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1、的应用的应用 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和 “测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来 ，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两 部分内容的一门数学分学科。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用 ，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三 角形的方法。 我国古代很早就有测量方面的知识，公元 一世纪的周髀算经里，已有关于平面测量 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算 圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已 经取得了某些特殊角的正弦 鹿邑三高 史琳 正弦定理 余弦定理 （R为三角形的外接圆半径） A
2、 BC a cb 例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从 A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C 岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间 的距离是 。 A C B 10海里 60 75 答：海里 解：应用正弦定理，C=45 BC/sin60=10/sin45 BC=10sin60 /sin45 知道它有多远吗？ 请回答下列问题：请回答下列问题： （1 1）什么是解三角形，我们学了）什么是解三角形，我们学了 哪些相关的定理？哪些相关的定理？ （2 2）关于解斜三角形，你掌握了）关于解斜三角形，你掌握了 哪几种类型？哪几种类型？ 例2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为 此在山的一侧
3、选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,ACB=56018,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长 A BC D E 由余弦定理可解AB 长。进而求DE。 析： 思1：能否直接解三角形 ABC？ 2：能否保证A、D、 E、B在一直线上？ 知道它有多宽吗？ 解斜三角形理论 在实地测量中的应用 解三角形的应用解三角形的应用- 实地测量举例实地测量举例 例例3 3、 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A A、B B 间的距离，在岸边选定间的距离，在岸边选定1 1公里长的公里长的 基线基线CD
4、CD，并测得并测得ACDACD=90=90 o o ， BCDBCD=60=60 o o ，BDCBDC=75=75 o o ， ADCADC=30=30 o o ，求求A A、B B两点的距离两点的距离 . . A B C D 知道它有多长吗？ 练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算 油泵顶杆BC的长度已知车厢的
5、最大仰角是60，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 620，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度 已知ABC中AB1.95m，AC1.40m， 夹角CAB6620，求BC 解：由余弦定理，得 答：顶杆BC约长1.89m。 C A B 解斜三角形应用举例 小结 实际问题 抽象概括 示意图 构造三角形 演算 解三角形 实际问题的解 还原说明 注意合理性！ 教室 A B 围墙 试试看！ 。，试求云的高度的仰角为 湖中的象），而湖中云之影（云在角为 处，测得云的仰米的在离湖面高为 H Ah b a 知道它有多高吗！
6、 例6 ，试求云的高度。的仰角为 湖中的象），而湖中云之影（云在角为 处，测得云的仰米的在离湖面高为10A 知道它有多高吗！ 例6 如何在平地上 测量位于山上的灯 塔顶部离地面的高 度？ 知道它有多高吗？ 例7： 例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三
7、点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是，CD=a,测测角 仪仪器的高是h.那么，在ACD中 ，根据正弦定理可得 例8 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 例9 在山顶铁塔上B处测得地面上 一点A的俯角5440，在塔底 C处测得A处的俯角501。已 知铁塔BC部分的高为27.3m，求 出山高CD(精确到1m) 分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长 解：在ABC中， BCA=90+, ABC=90-, BAC=- , BAD=.根据正弦定理 ， CD=BD-BC177-27.3=150(m) 答：山的高度
8、约为150米。 例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达 B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高 度CD. 分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。 例10 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上，行驶5km后到达 B处，测得此山顶在东偏南25的方向上，仰角8，求此山的高 度CD. 解：在ABC中， A=15, C=25-15=10. 根据正弦定理， CD=BCtanDBC
9、BCtan81047(m) 答：山的高度约为1047米。 例11 一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1,距离 精确到0.01n mile）? 解：在ABC中，ABC 1807532137，根据 余弦定理， 所以，CAB=19.0, 75CAB=56.0. 答：此船应该沿北偏东56.0的方向航行，需要航行113.15n mile. 例12 在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到 0.1cm) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; (2)已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm. 例13 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成 市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm）? 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论， 练习3 任一 中，求证： 练习4在ABC中，若B=60,2b=a+c,试 判断ABC的形状。