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1、2021国考笔试特训预测方法精讲-数量关系与资料分析 (全部讲义+笔记) (4)【知识点】1.两集合容斥原理。（1）识别：多主体（两主体）、有交叉。（2）公式：A+B-AB=总数-A、B都不满足个数。（3）公式推导：如图所示，圈A和圈B，中学学的几何问题，就是求两个圈覆盖的面积，A+B，多加了中间相交的部分，所以减去AB，则等式可写为：A+B-AB=总-空白。公务员考试中会把面积变成一些条件，例如满足条件1 的、满足条件2的、两个条件均满足的等。（4）例如：我们班在线听课的有150人，有钱的有90人，任性的有70人，没钱不任性的有3人，求有钱任性的人数？答：该题为容斥原理问题，有钱的为90人，
2、任性的有70人，“有钱的”为方法精讲-数量 4（笔记）第八节容斥原理启智职教的店1条件A，“任性的”为条件B，设有钱任性的为x人，根据公式B=总数-A、B都不满足个数，代入数据得90+70-x=150-3。2.三集合容斥原理（一会讲）。【例 1】（2021 江苏）市电视台向 150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中 108 人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是：A.17B.22C.29D.38【解析】例 1.“108 人看过甲频道，36 人看过乙频道”，出现两个主体，且两主体有交叉，属于两集合容
3、斥原理问题，公式：A+B-AB=总数-都不满足的，代入数据，108+36-23=150-x，计算时结合选项，选项尾数不同，考虑尾数法， 8+6 尾数为 4，4-3 尾数为 1，则左边尾数为 1，右边 10-9 尾数才为 1，对应 C 项。【选C】【注意】考试中一旦考查容斥原理问题，必须要拿分。【例 2】（2021 广州）篮子里有苹果和梨两种水果若干个，将这些水果分发给 13 个人，每人最少拿一个，最多拿两个不同的水果。已知有 9 个人拿到了苹果，有 8 个人拿到了梨，最后全部分完。那么，有多少人只拿到了苹果？A.4B.5C.6D.7【解析】例 2.问“只拿到苹果”“已知有 9 个人拿到了苹果，
4、有 8 个人拿到了梨”出现两个条件，总共有 13 人，肯定重复交叉，属于容斥原理问题。看不明白就画图，如下图所示，左边为拿到苹果的人数，右边为拿到梨的人数，只拿到苹果的区域为右边阴影部分，只拿到苹果的人数=拿到苹果的人数-两者都拿到的人数，设两者都拿到的人数为 x，由题意“每人最少拿一个”，可得两者都不拿的人数=0，根据公式：A+B-AB=总数-两者都不拿的人数，9+8-x=13-0，求出x=4，只拿到苹果的人数=9-4=5 人，对应 B 项。【选B】2【注意】该题和上一题的区别在于该题求“只拿到苹果的人数”，不好理解，就画图来看。【知识点】三集合标准型：1.识别：三主体、出现AB、AC、BC
5、。2.公式：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=全-都不。3.公式推导：如图所示：三个圈分别为 A、B、C，用面积的方式进行推导，A+B+C，A 和B 重合的部分加了两次，所以需要减去一次AB，同理 A 和C 重合的部分加了两次、B 和 C 重合部分加了两次，分别减去一次AC和BC，最中间 A、B、C 重合的部分加了 3 次，减AB时，减了一次，减AC时，减了一次，减BC时，减了一次，共减了 3 次，所以还要加上ABC，所以 A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总-都不，该公式为三集合的标准型公式，该公式较长，不要死记硬背，可结合具体题目记忆。3【例 3】（2021 陕西）针对 100 名
6、旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42 人喜欢黄山，8 人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又喜欢泰山，3 人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人？A.20B.18C.17D.15E.14F.13G.12 H.10【解析】例 3.该题 8 个选项，但是对于我们做题没有影响。给了 3 个主体，“喜欢泰山”“喜欢黄山”“喜欢华山”，属于三集合容斥问题，已知两两之间的数，可以用三集合标准型公式，A+B+C-AB-AC-BC+ABC=全-都不，问“不喜欢这三个景点中任何一个的人数”，即求公式中的“都不”，设为 x，代入数据，
