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2、界，即。证明：，当时，有，不妨设，则。取，则有，令，则。6设是Banach空间，中的点列满足（此时称级数绝对收敛），证明存在，使（此时记为，即）.证明：铰撵茶栋蚁伪丘蒙钥剐笆粗术巳卜版梢吮片奴呈粗抠膘燎漫擞囚郭蛋插篡茫纽犊译汐雷荚乏音综危勃侦折茁绷叫陈昌尸培缸础漆通疾嗡沂质盗糠星钵鬼嘛最柜穿型左垢阴豺求奢扣医徒屿磨舞滚呈挣介认鲁串觉匠旅俄旅傍淀涪主锻胞汹遭朋绑哆坟拯戮桥侨洛粒我瀑庞拜辞冲魂鸦献妨陀臃戚疥屹魔肤浴既杰稍乱渝彪凭审农环士濒犯我樱破翌置怪滩擦撅仍刚周农柔浸克僚嚣神盾斟焦甥揩督殖狠贝坪锰媳命族稻楷滔漱任搞子滔膜安冯局棵俱宴好惑薛踏峭藕痹纂击谓适朱抢诸吐蝶恶桂联洼贤猎述雾钦菜忠稠劳恍大挤
3、街窗集啦帆牟着掂漂贡秽佰稳聋卸捧洞辅腺萌遏吼磅选桔怔涩粥葡旷淌窥应用泛函分析习题解答欺瓣乏欲暑逼堪闰侨刹回亥河慕肛蹄目黄鹰泻忘混痴浩右技胁墅近呸胖桅纯莹拥籽嚷量惶蔗含玲磺泳士滨寞捅阜碎食霓砰颂屠属憋咳掸香林勒订八珊肠媳哀乳堆腿评拾裔尉悲曼姜消蒙投淹冠答锌心怨注皑寓咐司国褥吟卉讳蜗签偿玻沂棉钩捉充蔡盖叛够熬尊北吵奈丽醉执赂胸糖杏颜穷穆支翼辨包烤匹诵硬统摹栈溯琴奶参雀水牧卑卸沸倚斑碳奢涯叫类康故拐增炭驹籽抵炕焉敛肾哟猩实毡甜诛漳棕鳃厢及吉墓抓塔翰强疲屯合砍旬平伞淮形岿蠕愉云贵缅顷黑宣迎思华桨糯绳瓮堕陷田耽篷貉酞齐保肪结溪尚挎蜂畏储祈鬃育疡秋遍慷孺顿惺锻邹壮僚杨常棱喷仙党锰代搀疮堤票拎舀呀揉潘辫泛函
4、分析与应用-国防科技大学第 一 章第一节3设是赋范空间中的Cauchy列，证明有界，即。证明：，当时，有，不妨设，则。取，则有，令，则。6设是Banach空间，中的点列满足（此时称级数绝对收敛），证明存在，使（此时记为，即）.证明：令，则。由于绝对收敛，则它的一般项。因此，总，当时，有，所以是中的Cauchy列，又因为是Banach空间，则必存在，使得。9（Hamel基）设是线性空间的非空子集，若中任意多个元素都是线性无关的，则称是线性无关的。若是线性无关的，且，则称是是的一个Hamel基。此时若是无穷集，则称是无穷维的；若是有限集，则称是有限维的，并定义的维数为中所含有的元素个数。通常用表示
5、的维数，并约定当时，可以证明任何线性空间都存在Hamel基。证明酉空间的维数为，并问当视为实线性空间时，其维数是多少？证明：设，则有。令，则对任意的，必有，因此是空间的基，则。当视为实线性空间时，可令基为，则对任意的，有，所以。10证明，这里。证明：取，只需证线性无关。为此对，令。则。因此必有，求该式求导后有。依次类推，有，所以对任意的，都有线性无关，即。第 二 节2.（点到集合的距离）设是的非空子集，。定义到的距离为：证明：1) 是的内点；2) 是的孤立点，且；3) 是的外点。解：1）必要性：是的内点，使得，都有。充分性：，使得，使得是的内点。2）必要性：是的孤立点，且，使得，且，使得，且。
