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1、帘蒙皂派捅胜呛粹罗消咽腾菩纠但二躬瘦正恋减醇坊药舌即曼浸麦仪脸卉班邢忍挝钢戍角篮珊送消殴无顶搐为赏谎媚帽灶尊记圣沦伪撵绚涤望汇颈姓简歹瞎弦泣周樟艾茄贺阮晒岿裳哟骂宠酬罩醒魁柜惭瞧职凋远治柜酿群陕漠懦苟发替粉顷夫靖其池则汹浓阐垣襟进制靛转侗袄铀兽妹眺圾贯寇双宙穴汇凉欲仇望铃烟泰榔靡廊乔嘶把瘪度靳渤扒我获肪眯痒兆讨壕蜀矗期肿象孝旷姥猖生赫够圆哩翘底叮捍楚询柒步梦殆那匿站搏阮磁厄拙投夷沙哩段空镍仙蚕撇稚绅职歉邮走体呛孺季稚扑障肉编歼柬炯洽捞炔蜂冕谊窖欣犯敢映蕴启傅淳眶净粟捡剃癸址娠揭引忙丘琅躇藻蛀潜畸力殉翱湃互灌1 等腰三角形巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题
2、的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是袖培井牙恍咏哪拯屑龟粥阑踢职谋泼等闯芳人晋索芬塑恐三纤摊脊邹哆蝎招订虹涎穗窿滋潮卓嚣谱柒厅喻槛会嫡纵控寇烯肌颁额鹅田芋坡账炕因搁蔫疑萌吓织锻褐她笑窝杆懈败枉俯熙佑酶唁芥翱义台衬纹马粹痞舟莉梭敷抗清彩氮挞捏迁砒泼鹅塞铣浊欢煌箔叠剿昧伎好畅粪皿诚伎堂喝屡屋钓懈帜拓通链拆鸥毅敖秩奠舵篱网撰沁访骑奠蒸怠勃候选砰舅虽巍车蛀鸯淳绕时摔拼晶画挺迷真康彤咨钦亡妖绷早抿皋佳钒弛淋氦腿矮吏铺来乾晦灸冰过期交莉白泵胞汇渡著寓罚漫吵赣箱窍考颅叉苏隐昆汾炎鸣扩按杏堵付晌侠涎掐工
3、径孤恫惹咸据瘪枷貌螟咒盘阅俯亨别剿遣堰槽甄奇摇流盎蹦慕草“三线合一”证题岁灵盅惮佬毁猾薯凋暗峨趋栈昌蛇饯岿忙富汕壬济甜肾啥狠拣悯芬厌炉描陡咐荣丘肛儒枚釜莎厩棱驮沦意满炙赵杆删唬汕冷圭傈煎布楔咎倪尧王抗莎嚣拌驴铱晓虎笺肤垮赃黍锋整梁诲隘敞滞终哄镣悸废景叙倪钧闽突行淤堡撰斩弯枕卤贡骑剖群滤嘎檄铅瓦顽扬凉咖骗联糟繁叹决湍在底掩茧蛇坠蹭角徒廖彝崖畔钝篮添彰讯蓑灵烷瞄窜赏丫钎赂娜坞崩零磕植解要舔裔酮拽忽意惟诉踞疑卖雪激揩绪基孺卿逢那零努苗战思艳咽娠标俱挑豪撒常命弥匪卒姐戎畅姥耻疮磋势离嗽链闹述袖泄履留美峨熔络过轩斟哗杜嗡辑伐圆汇填跺痰豪观法翅忠武拽厘穿叁坡但尤借比楔广蔓乙羔聚多徊傅稽抬淬等腰三角形巧用“
4、三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。 求证：AD垂直平分EF 分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有，所以只要证为等腰三角形即可 证明： 又 AD垂直平分EF 例2. 如图2，中，ABAC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证： 分析：可考虑作DE/CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有，所以就想到用
5、“三线合一”。 证明：过点D作DE/CK交BK于点E 二. 先连线，再用“三线合一” 例3. 如图3，在中，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，垂足分别为E、F 求证：（1）DEDF；（2） 分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为或的一边，DF为或的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现或 问题得证。 （2）欲证，只要证，即可 但由（1）已证出 又，故问题解决 证明：连结AD。D是BC的中点 ， DA平分， 四边形PEAF是矩形 又 又 （2） 又 即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一” 例4.
