《理学第一章典型例题课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理学第一章典型例题课件.ppt（42页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、数学物理方法,数学是科学的大门和钥匙，忽视数 学必将伤害所有的知识，因为忽视数学 的人是无法了解任何其他科学乃至世界 上任何其他事物的。 （英）R .培根,1,理学第一章典型例题,教材及指导书,一、教材： 梁昆淼编，数学物理方法，第四版，高等教育出版社，2010年1月,二、主要的参考书： 吴崇试 编著，数学物理方法，第二版， 北京大学出版社，2003年12月,成绩测定：作业30%上课出席参与10% 考试60% 联系方式：,内容：复变函数论 数学物理方程,2,理学第一章典型例题,主要内容: 1 复变函数 2 复变函数的积分 3 幂级数展开 4 留数定理 5 傅立叶变换 6 拉普拉斯变换,第一篇
2、复变函数论,参考书： Lars V.Ahlfors 著，赵志勇等译，复分析 机械工业出版社，2005。,3,理学第一章典型例题,第一章典型例题,4,理学第一章典型例题,例1 求出 的值.,解,注：本例关键在于点在第二象限。Arg(z)=(2k+1),5,理学第一章典型例题,解,例2 试求 函数值及其主值:,令 得主值:,6,理学第一章典型例题,例3 证明,证,7,理学第一章典型例题,实部与实部对应相等, 虚部与虚部对应相等, 命题得证.,8,理学第一章典型例题,例4,证,.,0,),0,(,),(,限不存在,时的极,当,证明函数,=,z,z,z,z,z,f,根据定理一可知,9,理学第一章典型例
3、题,例 求 以及它们相应的主值.,解 因为 , 所以它的主值就是ln2. (k为整数), 所以它的主值是ln(-1)= i. 在实变函数中, 负数无对数, 此例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的.,10,理学第一章典型例题,例6 研究函数f(z)=z2, g(z)=x+2yi和h(z)=|z|2的解析性.解 由解析函数的定义可知, f(z)=z2在复平面内是解析的, 而g(z)=x+2yi却处处不解析. 下面研究h(z)=|z|2的解析性. 由于,易见, 如果z0=0, 则当z0时, 上式的极限是零. 如果z00, 令z0+z沿直线 y-y0=k(x-x0) 趋于z0,
4、 由于k的任意性,11,理学第一章典型例题,所以, 当x0时,比值,的极限不存在. 因此, h(z)=|z|2仅在z=0处可导, 而在其他点都不可导. 由定义, 它在复平面内处处不解析.,不趋于一个确定的值.,12,理学第一章典型例题,例7 研究函数 的解析性.,解 因为w在复平面内除点z=0外处处可导, 且,所以在除z=0外的复平面内, 函数,处处解析, 而z=0是它的奇点.,13,理学第一章典型例题,例8 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2). 问常数a,b,c,d取何值时, f(z)在复平面内处处解析?解 由于 ux=2x+ay, uy=ax+2by,vx=2
5、cx+dy, vy=dx+2y从而要使ux=vy, uy=-vx,只需2x+ay=dx+2y, 2cx+dy=-ax-2by.因此, 当a=2, b=-1, c=-1, d=2时, 此函数在复平面内处处解析, 这时 f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2,14,理学第一章典型例题,例9 如果f (z)在区域B处处为零, 则f(z)在B内为一常数.证 因为,所以u=常数, v=常数, 因而f(z)在B内是常数.,15,理学第一章典型例题,证,16,理学第一章典型例题,17,理学第一章典型例题,例11 函数 在何处 可导，何处解析.,解,
6、故 仅在直线 上可导.,故 在复平面上处处不解析.,18,理学第一章典型例题,例12 设 为解析函数，求 的值.,解 设,故,由于 解析，所以,即,故,19,理学第一章典型例题,例13 讨论函数 在原点的可导性.,故 在原点不可导.,解,当 沿正虚轴 趋于0时，有,20,理学第一章典型例题,设 为 平面上任意一定点,当点 沿直线 趋于 时,有,解,例14 研究 的可导性.,当点 沿直线 趋于 时,有,21,理学第一章典型例题,例15,证,22,理学第一章典型例题,23,理学第一章典型例题,例16,解,24,理学第一章典型例题,例17,证,根据隐函数求导法则,25,理学第一章典型例题,根据柯西黎
7、曼方程得,26,理学第一章典型例题,例18,证,27,理学第一章典型例题,28,理学第一章典型例题,例19,解,根据调和函数的定义可得,29,理学第一章典型例题,所求解析函数为,30,理学第一章典型例题,用不定积分法求解例1中的解析函数,例20,解,31,理学第一章典型例题,例21,解,用不定积分法求解例2中的解析函数,32,理学第一章典型例题,33,理学第一章典型例题,例22,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,34,理学第一章典型例题,35,理学第一章典型例题,例23,解,是否可导？,问,yi,x,z,f,2,),(,+,=,36,理学第一章典型例题,37,理学第一章典型例题,例24,解,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,38,理学第一章典型例题,是多连通域.,不是区域.,39,理学第一章典型例题,40,理学第一章典型例题,单连通域.,41,理学第一章典型例题,证,例5,.,0,),Re(,),(,不存在,时的极限,当,证明函数,=,z,z,z,z,f,42,理学第一章典型例题,