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1、知识导入,观察与尝试： 1、向一个长方形的池塘投掷一块石头，考察其所有结果 2、为了不迟到，把闹钟定在5.00-6.00之间，考察闹钟定的时刻的所有可能性 3、公共汽车进站往往滑动停车，但规定离站牌前后不过10米，考察车停靠的位置所有可能性,对比与思考,1、古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的。,思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？,2、这些问题表象有何特点？,3、那么对于有无限多个试验结果（不可数）的情况相应的概率应如何求呢?,几何概型,自学后提问,1、几何概型是怎样定义的？,事件A理解为区域的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几
2、何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的位置和形状无关. 满足以上条件的试验称为几何概型.,2、在几何概型中，事件A的概率是怎么定义的？,（2）每个基本事件出现的可能性相等.,（1）试验中所有可能出 现的基本事件有有限个；,几何概型的特征,古典概型的特征,（1）试验中所有可能出 现的基本事件有无限个；,（2）每个基本事件出现 现的可能性相等.,3、几何概型与古典概型有什么区别和联系？并举例说明.,古典概型的概率公式:,几何概型的概率公式:,几何概型可以看作是古典概型的推广,辨一辨,先判断是何种概率模型,再求相应概率. (1)在集合A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个元素a,则
3、P(6a3)= . (2)已知A=x|0 x9,x R中任取一个元素a,则P(6a3)= .,(2)几何概率模型,P(6a3)=3/9,(1)古典概率模型,P(6a3)=4/10,(3) 在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率.,0.002,(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .,0.004,练一练,(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机取一个实数a， 则这个实数a7的概率为 .,0.3,若满足2a5呢？,4.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻,分别计算它落到阴影
4、部分的概率.,5.取一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大？,6.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点, 求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1 的概率.,几何概型类型总结： 1、与长度相关 2、与角度相关 3、与面积相关 4、与体积相关,几何概型的解题书写规范： 1、指明模型特征 2、指明全体基本事件所构成的几何度量特征 3、指明所求事件所含基本事件所构成的几何度量特征 4、利用公式求事件发生的概率,归纳与总结,1：一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽为20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率.,20m,30m,A,解：依题意
5、，此事件为几何概型 设事件A=“海豚嘴尖离岸边不超过2m”， 如右图，全体基本事件构成水池的面积 则事件A可用图中的绿色阴影的面积,概率的规范步骤 展示,一、与角度有关,例1、在直角三角形ABC中，C为直角顶点，角A为300，在三角形内作射线CD交线段AB于D，求所作射线满足BDBC的概率,解：取BD=BC，则角BCD=600，依题意，当点P落在线段AD上时，满足题意。此概率模型为几何概型 全体基本事件构成的区域为角ACB，大小为900 所求事件构成的区域为角ACD，大小为300 所以，P=300/900=1/3,知识应用,技巧分析： (1)、当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题常用角度的
6、大小作为区域度量来计算概率。 (2)、与角度有关的几何概型的概率计算公式为：,二、与长度有关,1、 平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径ra的硬币任意掷在这一平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率.,解：依题意，此概率模型是几何概型设事件A=“硬币不与任一条平行线相碰”，为了求事件A的概率，只需研究硬币不与两条平行线中任何一条相碰即可，由于硬币的位置由硬币中心决定，可用硬币中心移动宽度来表示几何度量， 如图，则事件A可用图中的阴影来表示， 则全体基本事件可用两平行线的距离来表示,思路,所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。,2、 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达，乘客到达
7、车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率？ 分析：把时刻抽象为点，时间抽象为线段，故可以用几何概型求解。,解：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10，如图所示:,答：侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.,记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件发生，区域D的长度为15，区域d的长度为5。 所以,变式1某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车出发，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率
