多元正态分布及其抽样分布.PPT.ppt

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1、.,1,第二章多元正态分布及其抽样分布,.,2,内 容,第一节 多元正态分布的定义 第二节 多元正态的性质 第三节 多元正态参数的极大似然估计 第四节 多元正态的样本分布,.,3,第一节 多元正态分布的定义,一、标准多元正态分布,则,设随机向量,其分量独立同分布于,密度函数为,.,4,其中的,均值为,.,5,协方差矩阵为,.,6,二、一般的正态分布,设随机向量 ,若其的密度函数为,.,7,其中 的均值为,协方差为,称 服从均值为E(X)，协方差为的正态分布。,.,8,三、一般的p维正态和p维标准正态的关系,设 ，其中 是一个 阶非退化矩阵， 服从 维标准正态分布，则,服从p维正态分布，且均值向

2、量为,.,9,x的协方差矩阵为,.,10,其密度函数为,.,11,若 ，则1存在， 是非退化 元正态分布；,若 ，则 不存在， 是退化 元正态分布，不存在密度函数。,值得注意,设随机向量 ， 是常数向量， 是一个 的常数矩阵，则 服从正态分布，记为 ，其中,.,12,例：设随机向量 ， ， ，则 的分布是退化的三元正态分布。,.,13,第二节 多元正态分布的性质,二、x是一个服从p维正态分布，当且仅当它的任何 线性函数 服从一元正态分布 。,一、多元正态分布的特征函数,三、 X服从 维正态分布，则 ，其中 为 常数矩阵， 为 维的常数向量，则,.,14,四、设 ，则 的任何子向量也服从多元正态

3、分布，其均值为 的相应子向量，协方差为 的相应子矩阵。,.,15,五、设 , ， 相互独立，且，则对任意 个常数 ，有,.,16,六、 ，则 分布。,.,17,七、将 作如下的分块： 子 向量相互独立，当且仅当 。 证：必要性,.,18,.,19,.,20,.,21,八、设 ， ， ，其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵， ， ，则 与 相互独立，当且仅当 。,.,22,九、设 ， ， ，其中 是 阶矩阵， 是 阶矩阵， ， ，则 与 相互独立，当且仅当 。,同上可证。,.,23,十、将 作如下的分块：,则 与 相互独立， 与相互独立 。,证：,.,24,.,25,则给定 时 的条件分布为 ，其中,

4、十一、将 作如下的分块：,为 给定的条件下 数学期望。,.,26,十二、偏相关系数,矩阵 称为条件协方差矩阵，它的元素用 表示。是当 给定的条件下， 与 （ ）的偏相关系数，定义为,它度量了在值 给定的条件下， 与 （ ）相关性的强弱。,.,27,例 设XN6( ,)，其协方差矩阵为，计算偏相关系数。,.,28,.,29,求x7给定的条件下，x1， x6的偏协方差矩阵,.,30,.,31,.,32,.,33,.,34,.,35,3 实例分析及SAS/CORR,例1 今对31人进行人体测试，考察的7个指标是： x1：年龄 x2：体重 x3：肺活量 x4：1.5英里跑所需时间 x5：休息时的脉搏

5、x6：跑步时的脉搏 x7：跑步时记录的最大的脉搏 对这些指标进行一些相关分析。,.,36,SAS的程序 data a; input x1-x7; cards; 44 89.47 44.609 11.37 62 178 182 40 75.07 45.313 10.07 62 185 185 38 89.02 49.874 9.22 55 178 180 47 48 61.24 47.920 11.50 52 170 176 52 82.78 47.467 10.50 53 170 172 ; proc corr nosimpl cov; var x1; with x7; partial x3;

6、 run;,.,37,proc corr nosimpl cov;分析相关系数 nosimpl是要求不打印描述性统计量。,var x1;指定分析相关系数的变量。,with x7; with指定变量与var指定的变量之间的相关系数。,partial x3;当指定的变量给定时，计算偏相关系数。,.,38,.,39,在肺活量一定的条件下，年龄和跑步时记录的最大脉搏成 负相关,1 Partial Variables: x3 1 With Variables: x7 1 Variables: x1 Partial Covariance Matrix, DF = 29 x1 x7 -24.95076704

