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1、合情推理与演绎推理习题课（第4 课时）学 目 ：1通 ， 一步体会合情推理和演 推理 两种分析 的方法.2. 能 的 行 或 比推理，得出相关 ，能用演 推理的方法 行 明 .学 重点 ： 推理和 比推理原理的 用 . 学 点 ： 推理和 比推理原理的 用 . 学 程：一、课前准备 ： 教材合情推理和演 推理的内容，并解答下列 1数列2,5,11,20, x,47, 中的x 等于（B）A 28B 32C 33D 272. 下列几种推理 程是演 推理的是（A）A .5 和 22 可以比 大小；B. 由平面三角形的性 ，推 空 四面体的性 ；C. 我校高中高二 有 18 个班， 1 班有 51 人
2、， 2 班有 53 人， 3 班有 52 人，由此推 各班都超 50 人；D. 股票走 .3. 等式 122 232n21(5n 27n 4)（B ）2A n 任何正整数 都成立B 当 n1,2,3 成立C当 n4 成立， n5 不成立D 当 n4 不成立4. 已知数列an的前 n 和 Sn ，且 a11, Snn2 an nN * ， 猜想出Sn 的表达式 （A）A 、2n2n12n12nn1B、1C、1D 、nnn 2*5 已知： sin 2 30sin 2 90sin 2 1503 ，2sin 2 5 sin 2 65sin 2 1253 ，22223si n 1 8 s i n 7 8
3、si n 1 3，82通 察上述等式的 律，写出一般性的命 ：sin 2 (60 )sin 2sin2 (60 )3.2二、典型例题 ：【例 1】 平面内有n 条直 （ n 3 ），其中有且 有两条直 互相平行，任意三条直 不 同一点，若用f (n) 表示 n 条直 交点的个数， f (4) =5 ，当 n4 时f (n)1 (n 1)(n2) （用 n 表示） .2【解析】 f (2) 0 ， f (3)2 ， f(4) 5 ， f (5)9 .可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数所以f (3)f (2)2, f (4)f (3) 3, f (5)f (4) 4猜测得出
4、f (n)f ( n 1)n 1 ，有 f (n)f (2) 2 3 4(n 1) ，所以 f (n)1 ( n 1)(n 2)，21 ( n因此 f ( 4)5, f ( n)1)( n 2) .2动动手 ：在等差数列 an 中，首项为 a1 ，公差为 d ，则有a2a1da3a2danan 1d我们可以得出：ana1(n1)d.【例 2】平面几何与立体几何的许多概念、性质是相似的，如：“长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直” ；“长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直” ，请用类比法写出更多相似的命题【解析 】（ 1）（平面）在平行四边形中，对角线互相平分；（立体）在平行六面
5、体中，对角线相交于同一点，且在这一点互相平分；（2）（平面）在平行四边形中，各对角线长的平方和等于各边长的平方和；（立体）在平行六面体中，各对角线长的平方和等于各棱长的平方和；（ 3）（平面）圆面积等于圆周长与半径之积的1/2；（立体）球体积等于球面积与半径之积的1/3；（4）（平面）正三角形外接圆半径等于内切圆半径的2 倍；（立体）正四面体的外接球半径等于内切球半径的3 倍.动动手 ：在平面上， 到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线；类比在空间中：（ 1）到定直线的距离等于定长的点的轨迹是什么？（2）到已知平面相等的点的轨迹是什么？答：（ 1）圆柱面；（ 2）两个平行平面 .【例 3
6、】将下列推理恢复成完全的三段论（ 1）因为ABC 三边长依次为 5， 12， 13，所以 ABC 为直角三角形；（ 2）函数 yx2x 1的图象是一条抛物线 .【解析 】（ 1）一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形（大前提）；ABC 的三边长依次为 5， 12，13，而 1325212 2（小前提）；ABC 是直角三角形（结论） .（2）二次函数 yax2bx c a 0 的图象是一条抛物线（大前提）；函数 yx 2x1是二次函数（小前提）；函数 yx 2x1的图象是一条抛物线（结论） .三、总结提升：1. 归纳推理的特点：（ 1）归纳推理是依据特殊现象推断一般现象，因而，有归
7、纳所得的结论超越了前提所包容的范围；（ 2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测的性质；（ 3） 的前提是特殊的情况，所以 是立足于 察、 或 的基 上的.2 推理的一般步 ：（ 1）通 察个 情况 某些相同性 ；（ 2）从已知的相同性 中推出一个明确表述的一般性命 .3. 比推理的特点：（ 1） 比是从人 已 掌握了的事物的属性，推 正在研究中的事物的属性，它以旧有的 作基 ， 比出新的 果；（ 2） 比是从一种事物的特殊属性推 另一种事物的特殊属性；（ 3） 比的 果是猜 性的，不一定可靠，但它却具有 的功能.4. 比推理的一般步 ：（ 1）找出两 事物
8、之 的相似性或一致性；（ 2）用一 事物的性 去推 另一 事物的性 ，得出一个明确的命 .5. 用三段 推理 ，首先 明确什么是大前提和小前提； 于复 的 ， 是采用一 串的三段 ，把前一个三段 作 下一个三段 的前提.四、反 “1. 数列的前几 2， 5，10， 17，26，数列的通 公式 n21 .2. 从 1=1， 14(12),149123,1 4916(1 234) ，概括出第 n 个式子 149161n 1 n(n 1)n.*3.从 112 ， 23432 ， 34567 52 中得出的一般性 是n( n1)(2n1)2n(3n2)(2n 1)2 , nN *.4. 在等差数列an
9、中，若 mnpq ， (m, n, p, qN * ) ， amanap aq ，通 比，提出等比数列an的一个猜想是若 mnpq,( m,n, p, qN * )， aman apaq5. 察（ 1） tan100 tan 200tan 200 tan 600tan 600 tan10 01 ；（2） tan5 0 tan10 0tan10 0 tan 750tan 750 tan5 01（3） tan 200 tan 400tan 400 tan30 0tan30 0 tan 2001由以上三式成立，推广到一般 ，写出你的推 .【解析】 可以得到的一般 是：若, , 都不是 90 0 ，且
10、900 ， tan tantan tantan tan1.6 比 的下列特征，找出球的相关特征（ 1）平面内与定点的距离等于定 的点的集合是 ；（ 2）平面内不共 的 3 个点确定一个 ；（ 3） 圆 有周 和面 ；（4）在平面直角坐 系中，以点( x0 , y0 ) 心， r 半径的 的方程 ( x x0 )2( y y0 ) 2r 2 .【解析 】： (1) 在空 内与定点距离等于定 的点的集合是球；（ 2）空 中不共面的4 个点确定一个球；（ 3）球有表面积与体积；（ 4）在空间直角坐标系中，以点( x0 , y0 , z0 )为球心，r为半径的球的方程为( xx0 )2( yy0 )2( zz0 ) 2r 2五、学后反思