8、？,分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=10，如图所示:记候车时间大于10分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段T1T上时，事件A发生，区域D的长度为15，区域d的长度为15-3-10=2。 所以,变式2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车出发，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后无需候车的概率？,分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，则当乘客到达车站
9、的时刻落在线段T0T2上时，事件A发生，区域D的长度为15，区域d的长度为3。 所以,变式3某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车出发，并且出发前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客到达车站后候车时间小于5 分钟的概率？,分析：设上辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T0到达，T2时刻出发。线段T1T2的长度为15，设T是T1T2上的点，且T0T2=3，TT0=5，如图所示:记候车时间小于5分钟为事件A，则当乘客到达车站的时刻落在线段TT2上时，事件A发生，区域D的长度为15，区域d的长度为5+3=8。 所以,1.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等
10、待的时间不多于10分钟的概率.,巩固练习,2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了,刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常,若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确时间,求不能看到准确时间的概率.,例1、平面直角坐标系中，点P（x,y）满足 -1x1, -1y1, 求事件点P满足x2+y21的概率,三、与面积相关,例2：在区间(0,1)内任取两点，求两点之间的距离小于l/3的概率.,三、与面积相关,例3、将长度为a的线段任意分成三段，求能构成三角形的概率,解：设三段的长度为 x,y,a-x-y;基本事件可理解为点的位置特征 依题意：此概率模型为几何概型 全体事件中点满足的所有要求即区域 ，
11、 面积S为a2/2 所求事件中 点满足的要求区域 ，面积S1为a2/8 P=S1/S=1/4,例4、甲、乙二人约定在7点到8点之间在某地约会,先到者最多等10分钟后即离去，设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.求二人约会成功的概率.,解:以 X ,Y 表示甲乙二人到达的时刻,用点（x,y）表示基本事件,所有的点构成一个正方形,即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能的,所以落在正 方 形 内 各 点是等可能的.,二人会面的条件是：,所求事件即点 M 落在图中的阴影部分.,四、与体积有关,例1、已知正方体AC1，边长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M-ABCD
12、的体积小于1/6的概率.,P=1/12,例2、已知正方体AC1，边长为1，在正方体内随机取点M (1)、求M与面ABCD的距离大于a/3的概率. (2)、求M与面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于a/3的概率.,练习1、从区间0,1上任取三数a,b,c，求使得a2+b2+c2=1成立的概率,1、有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行，且它 停在任意一点的可能性相等，已知圆形区域的半径为2， 蚂蚁停在圆形内的概率为0.1，求图中五角星的面积. (计算结果保留）,解：此题为几何概型 记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A, 全体基本事件构成五角星区域 事件A的几何表示为圆,对应练习,2、 如图，
13、平面是由若干个边长为2a的小正方形组成.参加者把半径为 r （ra） 的“金币”，任意抛掷在平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个正方形之内（不与正方形的边相碰），便可获奖，求参加者获奖的概率.,参加者获奖的概率为:,3、假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到家，小明离开家去上学的时间在早上7：00至8：00之间，问小明在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？,P=7/8,总结：几何特征的区分技巧- 一变量多为长度与角，两变量多为面积。,我的收获,3.几何概型的概率计算公式,1.几何概型的特征,2.几何概型的定义,每个基本事件出现的可能性 .,几何
14、概型中所有可能出现的基本事件有 个；,如果某个事件发生的概率只与构成该事件区域的几何度量(长度、面积或 体积)成正比例,则称这样的概率模型为几何概率模型。,无限,相等,记事件,4、解题步骤,四、与体积有关,例1、已知正方体AC1，边长为1，连接点A、C、D1、B1，得到一多面体，向正方体内投掷一点，求点恰好落在多面体内的概率,P=1/12,1 .在直角坐标系内,射线OT落在60o 角的终边上,任作一条射线OA,求射线OA落在XOT内的概率。,巩固练习,3、已知一正方形，利用中心与各边的三等分点将其分成8个区域，定于中心的指针随意转动，落在三角形区域即中奖，求中奖的概率,易错成求面积比，原因把基本事件当做点,