1995年全国初中数学联赛试题.docx

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1、年全国初中数学联赛试卷第一 一、 本 共有个小 ，每一个小 都 出了以（） 、（）、（）、（） 代号的四个答案，其中只有一个答案是正确的， 将正确的答案用代号填在各小 的括号内。已知 a355 ， b444 ， c533 有（）（）abc ；（）cba；（） cab ； （） ac b方程 xyyz63）xzyz的正整数解的 数是（23（）；（）；（）；（）如果方程 (x1)(22)0的三根可以作 一个三角形的三 之 ，那么 数xx m的取 范 是（）（） 0 m 1； （） m33m 13m 1； （）； （）444如果 次 ， ，和的四 形内接于一 ，那么此 的周 （）（） （） （） （

2、） 是 的一条弦，是 的直径，且与弦相交， M | S CABS DAB | .N2S OAB ， （）（） MN ； （）； （） MN（），的大小关系不确定 数， 足不等式 | a |(ab) | | a| ab | （）（） a0 且 b 0（） a0且 b 0（） a0 且 b 0（） a0且 b 0二、填空 1 在， 个数中，十位数字 奇数的数共有个。21212 已知 是方程 xx0 的根， 的 等于。454323 设 x 正 数， 涵数yx2x1的最小 是。x4 以 段 直径作一个半 ， 心 ，是半 周上的点， 。第二 一、已知，点在上， ，三点的 交于（如 ） 。求 ： 的内心。

3、二 、 在 坐 标 平 面 上 ， 纵 坐 标 与 横 坐 标 都 是 整 数 的 点 称 为 整 点 。 试 在 二 次 函 数1 / 13x 2x9y | x | 的所有整点（x ， y ）y10的图像上找出满足105二、试证：每个大于的自然数都可表示为两个大于且互质的自然数之和。年全国初中数学联赛试卷答案第 一 试一、选择题（）a355(35 )1124311 ，b444(34 ) 1125611 ，c533(53 ) 1112511 ，cab .（）第二个方程可以改写为( xy) z23.因为 , 且是质数，故， ，由此得，将此代入第一个方程得( 23x)( x 1)63，即x 222

4、 x400 .解之得x12 ,x220 .因此，原方程组的两组解为：x12 , y121 , z11；x220 , y23 , z21.（）因为 x22xm0 有两根，故4 4m ，得 . 原方程的三根为x1 1 ，x21 1 m，x3 1 1 m.显 然 ， .注 意 到x1x2 21m11m3x3 ，由此得 m.4（）设为圆内接四边形，且， ， . 圆内接四边形对角互补，故 C 180 A . 连接，由余弦定理（如图） ，2 / 13BD 2AB 2AD22 ABAD cosACB 2CD 22CB CD cosC即25260 2225 60cos A39252 2239 52 cosA解

5、得cos25 260 239 25220A603952)2(25故A90 BD 的直径 .BD25260265 .故 周 65 .（）如 ，作 DEAB 于， CFAB 于，延 交 于， 接，因是直径，故DGC 是直角，从而是矩形，DEGF . 不妨 CFFG ，作 OHCG 于， OLAB 于， 是的中点，于是CFFGCH HFFC2HF2OL .MS CABAB CFAB DEAB (CF FG )因此S DAB222AB OL2S OAB .（）若 足 的不等式. 有a2aa2(a b)b ， 化 整理得 a ( a b)a a b .由此知 a0 ， ab0 . 从而 aba ，aba

6、上式 当 a0， ab0 成立，从而 ba0二、填空 在 , 中，十位数字是奇数的只有4216 ， 6236 . 两位数的平方可以表示 (10a b) 2100a 220abb2，它的十位数的奇偶性与十位数字的奇偶性相同. 因此，只能取与 . 即相 的每个数中有两个数的十位数字是奇数. 因此， 目 的个数中， 十位数字是奇数的共有个 .a 31 (a1) ( a 1)(a 2a 1) ,a 5a4a 3a2a 2 (a 1)( a 1)2 . 足等式a 2a10 ，43 / 13a1， a 10 .所以a31a 2a 1a5a 4a3a 2a 2 ( a 1) 211420 .12()4y (

