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1、专题 6 等差数列和等比数列测试题命题报告：1. 高频考点：等差（等比数列）定义，通项公式以及求和公式以及数列的性质等。2. 考情分析：本部分是高考必考内容，多以选择题、填空题形式出现，突出小巧活的特征，有时候在解答题中出现，考察数列的基本量的计算，数列的性质，求数列的通项公式，利用定义法证明等差数列（等比数列）等，求和（裂项求和、错位相减法、分组求和等）。3. 重点推荐：第 12 题，需要探索出数列的周期，再利用周期求解。一选择题（共 12 小题，每一题 5 分）1.已知等差数列a n 满足 a2=2，前 5 项和 S5=25，若 Sn=39，则 n 的值为（）A 5B 6C 7D 8【答案
2、】：B【解析】设等差数列a n 的公差为d，则 a2=a1+d=2，S5=5a1+d=25，联立解得a1= 1， d=3， Sn=na1+d=n+ 3=39，解得 n=6，故选： B2. (2019华南师范大学附属中学月考) 在数列中，若，且对所有满足，则（ ）A.B.C.D.【答案】 B【解析】 ：依题意，；，所以.3.（2018 ? 滨州期末）设数列a n 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an+1=2Sn，则 S12=（）A 310B 311CD【答案】：B【解析】 a1=1， an+1=2Sn， Sn+1Sn=2Sn，即 Sn+1=3Sn， S1=11 / 13数列 S n 是等比
3、数列，首 1，公比 3 S12=1 311=311故 ： B4. ( 20182019 州市十四 ( 市 ) 期中 ) 已知等差数列的前 和 ，若， （）A. 1009B. 1010 C. 2018 D. 2019【答案】 A【 解 析 】 由 题 得， 所 以， 所 以=. 故答案 ： A5. 已知 a n 等比数列，下面 中正确的是（）222a2B a +a 2aA a+a324354C若 a2 a4， a1 a3D若 a2=a4， a2=a3【答案】：A6. 直 与两坐 成的三角形面 Sn， S1+S2+ +S2018 的 （）ABCD【答案】：C【解析】直 与两坐 的交点 ：（0，）和
4、（，0 ）， Sn=?=， S1+S2+ +S2018=1 + +=1=故 ： C2 / 137.（2018?双流区期末）已知a n 是首 2 的等比数列，Sn 是 a n 的前 n 和，且28S3=S6， 数列 的前 3 和 等于（）ABC或D或 3【答案】：B【解析】 等比数列a n 的公比 q 1， 28S3=S6， 28（ 1+q+q2） =1+q+q2+q3+q4+q5， 1+q+q2 0，可得： 28=1+q3，解得 q=3 an=2 3n 1=（） n 1 数列 的前 3 和 =，故 ： B8.已知数列 a n 的前 n 和 Sn，且 a1=1，Sn=an+1 1， bn=log
5、 4an， Tn 数列 b n 的前 n 和， T100=（）A 4950B 99log 46+4851C 5050D 99log 46+4950【答案】：B【解析】 a1=1， Sn=an+11， a1=a21，可得 a2=6，可得 n2 ， Sn 1=an1，又 Sn= an+1 1，两式相减可得 an=SnSn 1= an+1 1 an+1，即有 an+1=4an， an=6?4n 2， n 2，bn=log 4an=，T100=0+99（ log 46 2） + 99（ 2+100）=4851+99log 46故 ： B9. 在一个排列中，如果一个大数排在一个小数前面，就称它 一个逆序
6、，一个排列中逆序的 数就称作 个排列的逆序数如排列2， 3，7， 5， 1 中 2， 1；3， 1； 7，5； 7， 1；5， 1 逆序，逆序数是5 有1 50 这 50 个自然数的排列：2， 4，6， 8， 50， 49，475， 3， 1， 此排列的逆序数是（）A 625B 720C 925D 1250【答案】：A【解析】根据 意，在排列：2， 4， 6， 8， 50， 49，475， 3，1 中，3 / 131 的逆序有 49 个，即 2， 4， 6， 8， 50， 49，475， 3；3 的逆序有 47 个，即 4， 6， 8， 50， 49，475；49 的逆序有 1 个，即 50，