7、28+30+42-8-10-5+3=100-x,发现 A、H 项尾数均为 0，不能用尾数法，直接加减运算，整理得 100-20=100-x，解得 x=20，对应 A 项。【选A】【注意】三集合容斥公式使用的前提：已知三个主体两两之间的数据。例如该题给了“8人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又喜欢泰山”。【知识点】三集合非标准型：1.识别：三主体、出现只满足两个条件（如图所示的 m、p、n）或者满足两个条件。（有些命题老师比较严谨会加上“只”，有些命题老师不会加，注意两种描述意思相同）2.公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-都不。3.公式推导：A+B
8、+C，其中 m、n、p 分别加了 2 次，加一次即可，需要减去一次只满足两个条件的，三个条件都满足的为 q，A+B+C 时，q 加了 3 次，但是在减 m、n、p 的时候没有减到，需要减去 2 次，所以 A+B+C-只满足两个条件-2A BC=总数-都不，为三集合非标准型公式。4【例 4】（2021 河北）某班参加学科竞赛人数 40 人，其中参加数学竞赛的有22 人，参加物理竞赛的有 27 人，参加化学竞赛的有 25 人，只参加两科竞赛的有 24 人，参加三科竞赛的有多少人？A.2B.3C.5D.7【解析】例 4.该题和例 3 的区别，例 3 分别告诉两两之间的数，该题给了笼统的概述“只参加两
9、科竞赛的人数”，即只满足两个条件的人数。用三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-都不，代入数据，三科都不参加的人数为 0，22+27+25-24-2x=40，整理得 50-2x=40，得到 x=5，对应 C 项。【选C】【练习】（2021 广东）某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有 49 人，参加跳远的有 36 人，参加短跑的有 28 人，其中只参加两个项目的有 13 人，参加全部项目的有 9 人。那么参加该次运动会的总人数为多少：A.75B.82C.88D.95【解析】练习.该题有长跑、跳远、短跑，三个主体，有交叉有重复，属于三集合容斥原理问题，
10、出现“只参加两个项目的有 9 人”，相当于给出只满足两个条件的，用三集合非标准型公式：A+B+C-满足两项-满足三项*2=全-都不，代56 入数据，49+36+28-13-2*9=总数，选项尾数不同，用尾数法，尾数为 2，对应 B 项。【选 B 】【注意】该题年代较久远，是 2021 年的题目，和前面的 2021 年的题目没有区别，只不过是换了一下数字。 【知识点】容斥问题的解题方法：1. 公式法：题目中，所给所求的都是公式的一部分。2. 画图法：（1） 公式解决不了的，出现只能满足某一个条件（例如只参加跳远的或者只参加长跑的）。（2） 标数字：从内往外（剔除重复），如下图所示，先标“”，再标
11、“”，最后标满足一个条件的；一一对应（每个封闭区域只有一个数）。 【例 5】（2021 陕西）在一项课题研究中，数据搜集方式有问卷调研、当面访谈与电话访谈三种。参加问卷调研的有 27 人，参加电话访谈的有 21 人。参加 了三种数据搜集方式的有 5 人，既参加问卷调研又参加当面访谈的有 9 人，既参 加问卷调研又参加电话访谈的有 12 人，既参加当面访谈又参加电话访谈的有 7 人。已知只参加当面访谈的人数占数据搜集人员总数的 20%，则数据搜集人员共有多少人？A.45B.50C.55D.60E.65F.70G.75H.80【解析】例 5.方法一：三集合容斥原理问题。出现“只参加当面访谈的人数占
