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1、因式分解的十二种方法因式分解的方法顺口溜因式分解的十二种方法:把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现如下：1 、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。例 1、 分解因式 x?-2x?-x (xx淮安市题 )x? -2x? -x=x(x? -2x -1)2 、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式 a? + 4ab + 4b? (xx南通市中考题 )解： a ? + 4ab +4b?
2、 =（a+2b）?3 、 分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式 a ，把它后两项分成一组，并提出公因式 b ，从而得到 a(m+n)+b(m+n), 又可以提出公因式 m+n，从而得到 (a+b)(m+n) 例3、分解因式 m ? + 5n - mn - 5m解： m ? + 5n - mn - 5m= m? - 5m - mn + 5n= (m? -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4 、 十字相乘法对于 mx ? +px+q形式的多项式，如果 a b=m,cd=q且 ac+bd=p，则多项式可
3、因式分解为(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7x ? -19x-6分析： 1 - 37 22 - 21=-19解： 7x ? -19x-6=（7x+2）(x-3)5 、配对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例 5、分解因式 x ? +3x-4033 解 x ? +3x - 40=x ? + 3x + ( 2) ? - ( 2 ) ? -40313=(x + 2 ) ? - ( 2 ) ?313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 )=(x+8)(x-5)1*注： ( ) ? + =( ) ?=( )
4、 ? 2444226 、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解： bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c a + a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个数，然后进行因式分解，最后再转换回来。例 7、分解因式 2x4 -x? -6x ? -x+2解： 2x4 -x? -6x ? -x+
5、2=2(x4 +1)-x(x? +1)-6x?11=x? 2(x? + x?)-(x+ x )-6 1令 y = x + x ,11则 x ?2(x? + x? )-(x+ x )-6 = x? 2(y? -2)-y-6= x? (2y? -y-10)=x? (y+2)(2y-5)11=x? (x+ x +2)(2x+ x -5)= (x? +2x+1) (2x? -5x+2)=(x+1)2(2x-1)(x-2)121 注： y? =(x+ x ) = x? + x? +28 、 求根法令多项式 f(x)=0,求出其根为 x 1 ,x2 ,x3 ,?x n ,则多项式可因式分解为f(x)=(x
6、-x1 )(x-x2 )(x-x3 )?(x-xn )例 8、分解因式 2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6解：令 f(x)= 2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=01 通过综合除法可知， f(x)=0 根为 2 ，-3 ，-2 ，1则 2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)注： 2x 4 +7x3 -2x2 -13x+6=2x4 +7x3 -2x2 -7x-6x +6=2x4 -2x2 +7x3-7x-6x +6=2x2 (x2 1) + 7x (x2 1) 6 (x -1)=2x2 (x +1) (x -1) + 7x (x +1
7、) (x -1) 6 (x -1)=(x - 1) 2x2 (x +1) + 7x (x +1) 6 =(x - 1) (2x3+2x2+ 7x2 +7x 6 )=(x - 1)(2x3+9x2+7x 6 )=(x - 1)(2x3+6x2+3x2+9x -2x 6 )=(x - 1) 2x2 (x +3) +3x(x + 3) -2(x + 3 )=(x - 1)(x +3)( 2x2 +3x -2 )=(x - 1)(x +3)( 2x -1)(x + 2 )1 所以四根分别是： 1；-3 ；2；-2 。9 、 图象法令 y=f(x) ，做出函数 y=f(x) 的图象，找到函数图象与X 轴
8、的交点 x 1 ,x 2 ,x 3 , ?x n，则多项式可因式分解为f(x)=f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )?(x-xn )例 9、因式分解 x 3 +2x2 -5x-6解：令 y= x3 +2x2 -5x-6作出其图象，见右图，与x 轴交点为 -3 ，-1 ，2则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)注： x 3 +2x2 -5x-6= x3 +x2+x2 +x-6x -6= x2（x +1 ）+ x （x+1）- 6 （x +1 ）=（x +1 ）（ x 2+ x- 6）= （x +1 ）（ x +3 ）（ x -2 ）10 、 主元法先选定一个字
9、母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。例 10、分解因式 a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)分析：此题可选定a 为主元，将其按次数从高到低排列解： a 2 (b-c)+b2(c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2c 2 )+(b2 c-c2 b)=a2 (b-c)-a(b-c) (b+c)+bc (b-c)=(b-c) a2 -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c) ?（十字相乘）11 、 利用特殊值法将 2 或 10 代入 x ，求出数 P ，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2 或 1
10、0 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x ，即得因式分解式。例 11、分解因式 x 3 +9x2 +23x+15解：令 x=2，则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将 105 分解成 3 个质因数的积，即105=357注意到多项式中最高项的系数为1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值。（即： 3=2+1，5=2+3，7=2+5）则 x 3 +9x2 +23x+15= （x+1）（ x+3）（ x+5）12 、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例 12、分解因式 x
11、4 x 3 -5x2 -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 x 4x 3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd则 x 4 x 3 -5x2 -6x-4 =(x2 +x+1)(x2 -2x-4)关于“易知这个多项式没有一次因式”，本人理解为最高次方的系数为 1。或者设 x 4 x 3 -5x2 -6x-4= （x+a）(x3 + bx2 +cx+d)关于待定系数法，下面还有讲解：待定系数法就是说设原式 =（x+a)(x2+bx+c), 因为 x 3 一项
12、系数是一，所以这么设， 然后将它展开和原式对比系数列出 3 个方程就可以解出 a,b,c, 然后判断后边那个 2 次的能不能进一步分解， 如果 a,b,c 无解就说明原式无法分解。一元 n 次方乘根与系数关系这么推倒，以3 次为例，设 3 个根为x 1,x 2,x 3 则任意 ax 3+bx2+cx+d就可以写成 a(x-x1)(x-x2)(x-x3)将右边展开和左边对比系数就能得到根与系数的关系。4 次及 n 次方程类似。四次的比较麻烦，必须先设原式=(x+a)( x3+bx2+cx+d)，如果可以解出数，就可以继续分解后面那项，如果这样不行，则要设原式=（ x 2+ax+b)(x2+cx+d) 再来看看有没有解，如果还是没有解，那必然无法在实数范围内分解。因为这两个括号里的 2 次也许都无法在实数范围内进一步分解，所以只设上面那一种 =(x+a)(x3+bx2+cx+d) ，无法包括这种情况。高次的待定系数法我认为也要类似这么讨论内容仅供参考