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1、2.4.2抛物线的简单几何性质,范围 对称性 顶点 离心率 基本元素,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意义:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,一、温故知新,抛物线的定义及标准方程,求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。,解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,由抛物线y2 =2px（
2、p0）,所以抛物线的范围为,二、探索新知,如何研究抛物线y2 =2px（p0）的几何性质?,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。,即点(x,-y) 也在抛物线上,故 抛物线y2 = 2px(p0)关于x轴对称.,则 (-y)2 = 2px,若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。,y2 = 2px (p0)中， 令y=0,则x=0.,即：抛物线y2 = 2px (p0)的顶点（0，0）.,注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物
3、线的离心率。,由定义知， 抛物线y2 = 2px (p0)的离心率为e=1.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。,三.归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有 对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、 一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响
4、.,P越大,开口越开阔,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,四、归纳总结,抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；,抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,抛物线的离心率是确定的，等于；,抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；,抛物线的通径为2P, 2
5、p越大，抛物线的张口越大.,1、范围：,2、对称性：,3、顶点：,4、离心率：,5、通径：,探照灯、汽车前灯的反光曲面，手电筒的反光镜面、太阳灶的镜面都是抛物镜面。,抛物镜面：抛物线绕其对称轴旋转而成的曲面。,灯泡放在抛物线的焦点位置上，通过镜面反射就变 成了平行光束，这就是探照灯、汽车前灯、手电筒的 设计原理。,平行光线射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都 经过抛物线的焦点，这就是太阳灶能把光能转化为热能 的理论依据。,因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），,解:,所以设方程为：,因此所求抛物线标准方程为：,例：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经
6、过点M（，），求它的标准方程.,三、典例精析,例3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水下降1米后，水面宽多少？,o,A,思考题,2,B,A（2,2）,x2=2y,B（1，y）,y=0.5,B到水面的距离为1.5米,不能安全通过,y=3代入得,例题2,例4、斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。,解法1 抛物线的焦点 F(1 , 0),解法2 抛物线的焦点 F(1 , 0),解法3 :抛物线的焦点 F(1 , 0),|AB |= |AF|+ |BF | = |AA1 |+ |BB1 | =(x1+1)+(x2+1)
7、=x1+x2+2=8,A1,B1,x,y,O,A,B,D,F,L,2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）,一、直线与抛物线位置关系种类,1、相离；2、相切；3、相交（一个交点，两个交点）,与双曲线的情况一样,x,y,O,二、判断方法探讨,1、直线与抛物线相离，无交点。,例：判断直线 y = x +2与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相离。,x,y,O,2、直线与抛物线相切，交与一点。,例：判断直线 y = x +1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相切。,二、判断方法探讨,3、直线与抛物线的对称轴平行，
8、相交与一点。,例：判断直线 y = 6与抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元一次方程，容易解出交点坐标,二、判断方法探讨,x,y,O,例：判断直线 y = x -1与 抛物线 y2 =4x 的位置关系,计算结果：得到一元二次方程，需计算判别式。相交。,4、直线与抛物线的对称轴不平行，相交与两点。,二、判断方法探讨,三、判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行（重合）,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,判断直线是否与抛物线的对称轴平行,不平行,直线与抛物线相交(一个交点),平行,三、判断
9、直线与抛物线位置关系的操作程序（二）,计 算 判 别 式,数形结合,设直线l,：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C相切、相交、相离,【点评】直线与抛物线的位置关系有三种，即相交、相切、相离这三种位置关系可通过代数法借助判别式判断当直线与抛物线的对称轴平行或重合时直线与抛物线也是相交，此时只有一个交点,例1。已知抛物线C：y24x，设直线与抛物线两交点为A、B，且线段AB中点为M（2，1），求直线l的方程.,说明：中点弦问题的解决方法： 联立直线方程与曲线方程求解 点差法,练习 抛物线y2=4x的焦点为F, 点M在抛物线上运动, A(2,2), 试求 |MA|+|MF|的最小值.,M,F,A,A1,M1,解 |MA|+|MF| =|MA|+|MM1| |AA1|=3,即 |MA|+|MF|的最小值为3.,1、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离.,判断直线与抛物线位置关系的操作程序（一）,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行（重合）,相交（一个交点）,计 算 判 别 式,【课堂小结】,