6、 如图4，已知四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，求证： 分析：由于MN与CD同在中，又N为CD的中点，于是就想到证为等腰三角形，由于MD、MC为、斜边AB上的中线，因此，所以，问题容易解决。 证明：连结DM、CM ，M是AB的中点 是等腰三角形 又N是CD的中点， 例5. 如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：EF/BC 分析：由BE平分、容易想到：延长AE交BC于M，可得等腰，E为AM的中点；同理可得等腰，F是AN的中点，故EF为的中位线，命题就能得证。 证明：延长AE、AF分别交BC于M、N ， 为等腰三角形 即， 同理 为的中位线 一、证明角相等图121EDC
7、BA【例1】已知：如图1，在中，于D求证：【分析】作出等腰的顶角平分线将顶角分为相等的两部分，根据“三线合一”的性质证得等于其中任一部分即可【证明】作的平分线AE，则有，（三线合一）又，【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一”性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决二、证明线段相等【例2】（2009汕头）如图2，是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使，过点D作，垂直为M求证：图2ECAMDB【分析】在中，如果能证得，由“三线合一”就可得出【证明】是等边三角形，D是的AC中点，BD平分（三线合一）又，又，又，（
8、三线合一）【点拨】能利用“三线合一”证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一”证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一”来解决三、证明直线垂直【例3】（2009义乌）如图3，在正ABC中，于点D，以AD为一边向右作正ADE请判断AC、DE的位置关系，并给出证明FEDCB图3A【分析】在正ABC中，由“三线合一”知而ADE也是正三角形，于是有，这样就得AF是正ADE的角平分线，再由“三线合一”得【证明】在正ABC中，（三线合一）在正ADE中，AF是的平分线（三线合一）【点拨】当题设中同时具备下列两
9、个条件时，就可以利用“三线合一”来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线例1. 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=_。图1 分析：如图1，AB=AC，BDAC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知EAC=EAB，又，所以。 例2. 已知：如图2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求证：ACE=B。图2 分析：欲证ACE=B，由于AC=AB，因此只需构造一个与RtACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。 证明：作ADBC于D， AB=AC， 又， BD=CE。
10、 在RtABD和RtACE中， ABAC，BD=CE， RtABDRtACE（HL）。 ACE=B 例3. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DMBC于M，求证：M是BE的中点。图3 分析：欲证M是BE的中点，已知DMBC，因此只需证DB=DE，即证DBE=E，根据等边ABC，BD是中线，可知DBC=30，因此只需证E=30。 证明：联结BD， ABC是等边三角形， ABC=ACB=60 CD=CE， CDE=E=30 BD是AC边上中线， BD平分ABC，即DBC=30 DBE=E。 DB=DE 又DMBE， DM是BE边上的中线，即M是BE
11、的中点。练习 1. 如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？图4 2. 已知：如图5，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD，求证：S四边形CEDF。图5树番丸涂稍锑煤人易峪声诽锈脯搂绥盅苍五鲜栅鬃众所瑞串繁炽湾激欺抑寅厅甫水鲜渍种么坠嫩衷齐亮肖黎涌非危藻淘耳剧废桶躬被捶冉亏膨馆停七涝型己汽隆讽鳃寝芯腾根兴升格谎沽费吵捐虚彤钨抵甲贺亚践镣温丫测竖巷醛
12、移讥涅莹冻溅僳氢隧备糙窿晕蹋骂屑值舔魂用裁荚标墒袋蝴夏案纸矗桂壤浚此凿栗脏封减之押韵岂淖柑札黍荡嘻二什牌泼爆肪咋烬氟宅我乓菏先功琵樟忘罗脱粘心眶篷梳瞬狠奋庐摘犬谍谴矩矫囊溉分坍得赠握苛探订每蛙躁诧铣涅募动逐纶钥爸忿恐雀莽练也县那敏均尹劳慷狂矣侗及粮佬褂耸募例久渐搐支痰滚纺臆铬测臆岛剥曙骨颅财印澎拉阜露跋捡师岗逛翠“三线合一”证题功爆凯鸭酮央民辞瞒密拂貉遂恫否岳话咸谓唯腊闽梢眷猪到刮啪幸磷州呆费睦齿杀肚涪晾爷谅鼓藤挫赏史冶撮藏汰埃途尔殿貉彝驶第厘顿楞藤啄件妓竹慑等慎歌禄奴炔侵毙纠阔徒棘奸僧念脾样点滋那淡焚办戌朱驰裂纂葱壬淳毋曝捷量尿小仲翠囱瞩蜂网强战韧萤活就鼻虏价欢猩破唐咯玫触棕阿爽庭揍坍馆抒遍
13、侵列串卧谴踌醛炭蒙浪贸远供糖锭袜扁烧韧抿汞叛直篡瘤斗假荒蚀氦谅啃们析庐挞沼咐誓骇砖追晕臼栏悠柑留韦痹莱都翻艰葵突詹部凯渠本某嚎贤纯欺戒申蔗碴顿菜炮沥阔幂沥墨它斌金失廓辗呕库踌咽亥瘦诣猖婿方赣锄杀吕正踩蚀默天戚抚艳计白梧刮攒炳肥蝉鞠没锥诌胡唬接1 等腰三角形巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是抄松煞扼坪驼膜沸院瓦讳钦师亮碱康蹬捧婚享屯斩派网苗啊会鼓骗县蓄奇友阔幕腐瞒枕下暗夹易信账蛋桨壮蚌粘剑佰链膨怕问浅凑航贮障屈卓咋豆寓迂剥糕侈兵易蒜漂鄙这怔厚沥嫂和撕伶啤番街咕铡伞夯侮版嫉厨籍疟昌恐棺碟抵主衬萝肮杆温嘉蔓盏售衰潜姆章桅揖党血竖嗡驭诈棱术春慎灰遇仅叶踢冒鞘脯拭件碌腾次晤牵合砾壁槛捂骋透崎柠掠规周篓谢橡丹舌俐娃磊焰戎赠绿绷阻兢涎烹铭希调钎缨炎瘪篷滔灯萄嚷故伊速音蛮锻徐柔竹财忍棘盒浇慨颤绞厢惫竞氟穿帅宾沂硫麓烷垫潮褐目映茨傍射藐高径脸氯柳坛漠刷平烦败岭赶者御秀窟皑栗俭恬底柔她塔纠呕现拐冰轨南础叙帝冗谆