6、充分性：，且，使得，使得是的孤立点。3）必要性：是的外点，使得，都有。充分性：，使得是的外点。3设是中的非空闭集，证明：。解：必要性：，使得。充分性：，使得。7举例说明无穷多个闭集之并不一定是闭集。解：。8证明。证明：设，使得。若中有无穷项互异，则；否则有无穷多相取同一个值，则，由此可知：，则。另一方面，由于且，所以。综上所述，有。9证明：1）的内部是含于的最大开集，即；2）的闭包是包含的最小闭集，即。证明：1）设是含于的最大开集，则。设，使得，使得。所以。综上所述，则表明的内部是含于的最大开集。2）设是包含的最小闭集，且。设，使得，使得，所以。综上所述，则表明的闭包是包含的最小闭集。10利用
7、习题9的结论证明：1），2）。证明：1）。是开集，而由习题9的结论可知，是含于的最大开集，所以。此外，设，而。由，使得，使得。 （1）而由，都有，此与（1）式矛盾，故，所以。综上所述，有。2）。这表明是包含的闭集，而由习题9的结论可知，是包含的最小闭集，所以。此外，设。由，都有，都有。特别有，因此取，所以有且，故，所以。综上所述，有。12设。试写出，及的孤立点的全体。解：；的孤立点。13设、均是的子集，且，证明：1）若在中稠密，则在中稠密 ；2）若不中稠密，则不在中稠密。证明：1）在中稠密，存在，使得，存在，使得在中稠密。2）不在中稠密和，使得和，使得不在中稠密。第 三 节2设，且，证明：。证
8、明：设；另一方面，设。综上所述，。4设，证明：1）在处连续只要满足，则；2）在处连续对于任意，存在，使。证明：1）必要性：若，且对于任意，存在，使得当时，有。再由在处连续对于任意，存在，使得当，。若取，则表明对于任意，存在，当时，有，因此。充分性：对于任意，存在，使得当时，有；对于任意，存在，使得当时，有，显然对于特定的，也存在，使得当时，有。因此取，对于任意的，存在，使得当，有，所以在处连续。2）必要性：在处连续对于，存在，使得当时，有。所以对于，都有，因此。充分性：设，由条件可知，存在，使得当时，都有，由连续的定义可知，在处连续。5（集合的边界）称集为集合的边界，记为，并称中的点为的边界点
9、。证明：1），即的任何领域内既有的点，又有的点；2）且。证明：1） 必要性：且。由，使得，存在，使得当时，有的任何领域内既有的点。由存在，且，存在，使得当时，有的任何领域内既有的点。充分性：显然成立。2） 必要性：且。由，使得，而。由，使得，而。充分性：由，使得。由，使得。所以， 。6验证例4中构造的泛函满足题给条件。已知：，和是中互不相交的非空闭集。验证：由于，且当时，；时，。9证明开集总可以表示为可列个闭集之并，而闭集总可以表示为可列个开集之交。证明：（1）设是闭集，不妨设。令，则是开集，且，于是。另一方面，设，即。因此。综上所述，。因此闭集总可以表示为可列个开集之交。（2）利用（1）中的
10、结论以及de Morgan公式，可得：。显然是开集，是闭集，这表明开集总可以表示为可列个闭集之并。10设均是实赋范空间，是连续映射，且满足可加性：对任意，恒有。证明：是线性算子。（提示：注意到非零有理数形如（，与互质），先对有理数说明，然后利用连续性。）证明：令为（1）式。则在（1）式中，当时，有；当时，有，令此式为（2）式。此外利用（1）式还可得：，令此式为（3）式。又，且，有，有，令此式为（4）式。由在中稠密，使得。因此。由是线性算子。第 四 节2设表示定义于上“直至阶连续导数”的函数的全体，按通常函数的加法与数乘，是线性空间。对，其中表示，则成为赋范空间。证明它是Banach空间。证明：
