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1、一、高斯点,定义：高斯公式,机械求积公式,含有2n+2个待定参数,若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次（2n+1次?!）代数精度，则这类公式称为高斯公式。,(4.1),定义：高斯公式的求积节点称为高斯点。,?,请回顾:,以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯 特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？,除中矩形公式外都不是！,注：机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。,举例,求 a,b上的两点高斯公式。,解,设两点高斯公式为,这是关于四个未知数的非线性方程组，是否有解？一般难于求解,要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程:,高斯点具有以下性质：,定理,插值型求积公式(4.1)成为Gauss求积
2、公式的充要条件：,求积节点 为n+1次正交多项式的零点。,如何求高斯公式?,正交多项式概述：,首先证明对于任给节点 x0， x1， ， xn，均存在某个次数为2n+2的多项式f(x),机械型求积公式不能精确成立，即其最高代数精度不能达到2n+2 。如取：,证明,则有：,设求积节点 为n+1次正交多项式n+1(x) 的零点。,现证充分性。即,求积公式是高斯型。,证明,现对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式f(x), 用 除 f(x)，记商为P(x)，余式为Q(x)，,即, 2n+1,n+1, n,n,由已知条件，(x)与P(x)正交，故得,由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具 有n
3、次代数精度，故对Q(x)能准确成立：,再注意到(xk)=0，知Q(xk) = f(xk)，从而有,综之得：,这说明公式对一切次数不超过2n+1的多项式准确成立，综之说明xk是高斯点。,再证必要性，即,若是高斯求积公式,设P(x)是任意次数不超过 n 的多项式，则,P(x)(x)的次数不超过2n+1，因此应准确 成立,但,故 .,求积节点构造的,注：,1、总可通过施密特正交化求出a, b上与所有次数不超过n的多项式都正交的多项式n+1(x)。,2、命题：n次正交多项式 有n个单零点。,解：设P0(x)=C，1(x)= x x0。由于,即,展开，得,则一个点的高斯公式为,中矩形公式,例. 求-1，
4、1上与次数为0的多项式正交的多项式1(x)=？,二、高斯勒让得公式,若a, b=-1, 1，其上的高斯公式为,称为高斯-勒让得公式。 -1，1上的正交多项式称为勒让得多项式， 勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。,几个Legandre 多项式：,若取P1(x) = x 的零点x0 = 0 作求积节点构造公式 ：,令它对 f(x) = 1准确成立，即可定出A0 = 2.,从而得到一点高斯公式：,中矩形公式,令它对 f(x) = 1, x 准确成立，即可定出A0 ,A1,可得两点高斯勒让得公式为,若取 的零点 作求积节点构造公式,注：更高阶的公式见书p122。,?,请思考:,高斯勒让得公式
5、的求积区间是-1，1，那么对于任意求积区间a, b如何办？,解,作变换,可以化到区间-1，1上，这时,三、带权的高斯公式（更一般的表现形式）,有时需要求如下带权的积分：,称上述(x)0是权函数。,定义：,若求积公式,具有2n+1次代数精度，则称这类公式为带权的高斯公式.,高斯点,我们类似的可有：,定理,是高斯点的充要条件：,是区间a, b上带权(x)正交的多项式。,若a, b = -1，1，权函数为,所建立的高斯公式,切比雪夫高斯公式,称为切比雪夫高斯公式。 xk是切比雪夫多项式的零点。,4.7.4 Gauss-Chebyshelv quadrature formula,Remark 1 th
6、ree term recurrence formula v.s. Schmidt orthogonolization; Remark 2 Tn are perpendicular polynomials;,At last, well state the error estimation of the Gauss- Chebyshelv formula without the proof :,According to the error estimation of the Gauss- Type formula,we have:,Consult the table in p122.,构造高斯公式
7、的一般方法：,1、构造正交多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式； 2、待定系数法,此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。例如：,-拉盖尔-高斯积分,举例,要构造下列形式的高斯公式,解,则其代数精度应为,即,求解?!,定理（稳定性） 高斯求积公式的求积系数Ak0.,证明：事实上,这表明高斯求积法是稳定的。,关于积分余项和收敛性有：,积分余项：,收敛性： 设f(x) Ca,b,则有：,4.1 Numerical Differentiation,However , (i) There is no error estimation; (ii) Are there any other numerical methods for ND? How to construct them Taylor mean value Theorem; Richardson extrapolation process .,Homework ( p184): 5; 15*,作业： P136习题 11,