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1、普通高中课程标准实验教科书 数学 （必修）,第一课时,基本不等式,在北京召开的第24届国际数学家大会的会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。,1、正方形ABCD的 面积S=,、四个直角三角形的 面积和S =,、S与S有什么 样的不等关系？,探究：,SS即,问：那么它们有相等的情况吗？,能否推广到对于任意实数a,b, a2+b22ab都成立？,探究2：,思考：你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立,文字叙述为:,两数的平方和不小于它们积的2倍.,适用范围：,a,bR,问题
2、一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然, 是成立的.当且仅当a=b时, 中的等号成立.,分析法,问题二,证明不等式：,特别地，若a0，b0，则,通常我们把上式写作：,当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数；,文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.,适用范围：,a0,b0,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,RtACDRtDCB，,如图, AB是圆的直径, O为
3、圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?,问题三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD与CD的大小关系怎样? OD_CD,如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,a=b,a=b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的2倍,a,bR
4、,a0,b0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,变式2：x -1, 当 x 取什么值时, 的值最小? 最小值是多少?,4,2,思考：当 x0时表达式又有何最值呢？,变式1：,例1： 当 x0 时， 的最小值为 ，此时x= 。,基本不等式的应用,那你能从刚才的两个例题的解答过程中总结出什么规律吗？,结论1.两个正数积为定值，则和有最_值,小,即：x0,y0,当xy的值是常数P时，当且仅当_时， x+y有最_值_.,小,x=y,结论2.两个正数和为定值，则积有最_值,大,即：x0,y0,当x+y的值是常数S时，当且仅当_时， xy有最_值_.,大,x=y,注意：各项皆为正数； 和为定值或积
5、为定值； 注意等号成立的条件.,一“正” 二“定” 三“相等”,注：应用此不等式求最值的关键是配凑和定或积定,（1）用篱笆围一个面积为100 m2 的矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，能使所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,基本不等式的应用,例2、解决以下问题：,解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,则面积为xy=100 m2 ，篱笆的周长为2（x+y）m.,基本不等式的应用,例2、解决以下问题：,（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，如何设计篱笆的长和宽，菜园的面积最大？最大面积是多少?,解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m ,当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立。,课堂练习：,课堂小结：,几何解释,时等号成立,应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件：,一、是正数条件，即a、b都是正数；,二、是定值条件，即和是定值或积是定值；,三、是相等条件，即ab时取等号；,简称“一正、二定、三相等”,必做题：P100，习题第1，2,作业布置：,选做题：,欢迎指导！,