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1、内容总结及习题练习,内 容 总 结,1.测角中正倒镜是为了消除偶然误差。（）,判断题,考点分析：“正倒镜”即用盘左、盘右两个位置观测水平角，目的是为了消除仪器 误差中“水平度盘偏心差”。通过将同一目标方向在水平度盘对径分划处读数平均,可消除水平度盘偏心差。因此， “水平度盘偏心差”是系统误差。,偶然误差和系统误差的定义区别,2.观测值与最佳估值之间之差为真误差。（）,考点分析：真误差概念：“真误差为真值与观测值的差值”。,3.偶然误差符合统计规律。（）,知识点：偶然误差的四个统计规律：有界性，聚中性，对称性，抵偿性,4.权一定无单位。（）,知识点：“同类观测值”，权无单位；“不同类观测值”，权
2、有单位。,内 容 总 结,7.已知两段距离的长度及其中误差 和 ， 这两段距离的真误差相等，最大限差相等。（）,知识点：衡量精度的常用精度指标：中误差（方差）、平均误差、或然误差、最大限差和相对误差。,注意：中误差表示的是真误差的分布范围，并不代表任何具体的真误差。,8.如果随机变量X和Y服从联合正态分布，且X和Y的协方差为0，则X和Y相互独立。（）,知识点：协方差可描述两个观测量之间的独立与相关性。即对于正态分布的观测值而言，协方差为0与相互独立是等价的。,6.各观测值权之间的比例关系和观测值中误差没有关系。（）,知识点：观测值的权与观测值方差成反比，权之间的比例关系与所选的单位权中误差没有
3、关系。,内 容 总 结,1.几个名词,内 容 总 结,2.一个事实,不论观测条件如何，观测误差总是不可避免的。,3.基本假设,在本课程中我们假设观测误差为偶然误差，即不含系统误差和粗差。换句话说， 我们假设观测误差服从正态分布。,4.统计规律,在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值有界性,绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大聚中性,绝对值相等的正负误差出现的概率相同对称性,偶然误差的数学期望为零抵偿性,内 容 总 结,5.协方差阵,X的协方差阵,1. 是观测向量的期望；,几点说明：,2.主对角元素 是第i 组观测值的方差；,3.非主对角元素 是第i 组观测值关于第j组观测值的协
4、方差， 协方差用来描述观测值i 和观测值j 之间的相关程度；,4.当 表示这两个观测值独立，不相关；,5.由于 ，故 为对称阵；,内 容 总 结,6.观测值为独立观测值时，协方差阵为对角阵；,5.协方差阵,X的协方差阵,几点说明：,7.观测值为等精度独立观测值时，即 协方差阵为数量矩阵,内 容 总 结,6.互协方差阵,若DXY=0，则X、Y表示为相互独立的观测向量。,X的协方差阵,Y的协方差阵,向量X关于向量Y的互协方差阵,内 容 总 结,7.两个传播律,线性函数,协方差传播律,协因数传播律,广义传播律,内 容 总 结,7.两个传播律,线性函数,协方差传播律,协因数传播律,广义传播律,内 容
5、总 结,7.两个传播律,非线性函数,首先将函数线性化，线性化方法（泰勒级数和全微分法），然后再进行相关计算。,将非线性函数在 处按照泰勒公式展开如下：,一、泰勒级数法：,二、全微分法：,2.若函数为非线性的，则对函数求全微分进行线性化， 偏导数是将观测值代入求解得到,内 容 总 结,8.解题步骤,1.按要求写出函数式，如：,4.将微分关系写成矩阵形式：,5.应用协方差传播律或协因数传播率求解具体问题,3.注意单位的统一，角度要转换为弧度制,内 容 总 结,9.测量中的具体应用,测站高差精度相同时，水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，权与测站数成反比,各测站距离大致相等时，水准测量高差的
6、中误差与距离的平方根成正比，权与距离成反比,一、水准测量,内 容 总 结,二、同精度独立观测值的算术平均值,N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差=各观测值中误差除以 ，权与N成正比,三、若干独立误差的联合影响,观测结果=各独立误差所对应的方差之和,9.测量中的具体应用,内 容 总 结,四、交会定点的精度,点P点位方差,横向误差,纵向误差,以侧方交会为例：,横向误差,纵向误差由边长AP引起，横向误差由AP边的坐标方位角引起的,9.测量中的具体应用,内 容 总 结,10.协因数阵,协因数阵,协因数阵的特点：,1.主对角元素 是随机变量 的协因数，即权倒数。,2.非主对角元素 是随机变量 关于随
7、机变量 的互协因数， 且有， 因此协因数阵也为对称阵。,3. 表明随机变量 与随机变量 独立，不相关。,内 容 总 结,2.当观测值相关，其协因数阵 是非对角阵，权阵 的主对角元素不再是 相应观测值 的权。,权阵说明：,11.权阵,1.独立观测值的协因数阵 、权阵 是对角阵，主对角元素就是相应观测值的权。,注意：求观测值权的方法，通过协因数阵主对角线元素进行求解。,内 容 总 结,加权平均值,情况一：“同精度”,情况二：“不同精度”,带权平均值的权等于各观测值权之和,12.应用特例,主要公式汇编,不同精度真误差 计算单位权方差,菲列罗公式,双观测值之 差求中误差,习 题,解：观测值的协因数阵为
8、,观测值的权阵为,观测值的权分别为：,习 题,解：观测值的协因数阵为,观测值的协方差阵为,观测值的权分别为：,习 题,例3.某三角网共有100个三角形构成，其闭合差的WW=200，测角中误差的估值为多少？ (计算取位至于0.1)。,解：,应用菲列罗公式：,n:代表三角形的个数,解：,角度的权：,因为,为相关观测值,矩阵形式：,习 题,，,角度的平均值为,角度的平均值的权,角度的平均值的中误差,习 题,解： 1,2,3,习 题,解：由题意知,（）丈量m长距离一次的权为,（）设丈量m长距离n次的权为4,则,习 题,考查点： 距离定权方法： 加权平均值的权=各个观测值权之和,解：AB 丈量一次的中误
9、差为,由定权公式知，单位权中误差,则丈量次的中误差为,则丈量次的中误差为,习 题,解：AB 丈量一次的中误差为,由定权公式知，单位权中误差,则丈量次的中误差为,则丈量次的中误差为,根据丈量m的权是知,则丈量一次的权为,（与上题的区别是不知道丈量一次的权）,习 题,解：P点的两个高程值分别为,习 题,由协方差传播律得：,习 题,例11：单一三角形的三个观测角 的协因数阵 ，现将三角形闭合差 平均分配到各角，得 ，式中 ， （1）试求 的权； （2） 与 是否相关？试证明之。,解：,协因数传播律：,W与 不相关。,习 题,例12：由已知水准点A、B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点高程（如图）
10、。 各条水准路线长度分别为S1=2km，S2=S3=4km，S4=1km，设2km线路观测高差 为单位权观测值，其中误差 ，试求（1）D点高程最或是值（加权平均值） 的中误差 ；（2）A、D两点间高差最或是值的中误差,解：,，且S1为单位权观测值，则,由权的定义知：,（1）D点高程最或是值，即加权平均值的表达式：,协方差传播律：,习 题,例12：由已知水准点A、B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点高程（如图）。 各条水准路线长度分别为S1=2km，S2=S3=4km，S4=1km，设2km线路观测高差 为单位权观测值，其中误差 ，试求（1）D点高程最或是值（加权平均值） 的中误差 ；（2）A、D两点间高差最或是值的中误差,解：,（2）A、D两点间高差最或是值：,协方差传播律：,