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1、数学 2-2 北师大版 1.2.1综合法和分析法练习1.2.2分析法1、a， b， c 是不全相等的正数，求证：a(b 2c 2 )b(c2a 2 )c(a 2b2 )6abc2、a， b， c 基本上正数，且a，b， c 成等比数列，求证： a2b 2c2(abc) 23、假设实数 x1 ，求证： 3(1x 2x4 ) (1xx2 ) 2 .4、 a, b, c, d R, 求证 : ac+bd(a 2b2 )( c2d 2 )5、设 a、 b 是两个正实数，且a b，求证： a3+b3 a2b+ab2、参考答案1、证明： b2c2 2bc, a0, a(b 2c2 ) 2abc同理(2a2
2、 )2abcb cc( a22)abcb2因为 a，b， c不全相等，因此222222bcbcca caabab 三式不能2 ,2 ,2全取“ =”号，从而、三式也不能全取“=”号 a(b 2c2 )b(c2a2 )c(a 2b 2 )6abc2、证明：左右 =2 ab+bc ac a， b， c 成等比数列，b 2ac又 a， b， c 基本上正数，因此0bac acac acb2 2(abbcac)2(ab bcb2 )2 (ac b) 0b a2b 2c2(a b c) 23、证明：采纳差值比较法：3(1x 2x 4 )(1xx 2 ) 2=3 3x 23x41 x 2x42x 2 x2
3、2x 3= 2( x4x 3x1)= 2( x1)2 (x 2x1)= 2( x1)2 ( x1 ) 23.241) 23x 1, 从而( x 1)20,且 ( x0,1 ) 23 0,24 2( x 1) 2 ( x24 3(1x2x 4 )(1xx 2 ) 2 .4、分析一 : 用分析法证法一 :(1)当 ac+bd 0 时 , 显然成立(2) 当 ac+bd0 时 , 欲证原不等式成立 ,只需证 ( ac+bd) 2( a2+b2)( c2+d2)即证 a2c2+2abcd+b2d2 a2 c2+a2d2+b2c2+b2d2 即证 2abcd b2c2+a2d2即证 0 ( bc- ad
4、) 2因为 a, b, c, dR, 因此上式恒成立,综合 (1) 、 (2) 可知 : 原不等式成立分析二 : 用综合法2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 证法二 :( a +b )( c +d )= a c +a d +b c +b d =( a c +2abcd+b d )+( b c -2 abcd+a d )(a 2b2 )( c2d 2 ) | ac+bd| ac+bd分析三 : 用比较法证法三 : ( a2+b2)( c2+d2)-( ac+bd) 2=( bc- ad) 2 0, ( a2+b2)( c2+d2) ( ac+bd) 2
5、(a2b2 )( c2d 2) | ac+bd| ac+bd,即 ac+bd( a2b2 )( c2d 2 )5、证明： ( 用分析法思路书写 ) 要证 a3+b3 a2b+ab2 成立，只需证 (a+b)(a 2-ab+b 2) ab(a+b) 成立， 2 2只需证 a -2ab+b 0 成立，2而由条件可知，a b，有 a-b 0，因此( 以下用综合法思路书写)(a-b)2 0 显然成立，由此命题得证。 a b， a-b 0， (a-b) 2 0，即 a2-2ab+b 20亦即 a2-ab+b 2 ab由题设条件知， a+b0， (a+b)(a 2-ab+b 2) (a+b)ab 即 a3+b3 a2b+ab2，由此命题得证 .