，球面内的等势面仅由q决定；而q的等势面为以q为中心的球面族，故过O点的等势面面积为,.,79,41. 各支路电流方向已在图中设定，据此，节点电流方程为_。左侧小回路电压方程为_。 (十九-9 ),将基尔霍夫第二公式用于左侧小回路得,将基尔霍夫第一公式用于节点得,解：,.,80,A、B两端点之间的总电阻为：,36. 每两点间实线所示短导线的电阻为1,则A、B两端点间的电阻为 (十七-7),解：

36、可将电路等效为图示的实线和虚线电路的并联，二支路各自的电阻相同，为,.,81,38. 直流电路如图，,各支路电流方向方向限定按图示方向选取，先建立可求解支路电流的字符方程，再带入数据计算出3个支路电流I1、I2、I3。 (十八-11),基尔霍夫第一方程用于节点,基尔霍夫第二方程用于左侧回路,基尔霍夫第二方程用于右侧回路,.,82,43. 图示的电路中，通过调节可变电阻器的R 值，能将图中5电阻的消耗功率降到的最低值为Pmin= _,此时R=_. (二十-7 ),解：题示电路中的电阻10与可调电阻R为并联，其并联电阻为 ,故题示电路可等效为如图所示的电路。,.,83,由 得 R=90() (第二

37、空),显然,合理. 既然5电阻中得电流可以为零,当然其消耗功率的最低值为： Pmin=0 (第一空),为求解，先假设5电阻中无电流，再求R，从而求出R,若R的值合理，则表明假设正确。 因5电阻中无电流，故A、B两点的电势差为零，即C、A间的电势差等于C、B间的电势差；,.,84,解：在A、B之间加电压时，由电路的对称性可知图中的CFDEC环中应没有电流流过，因此该环可以取消，这样A、B之间的电阻就时4个电阻皆为R/2的半圆环相并联的结果，故：,.,85,如果在A、C之间加电压，则从电流分布看，上、下两半是对称的，因此可作如图所示的叠合. 图中虚线两侧电流对称，因此对应的各段电流亦应对称.所以图中应有,这样就可以认为 、 电流和 、 电流各自独立而不在E、F点相交接，,于是该电路可以等效为如图所的一些电阻的联接.,