12、数据搜集人员总数的 20%”，出现了只满足某一个条件，画图标数，按照原则，从内往外标，如图所示，问卷调研、电话访谈、当面访谈，先标满足三个条件的区域，“参加了三种数据搜集方式的有 5 人”，中间标 5；再标只满足两个条件的区域，“既参加问卷调研又参加当面访谈的有 9 人”，则右上角区域为 9-5=4人；“既参加问卷调研又参加电话访谈的有 12 人”，则左上角区域为 12-5=7 人；“既参加当面访谈又参加电话访谈的有 7 人”，则下面区域为 7-5=2 人，最后标只满足一个条件的区域，“参加问卷调研的有 27 人”，所以只参加问卷的为27-7-5-4=11 人；“ 参加电话访谈的有 21 人”
13、，所以只参加电话访谈的为21-7-5-2=7 人；只参加当面访谈的数据未知，已知其占总人数的 20%=1/5，设只参加当面访谈的人数为 x ，把图中所有的数据加起来等于 5x ，即11+7+5+4+7+2+x=5x，则x=9，总人数 5x=45 人，对应 A 项。方法二：该题中只有老师画红线的地方未知，剩下的两个圈可以看成两集合的容斥原理问题，则 27+21-12=总人数，则两个圈的总人数为 36，可以设当面访谈的为 x，对应 20%，则两个圈对应 80%，则总人数为 48 人，对应 A 项。【选A】7【答案汇总】1-5：CBACA【例 6】（2021 辽宁）某班在筹备联欢会时发现很多同学都会
14、唱歌和乐器演奏，但有部分同学这 2 种才艺都不会。具体有 4 种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有 22 人，会乐器演奏的有 15 人，两种都会的人数是两种都不会的 5 倍。这个班至多有多少人？A.27B.30C.33D.36【解析】例 6.该题为两集合容斥原理问题，公式：A+B-AB=总数-都不满足，22+15，给了等量关系“两种都会的人数是两种都不会的 5 倍”，设都不会的为 x，则两者都会的人数为 5x，22+15-5x=总数-x，整理得总数=37-4x，总数要想多，则 x 尽可能要小，根据题意，有两者都不会的人，所以 x 不能为 0，
15、x 最小取 1，则总数=37-4=33 人，对应 C 项。【选C】【注意】该题为容斥原理和最值结合，都不难，最后简单的做下最值分析即可。8【知识点】容斥原理：1.公式：（1）两集合：A+B-AC=总数-都不。（2）三集合：标准：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总数-都不。非标：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。常识：满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。（该公式没有讲，因为该公式太简单。例如粉笔组织员工出去玩，有参加一个项目的，有参加两个项目的，有参加三个项目的，问总人数，则总人数=参加一项+参加两项+参加三项。2.画图：（1）画圈圈，标数据。（2）从里到外，注意去重。
16、第九节排列组合与概率【注意】排列组合与概率：如果可以听懂，大家下课就花时间好好梳理，多做下题目，如果连 10%都听不懂，就可以把时间放在其他地方。1.两种原理。2.两种概念。3.四种题型。一、基础概念【知识点】排列组合：1.加法原理与乘法原理：（1）分类：用加法，要么要么（多者选其一）。9（2）分步：用乘法，既又(同时满足)。（3）例如老师住在 CDB，附近有 3 家黄焖鸡、4 家兰州拉面、2 家沙县小吃，中午去吃饭，有 3 个不同的种类，有 3+4+2=9 种选择；如果老师决定吃黄焖鸡，有大份和小份，4 种口味，要想吃上黄焖鸡，既要选大小又要选口味，要同时满足，用乘法，则有 2*4=8 种选
17、择。2.排列（A）：与顺序有关，A（m,n）=从 n 开始乘 m 个数。从 5 个人中选出 3 个人排成一队照相，共有多少中方式？答：排列组合的题型特征，问完成一件事情，有多少种方案，是找方案的个数。5 个人选 3 个人，有 3 个位置，第一个位置有 5 个人可供选择，第二个位置从剩余的 4 个人选一个，第三个位置有 3 种选择，照相有顺序，人站的位置不同，结果不同，用 A，为A（5,3）=5*4*3。从 10 个人中选出 3 个人排成一队照相，共有多少种方式？答：A（10,3）=10*9*8。3.组合（C）：与顺序无关，C（n,m）=分子 A（n,m）/分母 A（m,m）=从 n开始往下乘
