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1、.,1,什么是数学模型? 所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。 数学模型的特点 1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。 2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之；准确体现了系统性质。 3) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数 4) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析 数学模型的类型 1)微分方程：时域 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2)传递函数：复频域 微分方程拉氏变换后的结果 3)频率特性：频域 分析方法不同，各有所长,数学模型的概念,.,2,列写微分方程式的一般步骤 1) 分析系统运动的因
2、果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。 2) 忽略一些次要因素，合理简化。 3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。 4) 列写中间变量的辅助方程。 方程数与变量数相等！ 5) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。 6) 将方程式化成标准形。 与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。,系统微分方程的建立,.,3,三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f 对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv 例1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。 试列出以外力F(t)为输入量，以质量的
3、位移y(t)为 输出量的运动方程式。,解：遵照列写微分方程的一般步骤有： （1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质 量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为 中间变量。 （2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时， 系统处于平衡状态。,机械平移系统举例,.,4,（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即,（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中 间变量,得,（6）整理方程得标准形,（4）写中间变量与输出量的关系式,.,5,电路系统举例 例2 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。,解：（1）确定
4、输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。,（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。,.,6,（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:,（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得,（3）由KVL写原始方程：,i(t),（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为,.,7,线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：,式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束： （1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定； （2）左端的阶次比右端的高,n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件； （3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。,.,8,相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。,例1,例2,令uc=q/C,模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。,