7、x 1) 2x11 (x 1)2( x1 ) 21 .xx当时，( x1) 2 与 (x1)2 同时取最小值， 因此的最小值为 .x或如 图 ， 因 是 直 径 ， 故ACB90， sinCABBC . 由 OC 2AC BC 得ACOCABOC.BC在ABC 中，由正弦定理得sinAOCAC sinCABOCOCBCOC1 .BCABAB2AOC30 或 150.在等腰OAC 中，CAB180AOC或15.275第 二 试一、证明ACBC ，ACB90 ，CABCBA45. 四点共圆 .CDFCAF45 ，CDE90 ，EDFCDECDF45CDF ，即平分CDE .CA CD ，CADCD

8、A ，又CFD180CAD180CDA4 / 13180 CFACFB ，CDFCBF45DCF180CFDCDF180CFBCBFBCF .即平分DCE .所以是CDE 的内心 .二、由，得x2x18，10即x2x18 .当时，式为 x2x18 ，即x211x18 ，解得 .对于上述区间内的整数值， 当时，相应的为整数值 . 此时，满足条件的点有 (),(),(),().当 x 0 时，式为x 2x18 ，即x 29x 18 ，解得 .对于上述区间内的整数值，当时，相应的为整数值. 此时，满足条件的点有()().故满足条件的整点共有个 .三、证明对分情况讨论 .（）当为奇数时，设n2k1(

9、为整数） . 若，此时()由于 (k, k 1)1，上述表示符合要求 .（）当为偶数时，设n4k或4k 2( 为整数 ). 若 n4k ，此时n(2k 1)(2k1) .2k 1与 2k1是互质的，因为若它们有公因数，设2k1nd , 2k 1md ( 是自然数) ，则 ( mn)d2 ，可见d 2，所以d2，这与2k 1，2k 1均为奇数相矛盾 .若 n 4k 2 ，此时n (2k1) (2k3) .2k 1与 2k3是互质的 . 因为若它们有公因数，设2k1nd , 2k 3 md ( 是自然)，则 ( mn)d 2，可见d 2，所以d2，这与2k12k 1均为奇数相矛盾.数，5 / 13

10、若 n 4k 2 ，此时n(2k1)(2k3) .2k1与 2k3是互质的 . 因为若它们有公因数，设2k1nd , 2k3md ( 是自然数) ，则 ( mn)d4 ，可见 d 4 ，即或 . 这与 2k1， 2k3 均为奇数相矛盾 .综上所述，原命题得证.年全国初中数学联赛参考答案第一试一、选择题讲解： 这类指数幂的比较大小问题， 通常是化为同底然后比较指数， 或化为同指数然后比较底数，本题是化为同指数，有 () () () 。选。利用，计算、 、也可以，但没有优越性。讲解：这类方程是熟知的。 先由第二个方程确定 , 进而可求出两个解： ( ，) 、( ， ) 也可以不解方程组直接判断：因

11、为 ( 否则不是正整数 ) ，故方程组或无解或有两个解， 对照选择支，选。讲解：显然，方程的一个根为，另两根之和为。三根能作为一个三角形的三边，须且只须又有 4m讲解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一又由（） ( ) 故可取为直径，得周长为，选讲解： 此题的得分率最高， 但并不表明此题最容易， 因为有些考生的理由是错误的比如有的考生取为直径，则，于是就选其实，这只能排除、，不能排除6 / 13不失一般性， ，在上取， 有，且 同理， 相加，得 ，即 若 、分 作的垂 （ ），、，垂足分 、 、，可得梯形又由垂径分弦定理，知是的中点根据 本上做 的一道作 ：梯形 角 中点

