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1、第七章欧氏空间,一、教学目标 1熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念； 2掌握Schwarz不等式及应用； 3理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交 补的概念及应用； 4理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系； 5理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。,二、重点： 内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基， 正交变换，对称变换。,三、难点：正交变换，对称变换。,四、课时： 20学时,1,工学第七章欧氏空间,向量的内积,2,工学第七章欧氏空间,说明：定义中的 1）4）称为内积公理。,3,工学第七章欧氏空间,内积的性质：,（3）
2、,（4）,4,工学第七章欧氏空间,定义2 设, 向量的长度是零,非零向量的长度是正数,说明：,5,工学第七章欧氏空间,说明：,6,工学第七章欧氏空间,，当,正交时，等式成立。,称为内积勾股定理。,7,工学第七章欧氏空间,定义3,8,工学第七章欧氏空间, 当,补充定义: 零向量与任意向量均正交.,9,工学第七章欧氏空间, 距离的性质:,（i）正定性：当,(ii) 对称性：,(iii) 三角不等式：,10,工学第七章欧氏空间,定理2 如果W是欧氏空间V的一个子空间，那么 对V的内积来说，W也是一个欧氏空间。,11,工学第七章欧氏空间,7.2 正交基,定义 1. 欧氏空间中的一组两两正交的非零向量
3、叫的一个正交组。如果这组向量都是单 位向量。则称为一个标准正交组。,说明：, 正交组是线性无关的向量组。, 在维欧空间中.两两正交的非零空间 向量个数不超过n个.在面几何中.正交的非零向量 是有两个.在空间解几中.正交的非零向量是有3个.,特别:如果 是n维欧氏空间的一组正 交组.则称 为V的一个正交基.如果 是 n维欧氏空间V的标准正交基.则称为V的一个标准正 交基.,12,工学第七章欧氏空间,定理1 向量 关于一个标准正交基的第i个坐标等 于 与第个基向量的内积.,定理2 设 是欧氏空间v的一个线性无关组， 那么可以求出v的一个正交组 使得 可由 线性表示出。（k=1，2，m）。,说明：,
4、此定理不仅给出标准正交组是存在的。而且给出 一个具体求正交组的方法。使得我们可由任一个线性无关 组出发得出一个标准正交组，这种方法叫正交化方法。有 的书上称为施密特正交化方法。,对于n 维欧氏空间v，如果 是v的基。则由 正交化方法可得到v的一个正交基。 进而得到v 的 一个标准正交基 即n维欧氏空间v一定有正交基。 因而有标准正交基。, 称为正交化公式。,13,工学第七章欧氏空间,定义2. 一个n阶实矩阵叫做一个正交矩阵，如果：,说明：由定义得：,说明：,定理3：维欧氏空间的一个标准基到另一个标准 正交基的过渡矩阵的正交矩阵。,（1）给出两个标准正交基的过渡矩阵所具有的属性。,（2）由定理可
5、以得到：如果 是标 准正交基,是正交矩阵，则由 = 得到是标准正交基。,14,工学第七章欧氏空间,定义3、设W是欧氏空间V的一个非空子集.如果 ,且 与W中每一个向量正交，则称 与W 正交，记为:,说明：,V中与W正交的向量所成的子集记为 ,W是V的一个子空间.,15,工学第七章欧氏空间,定理4. 令W是欧氏空间V的一个有限维子空间. 那么,因而V中每一向量可以唯一写成,这是 , .是唯一的.,定理5 设W是欧氏空间V的一个有限维子空间， 是V的任意向量，是在W上的正射 影，那么对于W中任意向量 .都有,说明: 把在上的正射影叫做到的最佳逼近.,16,工学第七章欧氏空间,定义4,说明：,（ii