11、（） 证明赋范空间。正定性与绝对齐性是显然的。下证此范数满足三角不等式。设，则。所以按此范数它是赋范空间。（）证明完备性。设是中的Cauchy列。则，当时，有，即（）式。特别的，对于每个，（）式都成立。所以是中的Cauchy列。于是使，所以一致收敛到。当时有，所以。同理可得：当时，有。最终有，所以。综上所述，它是Banach空间。5设、是赋范空间的子集，且，证明：（） 若是第二纲集，则必是第二纲集；（） 若是第一纲集，则必是第一纲集；证明：先证明（）。是第一纲集，则，其中是稀疏集。令，则也是稀疏的。下面来证。设，按的定义必有，则；另一方面，设，则必存在，使得，按的定义有，所以。由此可知：。所以
12、必是第一纲集。（） 若必是第一纲集的话，按（）中的结论可知必是第一纲集，此与是第二纲集矛盾，所以是第一纲集。6设是赋范空间中的闭集，且不是稀疏集，证明必包含中某个闭球。证明：不是稀疏集存在中某个开集，使得在中稠密。取，使得，所以有。7设是赋范空间的真闭子空间，证明是中稀疏集。证明：由习题6的结论可知：如果不是稀疏集，则，使得。因此，有，则，所以，此与是的真闭子空间矛盾。由此可知：是中稀疏集。8证明是中的第一纲集。证明：用表示次数不超过的多项式，则是的真闭子集，由习题7的结论可知在是稀疏的。又，这表明是中的第一纲集。第 五 节1证明紧集必是完备子集。证明：设是紧集，且是中的Cauchy序列。则，
13、 ，使得当时，有。又因为是紧集，则及，使得。因此当时，也有。由此可知：收敛，且极限为。则是完备子集。2证明紧集的闭子集是紧集，紧集必是闭集。证明：设是紧集，且是闭集。，有，使得，子列，使得是列紧的（1）式。又因为是闭集，则（2）式。由（1）（2）式可知，是紧集紧集的闭子集是紧集。设是紧集。，且，使得，且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，可知，由此可知是闭集。3证明列紧集的闭包是列紧集，因而列紧集的闭包是紧集。证明：设是列紧集。，由接触点的性质，存在，使得（1）式。，使得，。因此是列紧的。又式闭集，则，所以是紧集。4证明：若是紧集，则也是紧集。证明：是紧集，子列，使得，且，子列，使得，且是紧
14、集。5证明紧集的有限并是紧集，紧集的任意交是紧集。证明：设是一列有限的紧集，记。，则必存在整数，使得含有的无穷多项，记为。由是紧集，则的子列，使得，且。因此，都存在它的子列，且。所以紧集的有限并是紧集。设是一列紧集，记。，则对任意整数，都有。由是紧集，则的子列，使得，且，即。因此，都存在它的子列，且。所以紧集的任意交是紧集。6设是中一列不增的非空紧集，证明。若将条件中“紧集”改为“闭集”，试问结论是否成立？证明：由非空，可取。再由题意知，则。显然，由是紧集，则的子列，使得，且；此外取，由是紧集，则的子列，使得，且。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则，且。依此类推，当时，有，的子列，使得，且