18、m 个数/从m 开始往下乘 m 个数。例：从 5 个人中选 3 个人打扫卫生，共有多少种方式？答：选出的 A、B、C，没有顺序的要求，对最后的结果没有影响，C（5,3）=A（5,3）/A（3,3）=（5*4*3）/（3*2*1）。4.【判定标准】把已选的主体调换顺序后：有差别，与顺序有关（A）；无差别，与顺序无关（C）。【例 1】（2021 广东）小李今天上午有 a、b、c、d 这 4 项工作要完成，下午有 e、f、g 这 3 项工作要完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有多少种完成工作的顺序？A.30B.60C.72D.144【解析】例 1.工作有顺序，要完成上午的工作和下午的
19、工作，上午的四项任务有顺序为 A（4,4），下午的三项任务有顺序为 A（3,3），完成一天的工作，10既要完成上午的又要完成下午的，所以用乘法，A（4,4）*A（3,3）=24*6=144，可以看尾数，也可以直接算，对应 D 项。【选 D】【注意】A（3,3）=6，A（4,4）=A（3,3）*4=24，A（5,5）=A（4,4）*5=1 20。【例 2】（2021 联考）某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括 A 科技馆在内的 6 个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择 A 科技馆的方案有：A.1800 种B.18750 种C.3800 种D.9375 种【解析】例 2
20、.该题有点难。比较容易错选 A 项。6 个年级中 2 个选了 A 科技馆，先从 6 个年级选 2 个参加 A 科技馆，假设 2 个年级为一年级和二年级，最终都是一、二年级去参加 A 科技馆，无顺序，为 C（6,2），还剩下 4 个年级，只要不选择 A 科技馆就行，每个年级都有 5 种选择，6 个年级同时满足，用乘法，C （6,2）*5*5*5*5=A（6,2）/A（2,2）*5*5*5*5=15*5*5*5*5，尾数为 5，对应 D 项。【选D】【例 3】（2021 吉林）罐中有 12 颗围棋子，其中 8 颗白子，4 颗黑子。从中任取 3 颗棋子。则至少有一颗黑子的情况有：A.98 种B.16
21、4 种C.132 种D.102 种【解析】例 3.该题没有告诉确定的情况，可以先分类讨论。先讲正面，再讲对立面。方法一：三种情况。1 黑2 白：从 4 个黑的选 1 个，为 C（4,1），从 8 个选2 个白的，为 C（8,2），同时满足，用乘法，C（4,1）*C（8,2）=4*28=112；2黑 1 白：C（4,2）*C（8,1）=48；3 黑：C（4,3）=4，三种不同的分类，要加起来，112+48+4=164，对应 B 项。方法二：对立面。“至少有一颗为黑子”对立面为没有黑子的情况，即三个棋子都是白色的，从 8 个白色的选出 3 个，为 C（8,3），总情况为 C（12,3），用11C（
22、12,3）-C（8,3），对应 B 项。【选B】12【例 4】（2021 北京）某次专业技能大赛有来自 A 科室的 4 名职工和来自 B 科室的 2 名职工参加。结果有 3 人获奖且每人的成绩均不相同。如果获奖者中最多只有 1 人来自 B 科室，那么获奖者的名单和名次顺序有多少种不同的可能性？A.48B.72C.96D.120【解析】例 4.问的是获奖者的名单和名次顺序，名单相当于选人，先把三个人选出来，名次顺序相当于排序，因此本题先选人，后排序。“获奖者中最多只有 1 人来自 B 科室”，分情况讨论：（1）B 科室1 人、A 科室2 人：先选人，后排序，B 科室一共有 2 名职工，从2 人中
23、选出一个，为 C（2,1），A 科室有 4 个人，从4 人中选出 2 个，为C（4,2），之后对选出来的 3 个人进行排序，为 A（3,3），同时满足用乘法，为 C（2,1）*C （4,2）*A（3,3）=12*6=72。（2）B 科室 0 人、A 科室3 人：A 科室 4 个人中选 3 人，C（4,3），对选出来的 3 个人进行排序，为 A（3,3），同时满足用乘法，为 C（4,3）*A（3,3）=4*6=24。一共分成两大类，因为是两个不同的种类，用加法，总情况数=72+24=96 种。【选 C】【注意】容斥中常识公式如何理解：假设粉笔举行三个活动，可以参加一项活动，可以参加两项活动，也可