7、 Pearson Partial Correlation Coefficients, N = 31 Prob |r| under H0: Partial Rho=0 x1 x7 -0.54573 0.0018,.,40,第三节 极大似然估计及其性质,.,41,则总体的密度函数为,X1，X2，Xn是从总体中抽取的一个简单随机样本，满足X1，X2，Xn相互独立，且同正态分布,称X为样本数据矩阵。,一、样本的联合密度函数,.,42,为样本联合密度函数。,.,43,所以，似然函数还可以表示为：,.,44,二、和的极大似然估计,所谓和的极大似然估计，是寻找 和 满足条件,.,45,令,.,46,可以证明

8、和的极大似然估计为,.,47,三、相关系数的极大似然估计,（一）极大似然估计的不变性质 设 是的极大似然估计是 ，而且变换f()是一一对应的，则f()的极大似然估计就是,.,48,（二）简单相关系数的极大似然估计,其中Sij是样本协方差矩阵S中相应位置上的元素,.,49,（三）偏相关系数的极大似然估计,则偏相关系数的极大似然估计,其中,，,。,.,50,（四）复相关系数的极大似然估计,将x和S作如下的分块,.,51,的线性函数为,.,52,定义 (复相关系数),一个变量y与一组变量X1,X2,XK的负相关系数是以y为 被解释变量，X1,X2,XK为自变量的回归方程的可决系数。,.,53,为了研

9、究四川经济增长的影响因素，欲建立四川省经济增长模型。主要经济指标采用国内生产总值增长率（Y），投资指标资本形成总额增长率（X1），人口指标用自然增长率（X2），就业指标失业率（X3）和消费指标居民消费水平增长率（X4）。分析指标之间的关系。,.,54,data a; input y x1-x4; cards; 数据行 ; proc corr nosimpl noprob cov; run;,.,55,proc iml; sigma22=76.58605619 2.59407381 -3.45807619 49.03157071, 2.59407381 5.14447619 -0.7825238

10、1 4.24046429, -3.45807619 -0.78252381 3.63747619 -2.32063571, 49.03157071 4.24046429 -2.32063571 53.90793143; sigma12= 57.79053524 4.91975476 -2.98844524 52.41117214; fcorr=sigma12*inv(sigma22)*t(sigma12)/54.8989690; print fcorr; proc reg; model y=x1-x4; run;,.,56,Analysis of Variance Sum of Mean So

11、urce DF Squares Square F Value Pr F Model 4 1089.28592 272.32148 501.20 .0001 Error 16 8.69346 0.54334 Total 20 1097.97938 Root MSE 0.73712 R-Square 0.9921 Dependent Mean 115.58238 Adj R-Sq 0.9901 Coeff Var 0.63774 FCORR0.9920823,.,57,四、估计量的性质,1、不变性； 2、无偏性； 3、有效性； 4、相合性； 5、充分性,.,58,中小企业的破产模型 为了研究中小企

12、业的破产模型，首先选定了X1总负债率（现金收益/总负债），X2收益性指标（纯收入/总财产），X3短期支付能力（流动资产/流动负债）和X4生产效率性指标（流动资产/纯销售额）4个经济指标，对17个破产企业为“1”和21个正常运行企业“2”进行了调查，得资料如下。如果这些指标是用来做判别分析和聚类分析的变量，他们之间没有显著性差异是不恰当的，所以检验所选择的指标在不同类型企业之间是否有显著的差异。,.,59,x1,x2,x3,x4均为判别变量,.,60,x1, x3为判别变量,.,61,多元假设检验 Statistic Value F Value Num DF Den DF Pr F Wilks

