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1、北师大版七年级上册第五章一元一次方程知识点总结（一）、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2. 一元一次方程：只含有一个未知数 (元 )x；未知数 x 的指数都是 1(次 )； 的方程叫做一元一次方程 .例如：1700+50x=1800 ； 2（x+1.5x ）=5 等都是一元一次方程. （例 1）3方程的解：使方程中等号左右两 相等的未知数的 ；叫做方程的解. （例 2）注：方程的解和解方程是不同的概念；方程的解 上是求得的 果；它是一个数 (或几个数 )；而解方程的含 是指求出方程的解或判断方程无解的 程. 方程的解的 方法；首先把未知数的 分 代入方程的左、右两 算它 的
2、 ；其次比 两 的 是否相等从而得出 .（二）、等式的性 等式的性 (1) ：等式两 都加上(或减去 )同个数 (或式子 )； 果仍相等 .等式的性 (1) 用式子形式表示 ：如果a=b；那么 ac=b c等式的性 (2) ：等式两 乘同一个数；或除以同一个不 0 的数； 果仍相等；a b等式的性 (2) 用式子形式表示 ：如果a=b；那么 ac=bc;如果 a=b(c ；0)那么 c=c（三）、移 法 ：把等式一 的某 号后移到另一 ；叫做移 （例 3）（四）、去括号法 1. 括号外的因数是正数；去括号后各 的符号与原括号内相 各 的符号相同2. 括号外的因数是 数；去括号后各 的符号与原括
3、号内相 各 的符号改 （五）、解方程的一般步 （例 4）1. 去分母 (方程两 同乘各分母的最小公倍数)2. 去括号 (按去括号法 和分配律 )3.移 (把含有未知数的 移到方程一 ；其他 都移到方程的另一 ；移 要 号)4.合并 (把方程化成 ax = b (a 形式0) )5. 系数化 1(在方程两 都除以未知数的系数a；得到方程的解 x= ba).一列一元一次方程解 用 的一般步 （ 1） ：弄清 意 （ 2）找出等量关系：找出能 表示本 含 的相等关系（ 3） 出未知数；列出方程： 出未知数后；表示出有关的含字母的式子； ?然后利用已找出的等量关系列出方程 （4）解方程：解所列的方程；
4、求出未知数的 （ 5） ；写答案： 所求出的未知数的 是否是方程的解；?是否符合 ； 后写出答案二、一元一次方程的 用1. 和、差、倍、分 ：增 量原有量增 率 在量原有量增 量（ 1）倍数关系：通 关 “是几倍； 增加几倍；增加到几倍； 增加百分之几； 增 率”来体 .（2）多少关系：通 关 “多、少、和、差、不足、剩余”来体 .例 1：兄弟二人今年分 15 和 9 ；多少年后兄的年 是弟的年 的2 倍？解： x 年后；兄的年 是弟的年 的2 倍；则 x 年后兄的年 是15+x；弟的年 是9+x1 / 4（点拨： -3 年的意义；并不是没有意义；而是指以今年为起点前的3 年；是与3?年后具有
5、相反意义的量）1. 一个数的 3倍比它的 2倍多 10；若设这个数为 x；可得到方程 _.2.用一根长 80厘米的绳子围成一个长方形；且这个长方形的长比宽多10厘米；则这个长方形的长和宽各是_、 _. 面积是 _.2. 等积变形问题：（1）“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常用等量关系为：形状面积变了；周长没变；原料体积成品体积.（2)常见几何图形的面积、体积、周长计算公式；依据形虽变；但体积不变圆柱体的体积公式V=底面积高 S h r 2h长方体的体积V长宽高 abc例 2 将一个装满水的内部长、 宽、高分别为 300 毫米； 300 毫米和 80?毫米的长方体铁盒中的水；倒入一个
6、内径为 200 毫米的圆柱形水桶中； 正好倒满； 求圆柱形水桶的高 （精确到 0.1 毫米； 3.14 ）解：设圆柱形水桶的高为x 毫米；依题意；得1.一根内径为 3的圆柱形长试管中装满了水；现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8、高为 1.8 的圆柱形玻璃杯中；当玻璃杯装满水时；试管中的水的高度下降了 .3. 工程问题 ：工程问题：工作量工作效率工作时间完成某项任务的各工作量的和总工作量1例 3. 一件工程；甲独做需 15 天完成；乙独做需 12 天完成；现先由甲、乙合作 3 天后；甲有其他任务；剩下工程由乙单独完成；问乙还要几天才能完成全部工程？11x解：设乙还需x 天完成全部工程；设工作总量
7、为单位1；由题意得； ( 15+12) 3+12=11. 甲、乙工程队从相距 100m的马路两端开始挖沟；甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的 2倍少 1m；若 5天完工；两队每天各挖几米？4. 行程问题：路程速度时间时间路程速度速度路程时间（ 1）相遇问题：快行距慢行距原距（ 2）追及问题：快行距慢行距原距2 / 4（ 3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变；水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系例 4. 甲、乙两站相距 480 公里；一列慢车从甲站开出；每小时行 90 公里；一列快车从乙站开出；每小时行 1