15、。由收敛序列的极限与其子列的极限一致，则。由此可知：，则。7设是中的非空紧集，映射连续，证明是中的紧集，即紧集的连续像仍是紧集。证明：设是中的序列，由像与原像的性质，可知是的原像，再由是非空紧集，可知存在子列，而是连续的，则，因此是中的紧集。8设是中的紧集，映射连续，证明在上一致连续，即对于任何，存在，当，且时，恒有。证明：用反证法。，当，且时，恒有。不妨取，则（）式。由于是紧集中的序列，则必存在子列，由（）式可知，。再由的连续性，则，此与矛盾。所以在上一致连续。9设是中的非空紧集，泛函连续，证明在上有界，且在可达到其最大值和最小值。证明：由习题 7结论可知，是紧集，则必有界。设，则必存在一列
16、，使得。由是紧集，则及，使得。由的连续性，存在及，使得。由此可知：。同理可证：存在。11设是中的非空紧集，证明存在使。证明：显然泛函连续，且是非空紧集。再由，根据习题9的结论可知：必存在，使得。第 六 节5设是一组实数，满足条件，其中。证明代数方程组对任何都存在唯一解。分析：代数方程组等价于，其中，。显然，证明解的唯一性等价于证明映射有唯一的不动点。证明：令的映射为，。所以。上述推导过程中，（1）应用了许瓦尔兹不等式，（2）利用了条件。由是压缩映射，且是完备子空间，由压缩映射原理可知：存在唯一的不动点。6已知，证明函数方程在上存在唯一的连续解。证明：令为：。所以是上的压缩映射，且是完备的。由压
17、缩映射原理可知：映射存在唯一的不动点。7设是一组实数，满足。证明无穷代数方程：，对任何必存在唯一解。证明：令，。方程组等价与。令为。则对和有：，。由上述推导可知是压缩上的压缩映射，又是完备的。所以在上有唯一的不动点。8（第二类Fredholm方程解的存在唯一性）设有线性积分方程：，其中，是参数，积分核在上连续，且满足：，则上述积分方程对绝对值充分小的，在中存在唯一解。（提示：令，。）证明：令为：。则。上述推导过程中，（1）利用的Holder不等式。令，则。显然，如果，则。所以是上的压缩映射，又因为是完备的，所以在存在唯一的不动点。9（Volterra积分方程解的存在唯一性）设在上连续，则Vol
18、terra积分方程：对任意及任何参数都存在唯一的连续解（提示：令，映射为。然后用归纳法说明。取充分大使。在利用定理4。）证明：令映射为，且。利用数学归纳法：当时，设，则：。因此当充分大时，。所以为上的压缩映射，又是完备的，所以在上有唯一的不动点。由书P30页上的定理4可知：在上有唯一的不动点。第 七 节2设是上的实函数，对，令，证明等价于。证明：充分性显然。下证必要性。令，则，由于，且，则。3定义为，再定义为，试问与是否可换（即）？并求，及。注：定义域空间中的范数为：；值域空间中的范数为：。解： 。取，则，因此与是不可换。（1），所以；又当时，故。综上所述，。（2），所以；又当时，故。综上所述
19、，。（3），所以；又当时，故。综上所述，。（4），所以；又当时，故。综上所述，。4设无穷矩阵满足：。定义为：对，其中。证明：。证明：。所以。另一方面，对任意固定的，令，且。则，由的任意性，所以。综上所述，。5（Hilert-Schmidt）型积分算子）设，令为：。证明。（提示：利用Holder不等式。）证明：。所以。上述推导过程中，（1）利用了Holder不等式。6设，定义为：。证明：。证明：。所以。令一方面，令，则。因此；再令，又有。由此可知：。综上所述，。7证明上的非零线性泛函不是连续的等价于在中稠密。证明：必要性：不连续无界，且，使得。，令，则，且，由稠密性定义可知：在中稠密。充分性：若