13、Lambda 0.54561620 6.87 4 33 0.0004 Pillais Trace 0.45438380 6.87 4 33 0.0004 Hotelling-Lawley Trace 0.83279015 6.87 4 33 0.0004 Roys Greatest Root 0.83279015 6.87 4 33 0.0004 直接检验两个总体的均值向量是否相等。,.,62,Dependent Variable: x1 （对X1进行的检验） Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1 0.8746679

14、1 0.87466791 16.90 0.0002 Error 36 1.86300840 0.05175023 Corrected Total 37 2.73767632 X1在类间有显著性差异。,Dependent Variable: x2 （对X2进行的检验） Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1 0.08312077 0.08312077 1.95 0.1710 Error 36 1.53370028 0.04260279 Corrected Total 37 1.61682105 X2在类间没有显著性差异。

15、,.,63,Dependent Variable: x3（对X3进行的检验） Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1 16.46958443 16.46958443 21.45 .0001 Error 36 27.64080504 0.76780014 Corrected Total 37 44.11038947 X3在类间有显著性差异。,Dependent Variable: x4（对X4进行的检验） Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr F Model 1

16、0.00112694 0.00112694 0.03 0.8643 Error 36 1.36978095 0.03804947 Corrected Total 37 1.37090789 X4在类间没有显著性差异。,.,64,第四节 抽样分布,一、维希特（Wishart）,1、定义随机矩阵的分布,矩阵中的每一个元素均为随机变量，则矩阵X的分布是其列 向量拉长，组成一个长向量,.,65,特别当 是 阶对称阵，则 的分布为的下三角部分组成的长向量,在一元正态随机变量中，我们曾经讨论了 分布，在多元 正态随机变量也有类似的样本分布。维希特分布（Wishart）相当 于一元统计中的 分布。,.,66

17、,定义 维希特（Wishart）分布的统计量,设 个随机向量,独立同分布于 ，则随机矩阵,.,67,服从自由度为 的非中心维斯特分布，记为 。,.,68,定理1：若 ，且 ， ，则 的分布密度为 特别，当 和 时， 服从 分布。,维希特（ Wishart）分布的密度函数,.,69,二、维斯特(Wishart)分布有如下的性质：,（1）若A1和A2独立，其分布分别 和 ，则 的分布为 ，即维斯特分布有可加性。,（2） ，C为mp阶的矩阵，则 的分布为 分布。,.,70,三、 抽样分布,定理1：设X1,X2,Xn是来自多元正态总体Np(,)的简单随机样本，有,则有,.,71,证明：,独立,.,72

18、,.,73,.,74,故,且相互独立。,.,75,独立,.,76,当 ， 时，由卡方分布的定义可知,可见维希特分布是由卡方分布在多元下的推广。,服从自由度为 的卡方分布。,定理2 设 独立同正态分布，则统计量,.,77,证：,由于样本均值,相互独立的标准正态分布的平方和为自由度为 的卡方分布。,.,78,在一元正态的情形下，我们有样本的统计量 当总体的方差未知时，我们必须用样本的方差 来代替总体的方差，则 那么在多元正态的情形下，是否有相同的问题呢？回答时肯定的。,.,79,定义：,称T2服从参数为P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，当。,当 时， 服从自由度为n的中心霍特林分布，

19、记为 。,.,80,定理：,.,81,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，有,.,82,定理：设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,.,83,设 是来自多元正态总体 的简单随机样本，,.,84,（1）Wilks分布,定义：设 和 ，且 相互独立， 和 ， ，则称 服从Wilks分布，记 。 可以证明，当 和 时，Wilks分布可以用 分布近似。,四、基于维斯特(Wishart)分布的统计量,在一元方差分析中，常常遇到基于独立的 分布随机变量比值的 统计量。在多元统计分析中，起到相同作用的是统计量 和 分布。,.,85,2、统计量和分布,设k个总体 ，它们服从 。分别抽出如下的样本：,.,86,W=E+B,.,87,当K个总体的均值相等时 ,服从Wilks 分布。,