24、以参加三项活动。如果参加一项活动的人数是 A，参加2 项活动的人数是 B，参加 3 项活动的人数是 C，则参加活动的人数=A+B+C，但是有些地方还会涉及到“人次”，人次=人*次数，比如老师参加了 3 项活动，对其一个人来说，就是 1*3=3 人次，则参加活动的人次=1*A+2*B+3*C。二、经典题型【知识点】四种经典方法：1.枚举法：国考特别喜欢考，2021 年、2021 年每年都会有一道枚举的题目，一道题目没有明显特征，不知道如何选择，可以结合选项，如果选项数值比较小，可以列举出来。132.捆绑法。3.插空法。4.环形排列。【例 5】（2021 联考）小王在商店消费了 90 元，口袋里只
25、有 1 张50 元、4 张 20 元、8 张 10 元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？A.5B.6C.7D.8【解析】例 5.要付 90 元，现在有 50、20、10 元，如何选择题干中没有告知，没有选择的规律，结合选项，发现选项数不大，因此考虑枚举，且本题没有明显特征，也只能用枚举。枚举的原则是不重不漏，50 元有1 张，20 元有4 张， 10 元有8 张，想办法凑 90 元，凑的时候按住一个，先从最大的开始考虑。按情况可以分成以下几种情况：（1）最大的是 50 元，50 元的只有一张，因此接下来需要考虑 20 元，凑一个 90 元，只要再加 2 张20 元的就能满足，这
26、是一种支付方式，1 张50 元、2张 20 元。（2）50 元的选 1 张，20 元的可以选 2 张也可以选 1 张，如果 20 元的选 1张，还差 20 元，可以选 2 张 10 元。（3）50 元选了 1 张，20 元的可以选 2 张、1 张，还可以不选，如果不选，则10 元的需要选 4 张。（4）50 元的如果不选，20 元的可以把 4 张全部拿出来，此时才 80 元，还需要再选 1 张10 元。（5）50 元仍然不选，20 元选3 张，此时是 60 元，还需要再选 3 张10 元。（6）50 元不选，如果选 2 张20 元，此时是 40 元，还要再选择 5 张10 元。（7）50 元不
27、选，如果选 1 张 20 元，此时需要 7 张 10 元。如果 50 元的选 0 张，20 元的选 0 张，则 10 元的需要 9 张，但 10 元最多只有8 张，不满足，因此情况数只有上述 7 种，对应 C 项。【选C】14【注意】枚举法：不重不漏。【答案汇总】1-5：DDBCC【知识点】捆绑法：1.例：粉笔6 位老师站成一排照相，龙哥和东哥要求必须相邻，有（）种不同的站法？答：要求相邻考虑捆绑，先把龙哥和东哥捆起来，龙哥可以在左也可以在右，因此有顺序，用 A（2,2）；捆完把龙哥和东哥看成一个主体（大胖子），跟其他 4个老师看成 5 个主体，这 5 个主体需要再进行排序，此时也有顺序，用
28、A（5,5）。2.方法：（1）先捆：把相邻的元素捆绑起来，注意内部有无顺序，有顺序用 A。（2）再排：将捆绑后的看成一个元素，进行后续排列。【例 6】（2021 国考）为加强机关文化建设，某市直属机关在系统内举办演讲比赛，3 个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？A.小于1000B.10005000C.500120210D.大于 20210【解析】例 6.读完题目发现出现“必须相连”，碰到相邻考虑捆绑，谁要15求相邻就捆谁，有几个相邻就捆几个。“3个部门分别派出 3、2、4 名选手参加比赛，要求每个部门的参赛
29、选手比赛顺序必须相连”，一共有 3 个部门需要相邻，因此需要把三个部门分别捆起来，第一个部门有 3 个人，比赛是有顺序的，捆起来为 A（3,3）；第二个部门有 2 个人，捆起来为 A（2,2）；第三个部门有 4 个人，捆起来为A（4,4）。先捆人后排序，此时把捆完的部门看成 3 个主体（大胖子），3 个主体需要再进行排序，为 A（3,3），因为这几个步骤是同时满足，分步用乘法，为 A（3,3）*A（2,2）*A（4,4）*A（3,3）=6*2*24*6，计算的时候不需要太精确算，观察选项，选项范围比较大，原式72*2470*201500，接近 1000+，对应 B 项。【选 B】【知识点】插空