6、）称为保内积不变,定理6,说明：,欧式空间的结构完全被它的维数所决定。,17,工学第七章欧氏空间,7.3 正交变换,定义1.欧氏空间 的一个线性变换 叫做一个正交变换。如果对于任意 。都有：,说明：保持向量长度不变的线性变换叫正交 变换。（旋转变换，镜面反射等都是正交变换）。,18,工学第七章欧氏空间,定理1. 设 是欧氏空间的一个线性变换。则,（保持内积不变）,说明：正交变换保持夹角不变,把 的标准正交基仍旧变成标准正交基。,19,工学第七章欧氏空间,7.4 对称变换和对称矩阵,定义1 设 是欧氏空间 的一个线性变换。,20,工学第七章欧氏空间,说明：对称变换与对称矩阵是1-1对应的。,定理
7、2 实对称矩阵的特征根都是实数。,说明：由于我们是在实数域上引入向量的“内积”概念，即欧氏空间都是在实数域上进行讨论的，故对称变换 的特征多项式的根都是 的特征根。,21,工学第七章欧氏空间,22,工学第七章欧氏空间,要使 有一个正交基，而 在这个基下的矩阵是对角形式，则 一定是对称变换。即对称变换 可以使 有一个由 的特征向量组成的正交基。, 对称变换与对称矩阵1-1对应，则由对称变换可对角化到对称矩阵可对角化。即设 是一个n阶实对称矩阵。则存在一个n阶正交矩阵 使得 是对角形式。,23,工学第七章欧氏空间,最后我们给出具体求U的方法: 由 故 第七章给出的求可递矩阵 的方法。 是对角形式,
8、但这样求出的 ,一般说来还不是正交矩阵。( 是过渡矩阵),然而,注意到 的列向量是 的特征向量.对于不同特征根的特征向量来说是彼此正交的.因此,我们还需要再对 中同一个特征根的线性无关向量施行正交化手续就得到了要求的 .具体步骤:,24,工学第七章欧氏空间,1）求出 的特征根 是 的不同特征根; 2）对每一 ;解方程组: 得基础 解系.这就是 的一组基.由这组基施行正交 化,得到 的一组标准正交基 。 3）以这些标准正交基为到向量排成一列 即为所求。,25,工学第七章欧氏空间,7.5 酉空间,定义1. 设V是复数域上一个向量空间，如果对 于V中任意一对、向量，有一个确定的复 数 与它们对应，则
9、，叫做与 的内积，并且下列条件满足：,1） ， 是 的共轭复数；,2）,3）,4） 是非负实数,并且当 时， ， 是 V中任意向量, 是C中任意数，那么V叫做对于这个 内积来说是一个酉空间。,26,工学第七章欧氏空间,设V是酉空间，则,（1）,（2）,（3）,（4）,27,工学第七章欧氏空间,定义2 设 是酉空间, 为 的长度。,说明：,当,当,当,定理1. 设 是酉空间, 当且仅当 线性相关时，等式 成立.即：柯西施瓦兹不等式在酉空间中也成立。,28,工学第七章欧氏空间,定义3. 设 是酉空间， 时， 称 正交.,说明：零向量与任意向量相交。,定义 4. 的一组两两正交的向量组叫 的一组正交
10、组， 的正交组中每一个向量都是单位向量，则称该正交组 为一个规范正交组。,说明：与欧氏空间一样,设V是n维酉空间则：,中两两正交的n个线性无关的向量组 叫的 一个正交基。,中两两正交的个线性无关的单位向量 叫的 一个标准正交基。,中一组线性无关的向量组，总可以用施密特正交化 方法进行正交化，并扩充成一个标准正交基。,29,工学第七章欧氏空间,定义5. 设 是酉空间 的一个有限维子空间令 则 是 的子空间，称为 的正交补，且 .,定义6. 设 是 n阶复矩阵，如果 则称为一个 酉矩阵。,（其中 的共轭）,定理2. n维酉空间一个规范正交基则另一个规范 正交基的过渡矩阵是一个酉矩阵。,30,工学第
11、七章欧氏空间,7.6 酉变换的对称变换,定义1: 酉空间的一个线性变换是一个酉变换. 如果 都有,与欧氏空间平行,有: 是维的酉空间的一个线性变换,则 是酉变换 把规范正交基变为规范正交基 关于规范正交基的矩阵是酉矩 阵,说明:,31,工学第七章欧氏空间,定义 2: 酉空间了 的一个线性变换叫做一 个对称变换(也称为厄米特变换).如果 对 都有,定义 3: 阶复矩阵 是一个埃尔米特矩阵,如 果 。,1 实对称矩阵 是一个厄米特矩阵的特殊情况.,说明：,32,工学第七章欧氏空间,定理 1: 是 维酉空间 的一个线性变 换,则是对称变换 关于规范 正交基的矩阵是厄米特矩阵.,定理 2: 设是 维酉空间的一个对称变 换.则 (1) 的特征值都是实数. (2)属于不同基特征值的本 征向量彼此正交.,此定理给出对称变换的性质.,定理3：设 是一个 阶厄米特矩阵,则存在 一个 阶酉矩阵,使得 是一个实对角形式. 即: 任何一个 厄米特矩阵都“酉相似”一个实对角阵.,说明:,33,工学第七章欧氏空间,