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1、.,1,第一章 开关理论基础第2讲,数子逻辑与数字系统,.,上节主要内容回顾,逻辑代数的基本运算：与或非及电路符号 用真值表和逻辑函数描述逻辑电路 根据真值表写出原始的逻辑函数表达式,.,本讲主要内容,布尔代数的基本公式和定律 逻辑函数的代数法化简 逻辑函数的卡诺图化简,.,用真值表证明分配律： A+BC=(A+B)(A+C) 两个变量的摩根定律的真值表证明：,基本定律的证明,.,吸收律证明： A+AB=A(1+B)=A(因为1+B=1),根据分配律A+BC=(A+B)(A+C),.,多余项定律证明如下：,.,多余项定律可推广为,.,基本规则 1、代入规则： 逻辑等式中的任何变量A， 都可用另
2、一逻辑函数Z代替，等式仍然成立。,.,.,2. 对偶法则 对于任何一个逻辑表达式F， 如果将其中的“+”换成“”， “”换成“+”， “”换成“0”， “0”换成“1”，则可得原函数F的对偶式G， 且F和G互为对偶式。 对偶法则：原式F成立，则其对偶式也一定成立。,.,其对偶式为：,如不加括号，就变成,是错误的。,注意：在求对偶式时，要保持原式的逻辑优先关系， 应正确使用括号。,.,“异或”逻辑和“同或”逻辑互为对偶式,.,3. 反演法则,用途：由原函数求反函数，称为反演或求反。 方法： 利用摩根定律 利用反演法则,.,例 ：,求,的反函数,解1 用摩根定律求,.,利用反演法则求反：将原函数F
3、中的“”换成“+”, “+”换成“”； “0”换成“1”， “1”换成“0”； 原变量换成反变量， 反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变， 即可得反函数。如上例,注意，与求对偶式一样，为了保持原函数逻辑优先顺序，应合理加括号，否则出错。,.,公式的应用：,逻辑函数的形式转换 用选定的逻辑器件实现 逻辑函数的化简： 实现单路简单，降低成本和系统的复杂性,.,例 ：将函数与或表达式 转换为其它形式。 解： （1）转换为 与非-与非式。 将与或式两次取反，利用摩根定律可得,这样就可以全部使用与非门实现,（详见第2章）,.,代数法化简,1、并项法 2、吸收法 3、应用多余项定律 4、
4、 拆项法 5、 添项法,.,例 ：,解 令 则,1、并项法：利利用A +A=1的公式，将两项合并为一项，消去一个变量用,.,2、 吸收法：应用以下定律,例 ：,.,例 ：,解 令,.,例 13,解,令,.,3、应用多余项定律,.,例,解,.,综合例子,化简,解,.,4、 拆项法,例,拆项法就是用 去乘某一项，将一项拆成两项，再利用公式与别的项合并达到化简的目的。化简过程如下：,.,在函数中加入零项因子 ，利用加进的新项，进一步化简函数。 例 解,5、 添项法,.,【例13】 ：有原始逻辑函数表达式为 要求： (1)画出原始逻辑表达式的逻辑图； (2)用布尔代数简化逻辑表达式； (3)画出简化逻
5、辑表达式的逻辑图。,.,.,化简：,.,【例15】设计一个逻辑电路，当三个输入A,B,C中至少有两个为低时，该电路则输出为高。 要求：(1)建立真值表； (2)从真值表写出布尔表达式； (3)如果可能，简化表达式； (4)画出逻辑电路图。 解 (1)由于有三个变量，真值表有8种输入组合。,.,.,代数法化简存在的问题,经验和技巧？ 是否最简？,.,1.5卡 诺 图,1、什么是最小项？ 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变量参加相“与”的项叫做最小项。 在一个最小项中， 每个变量只能以原变量或反变量出现一次。 最小项 的个数：n个变量所有可能的组合 最小项的特点 最小项的编号,.,三个变量A
6、BC有八个最小项：,以此类推，四个变量ABCD共有24=16个最小项，n变量共有2n个最小项。 为方便起见，将最小项表示为mi,例如： 一个变量A有二个最小项： 二个变量AB有四个最小项：,.,三变量最小项的编号,.,2、逻辑函数的标准式最小项标准式 全是由最小项组成的“与或”式叫做最小项标准式(不一定由全部最小项组成)。,.,由一般式获得最小项标准式,一般式采用添项法， 例如,由上式可看出，第二项缺少变量A，第三项缺少变量B， 我们可以分别用 和 乘第二项和第三项， 其逻辑功能不变。,.,4、卡诺图的结构逻辑函数的图形表示,卡诺图上每一个小方格代表一个最小项。 保证相邻关系，即图上几何相邻的
