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1、专题二利用导数研究函数的性质2009-2-24高考趋势导数作为进入高中考试范围的新内容，在考试中占比较大常利用导数研究函数的性质，主要是利用导数求函数的单调区间、求函数的极值和最值，这些内容都是近年来高考的重点和难点，大多数试题以解答题的形式出现，通常是整个试卷的压轴题。试题主要先判断或证明函数的单调区间，其次求函数的极值和最值，有时涉及用函数的单调性对不等式进行证明。考点展示1.二次函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在第 一 象限2BCAyx1O345612342如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则 2 ；函数在处的导数 -2 3.曲线在点处的切线
2、的倾斜角为 45 4.设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则 1 5.设，若函数，有大于零的极值点，则a的取值范围 6.已知二次函数的导数为，对于任意实数，有，则的最小值为 2 7.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则_32_ _ 8.过点P（2，8）作曲线的切线，则切线方程为_ 12x-y-16=0或3x-y+2=0 样题剖析例1、设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。解: (1) ，由于函数在时取得极值，所以 即 (2) 方法一：由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充
3、分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 方法二：由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立，即于是的取值范围是点评：函数在某点处取得极值，则在这点处的导数为0，反过来，函数的导数在某点的值为0，则在函数这点处取得极值。变式1.若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是 由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，变式2.已知函数，（为常数）则对所有实数成立的充分必要条件（用表示）为 （1）由的定义可知，（对所有实数）等价于（对所有实数）这又等价于，即对所有实数均成立. （*） 由于的最大值为， 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件变式3.函数对于总有成立，则= 4 解
4、：若，则不论取何值，显然成立；当 即时，可化为，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而；当 即时，可化为， 在区间上单调递增，因此，从而，综上YXAPBRDOCQ例2、如图，等腰梯形ABCD三边AB，BC，CD分别与函数的图像切于点P，Q，R，求梯形ABCD面积的最小值解：设P的坐标， 利用基本不等式得，最小值为变式：设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解：（）方程可化为，当时，；又，于是，解得，故（）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即令，得，从而得切线与直线的
5、交点坐标为；令，得，从而得切线与直线的交点坐标为；所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为；故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值，此定值为；总结提炼1. 要掌握求函数的极值的一般步骤，利用导数研究函数的单调性，另外要熟记常见函数的导数公式以及和、差、乘积和商的导数公式2. 曲线上某点处的切线与过某点的切线之间是有区别的3. 切线的几何意义比较明显，解题时，应多结合图形，图形可以帮助确定解题方向，也可以帮助及时找出错误。自我测试1. 过原点作曲线yex的切线，则切点的坐标为 (1, e) 2.直线是曲线的一条切线，则实数 3.已知函数,R满足，且在R上的导数满足，则不等式的解集为
6、_ _. （构造函数）4.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是 5 米/秒 5.母线长为1的圆锥体积最大时，圆锥的高等于 6.半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： ，式可以用语言叙述为： 解：V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数”（本题考查类比的思想方法，本题属于中等题）7.已知函数的图象在x=2处的切线互相平行. （1）求t的值.（2）设
7、恒成立，求a的取值范围. （1）解：函数的图象在x=2处的切线互相平行，t=6 （2）t=6，= 令当是单调减函数，在是单调增函数当当满足条件的a的值满足下列不等式组： 或 不等式组的解集为空集，解不等式组，得 综上所述，满足条件的a的取值范围是 8.已知函数的导数为实数，.（）若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求、的值；（）在（）的条件下，求经过点且与曲线相切的直线的方程；（）设函数，试判断函数的极值点个数解（）由已知得， 由，得， 当时，递增；当时，递减 在区间上的最大值为，又， 由题意得，即，得故，为所求 （）解：由（1）得，点在曲线上 当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即 当切点不是切点时，设切点为，切线的斜率， 的方程为 又点在上， ， ， ， ，即， 切线的方程为8分故所求切线的方程为或 9分（ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意）（）解： 二次函数的判别式为，令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点 5普通教学