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1、第5节指数与指数函数,1.根式的概念及性质,知 识 梳 理,根式,2.分数指数幂,没有意义,3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras_；(ar)s_；(ab)r_，其中a0，b0，r，sR. 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.,ars,ars,arbr,(2)指数函数的图象与性质,(0，),(0，1),y1,0y1,y1,0y1,增函数,减函数,1.指数函数图象的画法 画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)， . 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图
2、是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx 的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1 ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数 函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大.,【知识拓展】,3.指数函数yax(a0，a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究.,诊 断 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(3)由于指数函数解析式为yax(a0，且a1)， 故y2x1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x211，又a1，ax21a. 故yax21(a1)的值域是a，)，(4)错. 答案(1)(2)(3)(4)
3、,答案C,3.(新教材必修第一册P119习题4.2T6改编)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A.a1，bac. 答案C,解析函数f(x)的定义域为R，,A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数,函数f(x)是奇函数.,答案B,5.(2020湖北八校联考)函数f(x)ax2 0202 020(a0且a1)的图象过定点A，则点A的坐标为_. 解析令x2 0200，得x2 020，则y2 021， 故点A的坐标为(2 020，2 021). 答案(2 020，2 02
4、1),答案2,7.已知函数f(x)ax(a0，a1)在1,2上的最大值比最小值大 ，则a的值 为_.,解析,答案,1,2,4,5,6,3,7,考点一指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：,规律方法1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.,【训练1】 化简下列各式：,典例 (1)函数f(x)1e|x|的图象大致是,解析,考点二指数函数的图象及应用,师生共研,解析f(x)1e
5、|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图象只有A.,答案,(2)已知函数f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是 A.a0，b0，c0 B.a0，b0，c0 C.2a2c D.2a2c2,解析,答案,几何画板展示,解析作出函数f(x)|2x1|的图象，如图， abc且f(a)f(c)f(b)，结合图象知， 0f(a)1，a0，c0，02a1. f(a)|2a1|12a1， f(c)1，0c1. 12c2，f(c)|2c1|2c1， 又f(a)f(c)，12a2c1， 2a2c2，故选D.,(1)已知函数解析式判断其图象一般
6、是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.,跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式2 018a2 019b，下列五个关系式： 0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,解析如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.,解析,答案,(2)方程2x2x的解的个数是_.,解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图). 由图象得只有一个交
7、点，因此该方程只有一个解.,1,解析,答案,角度1比较指数式的大小 【例31】 下列各式比较大小正确的是() A.1.72.51.73 B.0.610.62 C.0.80.11.250.2 D.1.70.30.62，正确；,考点三解决与指数函数性质有关的问题,多维探究,C中，(0.8)11.25， 问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. y1.25x在R上是增函数，0.11, 00.93.1，错误. 答案B,规律方法比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.,角度2解简单的指数方程或
8、不等式,综上，实数a的取值范围是(3，1).,则2a3，所以3a0.,规律方法(1)af(x)ag(x)(a0且a1)f(x)g(x).(2)af(x)ag(x)，当a1时，等价于f(x)g(x)；当0a1时，等价于f(x)g(x).(3)有些含参数的指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题.,角度3指数函数性质的综合应用 【例33】 (1)若存在正数x使2x(xa)0，且a1)在区间1，1上的最大值是14，则a的值为_.,规律方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 易错警示在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.,解析(1)因为a20.21，b0.40.2b，ac.又y0.4x是以0.4为底的指数函数，且在R上单调递减，所以0.40.20.40.6，即bc，所以abc. (2)函数f(x)是R上的奇函数，f(0)0，,f(x)的值域为(1，1).,