7、项逻辑上相邻。因此每相邻方格的变量组合之间只允许一个变量取值不同。为此，卡诺图的变量标注均采用循环码顺序排列。 一变量卡诺图：有21=2个最小项，因此有两个方格。外标的0表示取A的反变量，1表示取A的原变量。,.,15变量的卡诺图,.,4、卡诺图上的有用组合,观察卡诺图上相邻项的特点：只有一个变量取之不同 两项、四项、八项相加？,.,相邻最小项合并规律 (1) 两相邻项可合并为一项， 消去一个取值不同的变量，保留相同变量； (2) 四相邻项可合并为一项， 消去两个取值不同的变量， 保留相同变量， 标注为1原变量，0反变量； (3) 八相邻项可合并为一项，消去三个取值不同的变量，保留相同变量，标
8、注与变量关系同上。 合并的规律是2n个最小项的相邻项可合并,.,图 1 8 相邻最小项合并规律,.,用卡诺图化简逻辑函数,1、逻辑函数的卡诺图表示法 逻辑函数表达式中含有的最小项在卡诺图相应的方格中填上1，其余填0,.,2、利用卡诺图化简逻辑函数 (1) 将原始函数用卡诺图表示； (2) 根据最小项合并规律画圈， 圈住全部“”方格； (3)每一个圈对应一个与项，然后再将各与项“或”起来得新函数。,.,3、画包围圈的规则是： （1）要尽可能地使卡诺圈大，这样消去的变量就多，但每个圈中所包含的的方格数只能是2n，且只有相邻的1才能被圈在一起； （2）使卡诺圈数目最少,这样逻辑函数的与项就少，但所有
9、填1的方格必须被圈，不能遗漏； （3）每个为1的方格可被圈多次，但每个圈中至少有一个1只被圈过一次；,.,化简举例：,.,.,例： 将 用卡诺图表示。 解 我们逐项用卡诺图表示，例如 在B=1, C=0对应的方格(不管A，D取值)，得m4、 m5、m12、m13，在对应位置填1；,.,.,第二步： 画卡诺圈圈住全部“”方格。,.,第三步： 组成新函数。 第四步：画出逻辑电路。,.,例 ： 化简,.,.,图 1 15 化简过程及逻辑图,.,图 1 16 化简过程及逻辑图,(a)中出现了多余圈。m5、m7、m13、m15虽然可圈成四单元圈，但它的每一个最小项均被别的卡诺圈圈过，是多余圈,.,无关项
10、及无关项的应用,真值表中变量的某些取值组合不允许出现， 或者是变量的某些取值下，函数的值可以是任意。我们将这些变量取值对应的最小项称为无关项，我们用或者用表示，其值可以取0或1。 例如：对于含有无关项逻辑函数：,.,图 1 25 考虑无关项函数化简,.,例： 化简,解 化简函数为,.,例 ： 化简,解 由于m11和m15对化简不利， 因此就没圈进。,.,1.6数字集成电路,把数字电路制做在同一块半导体基片上，这样的产品叫集成电路。 制造技术 CMOS系列：CMOS管构成的集成电路 TTL系列：用双极型晶体管构成的电路,.,封装类型 插孔形式 平面形式,.,集成电路的规模 小规模 中规模 大规模
11、 超大规模 巨大规模,.,集 成 逻 辑 门电路的外特性 扇出系数Nc 门电路通常只有一个输出端，但它能与下一级的多个门的输入端连接。一个门的输出端所能连接的下一级门输入端的个数称为该门电路的扇出系数。或称负载能力。TTL一般门电路的扇出系数为8，驱动门的扇出系数可达25。CMOS门的扇出系数更大一些。,.,平均传输延迟时间 是反映门电路工作速度的一个重要参数。以非门为例，在输入端加上一个正方波,则需要一定的时间间隔才能从输出端得到一个负方波。这两个方波的时间关系如图所示。 若定义输入波形前沿的50%到输出波形前沿的50%之间的时间间隔t1为前沿延迟；同样，若定义t2为后沿延迟，则它们的平均值称为平均传输延迟时间简称平均时延。,.,开门电平U0H与关门电平U0L 表示逻辑值1的最小高电平UOH称为开门电平 表示逻辑值0的最大低电平UOL称为关门电平,.,空载功耗 集成电路的功耗和集成密度密切相关。功耗大的的元器件则集成度不能很高。 当输出端空载,门电路输出低电平时电路的功耗称为空载导通功耗Pon。当输出端为高电平时，电路的功耗称为空载截止功耗Poff。 平均功耗P=(Pon+Poff)/2。,.,课堂练习,习题1 第6小题 习题2第2小题 习题3第2小题 习题4,.,作业,习题1 第5小题 习题2第5小题 习题3第3小题 习题5第3小题 习题6第2小题 习题7第3小题,