7、其逆序 首 49，末 1， 数 25 的等差数列， 此排列的逆序数：49+47+ +1=625；故 ： A10. 设 Sn 等差数列 a n 的前 n 和， a1=2016 ，=2， S2018 的 （）A 2 018B 2 018C 2 017D 2 019【答案】：B11. （2018 春?黔 南州期末）己知数列 a n 足 a1=1， a2=3， an+2=3an（n N* ）， 数列 a n 的前 2018 的和 S2018 等于（）1008 1）B 2（3100920182017 1）A 2（ 3 1）C 2（ 3 1）D 2（ 3【答案】：B【解析】由n+2n*），即，当 n=1
8、，可得132n 1成等比，首 1，公比 3a =3a （ n Na， aa当 n=2 ，可得a2，a4a2n 成等比，首 2，公比 34 / 13那么：，前 2018 中，奇数 和偶数 分 有1009 项故得 S2018=2 31009 2=2（31009 1）故 ： B12. （2018?蚌埠期末） 定 函数 f（ x）如下表，数列 a n 足 an+1=f（an），n N* ，若 a1=2， a1+a2+a3+ +a2018=（）x123456f （ x）354612A 7042B 7058C 7063D 726 2【答案】：C【解析】由 意，a1=2，且 任意自然数均有an+1=f （
9、an）， a2=f （ a1）=f （ 2） =5， a2=5，a3=f （ a2） =f （ 5） =1，a3=1，a4=f （ a3） =f （ 1） =3，a4=3，a5=f （ a4） =f （ 3） =4，a5=4，a6=f （ a5） =f （ 4） =6，a6=6，a7=f （ a6） =f （ 6） =2，a7=2，故数列 a n 足： 2， 5， 1，3， 4， 6， 2， 5，1是一个周期性 化的数列，周期 ：6a1+a2+a3+ +a6=21a1+a2+a3+ +a2018=336（ a1+a2+a3+ +a6） +a1+a2=7056+2+5=7063故 ： C二填空
10、（共4 ，每小 5 分）13.在各 均 正数的等比数列中，若， 的 是.【答案】 4【解析】 等比数列的公比 ，化 ，解得故答案 ： 45 / 1314.（2018?宁波期末）数列a n 足， 通 公式 an=【答案】：【解析】当n=1 ， a1=1；当 n 2 ， a1+2a2+3a3+ +（n 1） an1=（ n 1） 2，n22，作差可得， na =n （ n 1） =2n 1，故 an=，a1=1 也 足上式；故an=，故答案 ：15. （ 2018? 江 门 一 模 ） 设 x表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ， 如 =3， 3.2= 4 ， 则lg1+lg2+lg3+
11、+lg100=【答案】：92【解析】 lg1=lg2=lg3= lg9=0，lg10=lg11= +lg99=1， lg100=2 lg1+lg2+lg3+ +lg100=90 1+2=92故答案 ： 9216 （2018? 黄 浦 区 二 模 ） 已 知 数 列 a n是 共 有k个 项 的 有 限 数 列 ， 且 满 足，若 a =24，a =51，ak=0， k=12【思路分析】根据 意，将an+1=an1 形可得an+1an an 1an= n，据此可得（ a3a2 a2a1） = 2，（ a4a3 a a ） = 3，a a aa= （ k 1），用累加法分析可得 a a a a =
12、 1+2+3+（ k 1） ，3 2kk 1k 1 k 2k k 11 2代入数据 形可得k2 k 2450=0，解可得k 的 ，即可得答案【解析】：根据 意，数列 a 足 a =a，nn+1n 1 形可得： an+1an an 1an= n， 有（ a3a2a2 a1） = 2，（ a4a3 a3a2） = 3，（ a5a4 a4a3） = 4，akak 1 ak 1ak2= （ k 1），相加可得： akak 1a1a2= 1+2+3+ （ k 1） ，又由 a1=24， a2=51， ak=0，6 / 13 有 k2 k 2450=0，解可得： k=50 或 49（舍）；故 k=50；故