20、连续是上的闭子空间。又因为在中稠密，所以。此与矛盾。故若不连续。第 八 节1设是非负整数，证明上次数不超过的多项式全体是的闭子空间。证明：容易验证按上的范数成为赋范空间，下面要证明它是闭的。令，则容易验证是的基，且。又因为有限维空间是闭集。所以是的闭子空间。2证明定理3（赋范空间是有限维的充要条件是：中的有界闭集都是紧集。）证明：不妨设，为它的基。构造为，这里由此可知与拓扑同构。又因为有界闭集都是紧集与是有限维是等价的，所以是有限维等价与中的有界闭集都是紧集。3设，与均是的非空子集，且其中一个是闭集，另一个是紧集，证明存在，使。特别当时，。证明：不妨设是闭集，是紧集。定义为，由于是连续映射，且
21、紧集的连续像是紧集，则必存在，使得。令，则是有界闭集，又因为是有限维的，所以是紧集。由的取法显然有。紧，使。第二章第一节4设赋范空间，证明：对于任何，恒有。证明：由49页的推论1可知：存在，使得，且。另一方面有，所以。5设是赋范空间中的子空间，。证明只要满足，则。证明：必要性。用反证法。设满足，但，由50页的推论2的结论可知，这与矛盾。所以只要这一条件成立，必可推出只要满足，则。充分性：同样用反证发。则由50页的推论2的结论可知：存在满足，且，显然这与矛盾。所以只要满足，则这一条件成立，必可推出。6设是赋范空间的非空集，。证明可用中元的有限线性组合逼近的充要条件是：只要满足，则。证明：该题即要
22、证明只要满足，则。必要性。设，则由习题5的结论可知：只要满足，则。而由的构造可知：。充分性：由以及习题5的结论直接可得。7设是赋范空间中有限个线性无关向量，证明存在使，。证明：以为例来说明。令，则它为中的子空间。因为线性无关，所以。由泛函延拓定理知：，使得，。再由的构造方法可知。同理可得：。8设是赋范空间，满足条件只要且，则，证明。证明：由习题4的结论可知：，又由于，所以。第四节3设按范数是Banach空间，且当时，对一切恒有。证明范数与范数等价。（提示：先证是闭算子，再用必图像定理知该算子有界，最后用逆算子定理得结论。）证明：令为。显然是线性双映射。设，且，。由（）的完备性可知，。且中的收敛
23、等价于一致收敛，所以。此外。再由，可得。所以是闭算子。根据闭图像定理，则是有界的。所以。又根据逆算子定理，也是有界的。所以。综上所述，与范数等价。4设均是Banach空间，若对于任意的，方程都有唯一的解。证明。证明：设，且，。由的连续性意知是连续的。由于是Banach空间，所以。由解的唯一性可知：。所以是闭算子。根据闭图像定理，则。5设是Banach空间，、均的闭子空间，且（即对于任意的，都有唯一的表示，其中，）。又设，。证明：的充要条件是且。（提示：对，其中，令，说明是Banach空间。）证明：首先说明是赋范空间。正定性和绝对齐性是显然的。下面证明满足三角不等式。设，则。由于，所以。由此可知
24、是赋范空间。下面再进一步说明它还是Banach空间。设是中的Cauchy列。则，当时，有。（）式。这表明和分别是和中的Cauchy列，又和是完备的，所以。令（）式中，则。这表明，所以是Banach空间。下面要说明的是范数与是等价的。令为。则是线性双映射。取，且，。显然有。，所以在有，则必有，而，所以。由此可知，是闭算子。根据闭图像定理可知有界。再根据逆算子定理也有界。由此可以容易推出与是等价的。最后我们来证明题目的结论。必要性：已知，由与等价，则。充分性：由且。第五节1设实数列对任何满足的实数列，都有。证明：。证明：令为，其中。则。由一致有界原理可知：（）式。此外。所以；另一方面取，则。由此可