30、法：1.例：粉笔 6 位老师站成一排照相，龙哥和东哥要求必须不相邻，有（）种不同的站法？答：要求不相邻，因此龙哥和东哥中间一定会隔着其他人，隔着几个人不确定，但两人不能相邻，像这种不相邻的情况，应该把龙哥和东哥插到其他人的空隙当中。龙哥和东哥不相邻，先不排他们，先把其他 4 人排好，其他 4 个人进行排列，因为是人排队，所以为 A（4,4），龙哥和东哥不相邻，需要把龙哥和东哥插到四个人形成的 5 个空隙当中，因此从 5 个空隙中选 2 个插入，为 A（5,2），龙哥和东哥排队的时候调换顺序会形成不一样的结果，因此用 A。将两种情况相乘即可，A （4,4）*A（5,2）。2.方法：（1）先排：先
31、安排可以相邻的元素，目的是形成若干个空位；（2）再插：将不相邻的元素插入到空位中。（3）具体是 A 还是C，需要结合题目中给的是什么，相同的主体可以用 C。【例 7】（2021 国考）把 12 棵同样的松树和 6 棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植 9 棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？A.36B.5016C.100D.400【解析】例 7.题目中出现“不相邻”，考虑插空，柏树不相邻，因此先不安排柏树，每一侧种 9 棵，每侧柏树数量相等，因此每一侧应该是 6 棵松树和 3棵柏树，先安排一侧。先安排 6 棵松树，题目中明确说
32、是“相同的松树”，因此排松树没有顺序，为 C（6,6）=1，可以忽略不计，3 棵柏树要插到 6 棵松树形成的空隙中，6 棵松树 7 个空，但是题干中要求“道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树”，因此起点和终点不能种柏树，不能用，只有 5 个空隙满足，从 5个空中挑 3 个空放柏树，为 C（5,3），把两个情况相乘，为 C（6,6）* C（5,3）=10 种，两侧植树，必须两侧同时满足才行，因此要相乘，一侧是 10 种，10*10=100种，对应 C 项。【选C】【知识点】环形排列（三个人在一个桌子坐的时候，他们之间的顺序只有相对的情况）：1.A、B、C 三个人排成一个圈。第一个图和第二个图对
33、于环形排列是一样的情况，因为相对顺序相同。同理，第三个图和第一个、第二个图都是一样的，只要左右两边的人相同，则相对顺序相同。在环形排列中，前三个图的三种情况相当于一种情况。图 46，这三种图也是一种情况，如果 3 个人全排列，为 A（3,3）=6 种情况，而环形排列中有重复的情况出现，需要剔除，三个人肯定要重复 3 次，四个人要重复 4 次，因此有几个人排就需要剔除重复几次，3 人需要除以 3，则3 个人环形排列为 A（3,3）/3。2.结论：n 个人排成一圈，共有 A（n,n）/n 种情况，即 A（n-1,n-1）。17【例 8】（2021 陕西）6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨
34、在一起，问有多少种安排方法？A.720B.180C.560D.480E.360F.240G.120 H.48【解析】例 8.挨到一起想到相邻，相邻想到捆绑，需要先把小华和小明进行捆绑，两个人排，为 A（2,2），此时两人变成一个整体，还有 4 个小朋友，因此相当于 5 个主体环形排列，5 个主体排成一圈是 A（5-1,5-1）=A（4,4），两者相乘，A（2,2）*A（4,4）=2*24=48 种，对应 H 项。【选H】三、概率【知识点】概率（和排列组合一脉相承，很多知识点也结合了排列组合，本身就是排列组合的延伸）：1.给情况求概率：（1）概率=满足要求的情况数/全部的情况数。（2）例：3 个
35、绿球、2 个黄球、5 个红球，球都一样，随便摸一个，摸到绿球的概率？答：摸到绿球相当于摸 1 个球，满足条件的情况数是在绿球中摸一个，三个选 1 个，是 3 种情况，满足要求的情况数/全部的情况数=3/（3+2+5）。2.给概率求概率：（1）分类：P=P1+P2+Pn。（2）分步：P=P1*P2*Pn。3.注：正难则反，正面做比较难可以从对立面考虑。满足概率=1-不满足概率。【例 9】（2021 江苏）已知一个箱子中装有 12 件产品，其中有 2 件次品。若从箱子中随机抽取 2 件产品进行检验，则恰好抽到 1 件次品的概率是：A.13/22B.10/3318C.7/11D.8/11【解析】例