8、40 公里 .（ 1）慢车先开出1 小时；快车再开. 两车相向而行. 问快车开出多少小时后两车相遇？（ 2）两车同时开出；相背而行多少小时后两车相距600 公里？（ 3）两车同时开出； 慢车在快车后面同向而行；多少小时后快车与慢车相距600 公里？（ 4）两车同时开出同向而行；快车在慢车的后面；多少小时后快车追上慢车？（ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行；快车在慢车后面；快车开出后多少小时追上慢车？解： 设快车开出x 小时后两车相遇；由题意得；解： 设 x 小时后两车相距600 公里；由题意得；解：设 x 小时后两车相距600 公里；由题意得；解： 设 x 小时后快车追上慢车.由题意得；解
9、： 设快车开出x 小时后追上慢车. 由题意得；例 4.1. 已知轮船逆水前进的速度为 m千米 / 时；水流速度为 2千米 / 时；则轮船在静水中的速度是 _.1. A、 B两地相距 30千米；甲、乙两人分别从 A、 B两地同时出发；相向而行 . 已知甲比乙每小时多走 1千米；经过 2.5 小时两人相遇；求甲、乙两人的速度？5. 商品销售问题（ 1）商品利润率商品利润商品成本价 100%（ 2）商品销售额商品销售价商品销售量（ 3）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（ 4）商品打几折出售；就是按原标价的百分之几十出售；如商品打 8 折出售；即按原标价的 80%出售有关关系式：商品售价 =商品标
10、价折扣率（ 5）商品利润 =商品售价商品进价 =商品标价折扣率商品进价例 5. 工艺商场按标价销售某种工艺品时；每件可获利45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低35 元销售该工艺品12 件所获利润相等. 该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是x 元 , 标价是（ 45+x）元 . 依题意；得 :8 （ 45+x） 0.85-8x= （45+x-35 ） 12-12x1. 一家商店将某种服装按进价提高40%后标价；又以8 折优惠卖出；结果每件仍获利15元；这种服装每件的进价是多少？3 / 46. 流水行船问题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题；流水
11、问题属于行程问题；仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答.解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系.已知船的顺水速度和逆水速度；求船的静水速度及水流速度.解答这类问题；一般要掌握下面几个数量关系：船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度船速 +水速 =顺水船速船速水速 =逆水船速（顺水船速 +逆水船速） 2=船速（顺水船速逆水船速）2=水速顺水船速 =船速 +水速 =逆水船速 +水速 2过桥问题一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道；研究其车长、车速、桥长或隧道道长；过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题.解答这类应用题；除
12、了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外；还必须注意到车长；即通过的路程等于桥长或隧道长加车长.基本公式有：桥长 +车长 =路程平均速度 过桥时间 =路程过桥时间 =路程平均速度7.数字问题（ 1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为a；十位数字为b；百位数字为c十位数可表示为10b+a； 百位数可表示为100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中a、b、 c 均为整数；且1a 9； 0 b 9； 0 c 9）（ 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系；较大的比较小的大1；偶数用 2n表示；连续的偶数用2n+2 或 2n 2 表示；奇数用2n+1 或 2n1 表示 .例 7一个两位数；十位上的数字与个位上数字和是8；将十位上数字与个位上数字对调；得到新数比原数的2 倍多 l0 求原来的两位数4 / 4