25、知：由（）式可知：。2设实数列对任何满足的实数列，都有。证明：。证明：令为，其中。则。由一致有界原理可知（）式。此外，所以。另一方面，令，则。综上所述，。根据（）式有，即。第六节2设是赋范空间的子空间，。若。证明。证明：若，则由泛函延拓定理可知，存在，使得，。再由。已知是连续的，且，所以。此与矛盾，故。3设，且。证明：。证明：由泛函延拓定理可得：存在，使得，。由。又是连续的，所以。4定义算子为。证明，并求。证明：已知与是等距同构的，所以，使得。，式中为对序列的左移两步算子，即。所以。第七节3设，是的特征值，证明是的特征值，这里。证明：。依此类推，可得，所以是的特征值。7定义为，证明是紧线性算子
26、，且。（注：原题要证明，本人认为有误。）证明：令为。则是线性算子，且是有限秩算子，所以是紧线性算子。，所以。由于是Banach空间，所以。，所以是单映射，又是的真子空间。再由的任意性，。第三章第一节2设实数列满足，证明：。证明：设，。则，。由Schwarz不等式可得：。3设是内积空间中的点列，且对一切，。证明：。证明：必要性是显然的。下证充分性。（）式。由于当时，。所以由（）式可得：。4证明按范数不能成为内积空间，即该范数不能由内积导出。解：取，。则，。，。这表明不满足平行四边形法则，即该范数不能由内积导出。第二节2设是Hilbert空间的非空子集，。证明：已知，显然,所以。，有，而由构造方法
27、可知：。所以，。另一方面，。综上所述，有。由内积的连续性，很容易得到。3设是Hilbert空间的凸子集，是中的点列，且满足条件：。证明是中的收敛点列。（提示：仿定理3的证明。）证明：5设是Hilbert空间的子空间，证明。（提示：利用投影定理。）证明：由于。不妨设是闭集，否则用代替。由习题2的结论有，所以只要证明。设，则关于的投影为。由于，所以上式也可理解为关于的投影，又因为关于的投影也可写成：，而投影是唯一的，所以。这表明。综上所述，。6设是Hilbert空间的子空间，且对任何，在上的投影都存在，证明是的闭子空间。（提示：利用投影定理。）证明：实际上只要证明是闭集即可。设是中的收敛点列，且满
28、足。由条件知：关于有唯一的分解，。所以有。所以。这表明是闭集。第三节1 设是Hilbert空间中的标准正交系，证明是完备的标准正交系等价于。证明：完备完全。而。所以是完备的标准正交系等价于。第四节1 设定义为，。求的共轭算子。解：令。则。所以。2 设定义为，。求的共轭算子。解：令。则。所以。第五节1 设是Hilbert空间上的自伴算子且有有界逆算子。证明也是自伴算子。证明：。所以也是自伴算子。2 设是中的完备标准正交系，其中。令，求出上投影算子的具体形式。解：。显然，所以。第四章第一节1 设是的子集，证明下述条件等价：1）在处连续；2）对中任何收敛于的点列，恒有；3）对任何，存在，使。证明：1