36、9.题目中要从里面选出 2 件，恰好有 1 件是次品，说明满足条件数应该是 1 个次品，1 个好的，总的情况数为在 12 个中选出 2 个，总的情况数选 2 件，先选哪个不影响，是没有顺序的，因此是 C（12,2）。满足条件的情况数是 1 个次品，1 个好的，一共有 2 件次品，因此 1 件次品是从 2 个次品中选1 件，为C（2,1），1 个好的是从 10 个好的产品中选出 1 个，为 C（10,1），满足情况数/总情况数=C（2,1）*C（10,1）/C（12,2）=（2*10）（6*11）=10/33，对应 B 项。【选B】【例 10】（2021 联考）小明有 2 盆兰花和 3 盆杜鹃，
37、小明打算随机拿出 2 盆送给小红，则至少有1 盆兰花的概率是：A.1/10B.3/10C.5/10D.7/10【解析】例 10.从正面和反面做题。方法一：至少有一盆兰花，则满足条件的情况数有两种：（1）1 个兰花 1 个杜鹃：从 2 个兰花中选 1 个，为 C（2,1），从 3 个杜鹃中选1 个，为 C（3,1）。（2）2 个兰花：从 2 个兰花中选 2 个，为 C（2,2）。满足条件的情况数是把两种情况数相加，总的情况数是随机从 5 盆花中选 2 盆，为 C（5,2），则满足情况数/总的情况数=C（2,1）*C（3,1）+C（2,2）/C （5,2）=7/10，对应 D 项。方法二：P=1-
38、反面，要求至少一盆兰花，对立面是没有兰花，则全是杜鹃，因此是从 3 盆杜鹃中选 2 盆，没有顺序用C（3,2），总情况数是 C（5,2），则对立面概率为 C（3,2）/C（5,2），所求情况=1-C（3,2）/C（5,2）=7/10，对应 D 项。【选D】【答案汇总】6-10：BCHBD19【例 11】（2021 辽宁）一张纸上画了 5 排共30 个格子，每排格子数相同。小王将 1 个红色和 1 个绿色棋子随机放入任意一个格子（2 个棋子不在同一格子），则 2 个棋子在同一排的概率：A.不高于15%B.高于15%但低于20%C.正好为20%D.高于20%【解析】例 11.方法一：5 排共30
39、个格子，每排格子数量相同，则每排 30/5=6个格子，问概率，应该用满足条件的情况数/总情况数，在本题中，总的情况数是从 30 个格子中选 2 个，红的棋子在第一个和绿的棋子在第一个有区别，改变顺序之后形成两个不同的结果，所以有顺序用 A，为 A（30,2）；满足条件的情况数：先假定两个棋子在某一排中，则从这排的 6 个格子中选 2 个，为A（6,2），两个棋子可以在 5 排中的任意一排，因此满足条件的情况数应该为 5*A（6,2），则满足情况数/总的情况数=5*A（6,2）/A（30,2）=（5*6*5）/（30*29）=5/2920%，对应 B 项。方法二：两个颜色的棋子，可以随便先把 1
40、 个红色的棋子放到一个地方，没有任何要求，概率为 1，则另外一个绿色的棋子总的情况还有 29 个位置可以放，如果要在同一排，还有 5 个位置（满足条件的情况数），则 1*5/29=5/29。【选B】【注意】2021 年、2021 年考了两年类似的思路。【知识点】给概率求概率：方法：1.分类加和。2.分步相乘。【例 12】（2021 河北）某次考试小明全对的概率为 80%，小宁全对的概率为70%，那么这次考试只有一人全对的概率为多少？A.0.24B.0.38C.0.56D.0.9420【解析】例 12.只有一人全对，即要么小明全对，此时小宁不能全对；要么小宁全对，则小明不能全对。（1）如果小明全
41、对，其概率是 80%，此时小宁不全对，其概率为 30%，同时满足，分步相乘，为 80%*30%=0.24。（2）如果小宁全对，其概率是 70%，此时小明不全对，其概率为 20%，分步相乘，为 70%*20%=0.14。要么要么是分类，因此相加即可，0.24+0.14=0.38。对应B 项。【选B】【例 13】（2021 联考）某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有 80%的概率赢乙选手，那么这场单打比赛甲有多大的概率战胜乙选手？A.0.768B.0.800C.0.896D.0.924【解析】例 13.需要注意三局两胜的比赛，只要胜两场，则比赛结束。如果甲在第一场和第二场都赢了，