12、的 平行底 ， 并且等于两底差的一半，有即 解：取、可否定、， 一般地， 已知不等式平方，有 ( ) 然 ( ) （若等于， 与上式矛盾），有两 都只能取或，故只有，即有且，从而 二、填空 解：本 然以 算 体，但首先要有 察的能力 算，知十位数字 奇数的只有，然后， 两位数10a，有（ 10a） 20a（ 5a ) 其十位数字 的十位数字加上一个偶数，故两位数的平方中，也中有或 ，其十位数字才会 奇数， 化 ，在，中个位数出 了几次或，有. 解： 一般都先化 后代 ，直接把学生在 道 上的 主要是化 的方向不明确， 最后又不会将作 整体代入 里关 是整体代入，抓住 一点， 算可以灵活比如，由

13、有7 / 13由，得由并将代入，得还可由得即得所求讲解：这个题目是将二次函数与反比例函数因而时，有最小值5 讲解：此题由笔者提供，原题是求，让初中生用代数、几何相结合的方法求特殊角的三角函数值、6 解法如下：与联立，可推出而式、表明， 、是二次方程8 / 13改为求之后，思路更宽一些如，由第二试一、讲解：首先指出，本题有（年）的背景，该题是：在直角中，斜边上的高，过的内心与的内心的直线分别交边和于和，和的面积分别记为和求证在这个题目的证明中，要用到今年的初中联赛题相当于反过来，先给出( 斜边上的高 ) ，再求证通过、的内心（图） 其次指出，本题的证法很多，但思路主要有两个：其一，连、 、，然后

14、证其中两个为相应的角平分线；其二是过作三边的垂线，然后证明其中两条垂线段相等下面是几个有代表性的证法9 / 13证法：如图，连，则由已知，有连、，由，知，得， 即到、和距离相等， 在线段的垂直平分线上， 从而也在等腰三角形的顶角平分线上，是的平分线由于是上两条角平分线的交点，因而就是的内心证法：同证法，得出之后， 由于，故有、四点共圆连，在证得之后，立即有，即是的平分线本来，点的信息很少， 证为角平分线应该是比较难的， 但四点共圆把许多已知信息集中并转移到上来了，因而证法并不比证法复杂由这个证明可知，是的外心证法：如图，只证为的平分线由，得从而，得为的平分线证法：首先是的平分线，故的外心在直线

15、上10 / 13 以 、 建立坐 系，并 , 直 是一次函数的 象（ ） 若 内心的坐 （，）， 足，即在直 上，但在上，故是与的交点由交点的唯一性知就是，从而 得 的内心 可延 交于，而 直径来 二、 解：此 的原型 目是：于第一象限内， 坐 小于横坐 的格点 个 目的 是解不等式求正整数解直接解，数字 繁但有巧法，由及，知 ( ) 但，得，从而，所求的格点 ( ，) 命 的修改之后，数据更整 且便于直接 算有当 ，有，得，代入二次函数，得合乎条件的个整点： (),(),(),(); 当 ，有，得，代入二次函数，得合乎条件的个整点：(),() ，取 , 次代入，得( ， ) 、 ( ， )

16、、 ( ， ) 、 ( ， ) ，且当 ，由11 / 13对 ，取 , 次代入，得( ，) 、 ( ， ) ，且当 ，再无 足的解故一共有个整点， 示略解法：先找 足条件的整点，即分 解方程可得 ( ， ) 、( ， ) 、 ( ， ) 、 ( ，) 再找 足的整点， 或，依次 得 ( ， ) 、 ( ， ) 故共有个整点三、 解：直 上可以 看，当 ，在， ，中，必有一个数与互 ( ) ， ，有此 ，与必互 ， 否 与有公 数， 也是的 数， 从而与有大于的公 数，与、互 矛盾但是， 于初中生来 ， 个的存在性有点抽象，下面分情况， 把它具体找出来() 当 奇数 ，有 ( ) ，() 当 偶数，但不是的倍数 ，有() 当 偶数，且又是的倍数 ，有12 / 1313 / 13