13、答案 ： 50三解答 （本大 共 6 小 ）17. 数列 a n 的前 n 和 Sn 且 Sn=n2+1（）求 a n 的通 公式；（） bn=，求数列 b n 的前 n 和 Tn【分析】（I ）由 S =n +1可得 n 2 ， a =S S， n=1 ， a =S =2即可得出 a n2nnn 111n（II）n=1时，T1=2n2时，bn=，利用裂 求和方法即可得出【解析】：（I ） Sn=n2+1 n2 ， an=Sn Sn1 =n2+1 （ n1） 2+1=2n 1n=1 ， a1 =S1=2 an= 4 分（ II ） n=1 ， T1=2n 2 ，bn=，6 分数列b n的前n项
14、和n+ +T =2+=2+n=1 ，上式也成立 Tn=2+ 10 分18. 已知是一个公差大于的等差数列 , 且 足.（ 1）求数列的通 公式；7 / 13（ 2）若数列和数列 足等式, 求数列的前 和.【解析】：（1） 等差数列的公差 , 由, 得由, 得 4 分易得. 6 分（ 2）令, 有,由（ 1）得, 故, 即, 8 分面, 所以可得, 于是.即. 12 分19. （ 2018?山 淄博二模） 已知等比数列 a n 的前 n 和 Sn，数列是公差 1 的等差数列， 若 a1=2b1，a4 a2=12， S4+2S2=3S3（ I ）求数列 a n ， b n 的通 公式；（ II ）
15、 cn=， Tn 为 c n 的前 n 和，求T2n8 / 13（ 2） cn=，即 cn=， 8 分T2n =（ c1+c3+ + c2n 1） +（ c2+c4+c2n）9 / 13=+ + （+ +）=（ 1+） +=?+（ 1）= ? ? 12 分20.（2018?萍 期末）已知数列a n 中， a1=1， T2n 为a n 的前 2n 的和， bn=a2n（ 1） 明：数列 b n 是等比数列，并求 b n 的通 公式 bn；（ 2）若不等式 T2n k 于一切 n N+恒成立，求 数 k 的取 范 【分析】（1）由等比数列的定 ， 合条件，化 可得 ，由等比数列的通 公式即可得到所
16、求通 ；（ 2） n 奇数 或偶数，可得 a n 的通 公式，运用分 求和可得T2n，运用不等式的性 即可得到所求范 【解析】：（1）证明：，所以 b 是以，公比 的等比数列，n所以；6 分+，（ 2）当 n=2k（ kN ） ，当n=2k1（kN+）时，10 / 13即， 8 分，得 T2n 3，因不等式T2n k 于一切n N+恒成立所以，k 的取 范 3 ， +）12 分21.已知 Sn 等差数列 a n 的前 n 和，已知S2=2，S4= 20（ 1）求数列 a n 的通 公式和前n 和 Sn；（ 2）是否存在n，使 Sn， Sn+2+2n， Sn+3 成等差数列，若存在，求出n，若不
17、存在， 明理由【分析】（1） 等差数列a n 的公差 d，运用等差数列的通 公式和求和公式，解方程可得首 和公差，即可得到所求通 和求和；（ 2）假 存在n，使 Sn，Sn+2+2n， Sn+3 成等差数列，运用等差数列中 性 ，解方程可得n，即可得到所求 【解析】：（1） 等差数列 a n 的公差 d， S2=2， S4= 20， 2a1+d=2， 4a1+6d=20， 立解得 a1=4， d=6， an=4 6（ n 1） =10 6n，Sn=7n3n2； 6 分11 / 1322（2018?大 一模）已知数列a n 的前 n 和 Sn，点（ n，Sn）在曲 上，数列 b n 足 bn+b
18、n+2=2bn+1，b4=11， b n 的前 5 和 45（ 1）求 a n ， b n 的通 公式；（ 2） ，数列 c n 的前 n 和 Tn，求使不等式恒成立的最大正整数k 的 【分析】（1）利用已知条件求出a n 的通 公式，判断数列是等差数列求解b n 的通 公式；（ 2）化 数列的通 公式，利用裂 相消法求解数列的和即可【解析】：（1）由已知得：，当 n=1 ，2 分当n2时，=n+2 ，当 n=1 ，符合上式所以 an=n+2 4 分因 数列 b n 足 bn+bn+2=2bn+1，所以 b n 等差数列 其公差 d ，解得，所以 bn=2n+3 6 分（ 2）由（ 1）得，=， 8 分=，因 ，12 / 13所以 T n 是 增数列所以，故恒成立只要恒成立所以 k 9，最大正整数k 的 8 12 分13 / 13