42、此时不需要再比第三场。甲要战胜乙，有以下情况：要么是前两场都甲赢，概率为 80%*80%；或者前两场需要输一场，可以是第一场赢、第二场输、第三场赢：也可以是第一场输、第二场赢、第三场赢，这两种情况可以合在一起考虑，输的这一场要么在第一场输，要么在第二场输，两场中选一场输，为C（2,1），都是甲输一场赢两场，则后两种情况为 C（2,1）*20%*80%*80%，分情况是分类，分类相加，则为概率=80%+80%+C（2,1）*20%*80%*80%=80%*80%*（1+40%），可以结合尾数法计算，对应 C 项。【选C】【答案汇总】11-13：BBC20【小结】排列组合与概率：1.排列组合：（1
43、）基础概念：分类用加法（要么要么）。分步用乘法（既又）。有序用排列（不可互换）。无序用组合（可以互换）。（2）经典题型：凑数字枚举法，不重不漏，按序枚举。必须相邻捆绑法，先捆再排。不能相邻插空法，先排再插。环形排列n个主体环形排列有 A（n-1,n-1）种可能。2.概率：（1）给情况数求概率：满足情况数/总情况数。（2）给概率求概率：分类用加法，分步用乘法。（3）正难则反：正面情况概率=1-反面情况概率。课后测验【练习 1】（2021 江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为 90%，在调查对象中有 180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行21学习，100 人利用移
44、动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有 50 人，同时使用两种方式学习的有 20 人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放了多少份问卷？A.370B.380C.390D.400【解析】练习 1.正确率比较高，82%。本题稍微改了条件，涉及到一个回收量，回收率 90%是指如果发了 100 份问卷，则回收了 90 份，统计的数据都是回收的，因为只有回收了才能统计。本题是容斥原理问题，比较好判定，用的应该是非标准型公式，因为题干中告知了满足两个条件的有多少，非标准型公式为A+B+C-满足两项-2*满足三项=总数-都不，代入数据，为 180+200+100-20-2*50= 总数，不
45、存在都不满足的，因此都不满足的为 0，解得总人数为 360，360 是回收量，问的是发了多少问卷，已知回收率是 90%，相当于已知部分和比重，则发了360/90%=400 份。【选D】【练习 2】（2021 国考）某单位的会议室有 5 排共 40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的概率：A.不高于15%B.高于15%但低于20%C.正好为20%D.高于20%【解析】练习 2.正确率 71%，不错。每排座位数相同，则每排座位数有 40/5=8个。用快速的方法求解，小张和小李先随便坐，先排一个人，没有任何要求，概率是 1，看剩下那个人有几种选择，总的情况数是一共有 40
46、 个座位，占了 1 个座，还有 39 个位置可以坐。一排一共有 8 个座位，要想满足坐一排，一排中还有7 个座位可以坐，则概率=7/39，直除约为 0.17，对应 B 项。【选B】【注意】数量关系如何备考？1.“舍”与“得”：前提是有得到的能力。数学运算大家听到最多的就是要放弃，放弃可以，但是有舍有得，前提是要有得到的能力，精讲课中讲的高频考点，除了排列组合，其他都是可以掌握的题目。可以放弃的题目是：（1）排列组合（因人而异）；（2）复杂的行程问题，比如比例行程；（3）构造类题目，比如22几何构造。难题可以放弃，考试的时候把会的题目做完即可。2.时间如何分配。尽量给数量留 10 分钟，23 分钟做对一道题即可，此时可以大致做对 45 道题，剩下题运气再不好，根据自然规律应该至少也能蒙对1 个，只要能达到 50%的正确率就非常高了。3.数学难，难才要学。4.模考：每周都要参加模考，形成自己的做题顺序和策略。【答案汇总】第八节容斥原理：1-6：CBACA；C第九节排列组合与概率：1-5：DDBCC；6-10：BCHBD；11-13：BBC