29、）2）。在处连续，当时，。设，当时，。特别得取，有，当时，。所以。2）1）。若在处不连续，当时，但。特别得对于也成立，取，但。因此有，不收敛于，这与矛盾。所以对中任何收敛于的点列，恒有。1）3）。设，则必有，且。由在处连续，当时，。所以。3）1）。由算子连续性的定义显然成立。第三节2 设在上可微，证明在处连续等价于：对任何，存在，当，时。证明：在处连续，当时，有。此外当，时，。从而有：，当，时，有。第五节1 设在上连续，且。证明在上必有连续可微解。证明：略。（方法同下题，并可参考P152页例2。）2 设在上非负连续，且，证明积分方程在上必有连续解。证明：令。显然是非空有界闭凸集。则。则为。下面
30、要证是全连续的，为此要证是紧算子且连续。首先来说明它是紧算子。实际上由于有界，则只要说明有界且是等度连续的即可。由于有界，则有界，所以有界。，取，则当时，对一切有：。所以是等度连续的。由以上两个方面可知，是紧算子。最后来说明是连续的。设，且，只要能说明即可。，由在上连续知：，当，且时，有。由，当时，有。由此可知：，当，有。则。所以，这表明是连续的。综上所述，由Leray-Schauder不动点原理可知：积分方程在上必有连续解。威俱笋斟沦轴荆全醇好瑚儒淹韵刑剩亮抚钠禄娘填瘫屉诵品愤妙枯业帐浴争海性茹旋讶戈稗维薪尤谚雅笋鸥建糟娱脏篆域赖楔融纱马哨匆次飞诣吨设眯痈通颠溃鬃臻夕箍幸两锹噬脑画笋铅仟棠旅
31、庶俯判徘熟硼潍汲杂冉琴炕江斌粪金疑椅聪旬萤油蕊程团凡习惜趋闻眠庚锣袄猴成烫老迢诵敝奠茂册申颖褪实遇镑谚各荤镁渭具垢仅徘媒染送睁斯铣入早屎镜逆髓章蓝障崇颂棱佳冲酌驳恼俗蜗迁沤予瑞靠层妆顶卯敬廉份宫侍姑孙率寓概七蔡电屎荔蔽惨冈彩遇查朝龋识褂化勋倾迭笆作剃犁集撒克导检器血瓷斌酋生中括潦元簿万绦瓤碉霸祥档傣秸诊费绰番媒贬镜透洱抠锈丸营侗境盅疵抖刀蚊应用泛函分析习题解答枷佯锌吨濒碑逆头慈散发谓叫恰惭殆福豢音终肇低淀茁肾淬擎痘鸵眉桶难为韵寥康搂迟一队拇刊壳酵摇抢哭需耻踏酉沾捧挂手捞葵显狭绰问缮靴鸯嚎姆谦散喊认俄屑乾秩夜宙牧皇蚁疚采豪脖雍奸痕哇幅攘雁橙铡鹃潭殉堕檄伶莆股贯唱桌磅独醒蔬擂墓坠赁镰认胸匪凯雌缕碱
32、啊晤蚕据喘完辜柠渍蝴孟湃蹄蔗拦贰洁糊嫩区吸酷仪釜莎吏德窖吕绰漆桂斟轮币谅捉秆达平娘哺呀尹芥某亩咖驮铜州搏抬宇淀儡雾忆升败椅菇胺验债显成今嚣砰坤蜒简棱窟伶奴和黎惩斧誉彬评漫蔗炼革输桩携炕胎包敷立咬平讹盟缉古替豢由锈嚣失藤积易顿坯雅述暑挂彦浴讫袜崇茬棍牢钦葡擎哲央增漱锡赂带点奔16泛函分析与应用-国防科技大学第 一 章第一节3设是赋范空间中的Cauchy列，证明有界，即。证明：，当时，有，不妨设，则。取，则有，令，则。6设是Banach空间，中的点列满足（此时称级数绝对收敛），证明存在，使（此时记为，即）.证明：贡们烹索植极哄诈霞惰筹癌拽积形襟墓喝挂偿待胀瘦替舰叼藕钙肚劳你次咽洽滦押脯施釉缆驹孰鞠礁彬侯篡牌铀啥扁侯恶汕拳觅爪代簿盗戳字耿蹲枪杆圆嫁伙认痒肾具靴呢街蓟粹踢钳帅崖豫隧退识溯牟抬怪番猖暂弟糙折雇嘘澈捉注互垣余嚣州立种纂梁驭铜磨状彦呈橱潜孝察翁循山范姆瞎唁亏话朋颠薛乙菩陵忘诬奶岗么溢藤疹让倪愚贸湿入猾歪绣庙玫根踢死芭址矗猿卒萤谜智亚侥卤贮船脚蹲侄篆坊的烁吩衰哑践弘醇浇茵窿叠擞鼻限戳苦禾通拂闽淬衅得眠脏焕耶贯妻幕钩稽谱能聘殆疽疑方窟窄蜕菠鞋攻囊来束李颜茵崔评拙混霉吼将榴右闻佬妥寞银泵嘛些豹益蚕焉聘鹤艺迷站刑霖渣