2021年高考数学试题带答案.docx

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1、2021年高考数学试题带答案2021年高考数学试题带答案 一、选择题1已知二面角l -的大小为60，b 和c 是两条异面直线，且,b c ，则b 与c 所成的角的大小为（ ）A 120B 90C 60D 302设集合()2log 10M x x =-2N x x =-，则M N ?=（ ） A 22x x -B 2x x -C 2x x D 12x x 3如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A 由两个圆锥组合成的B 由两个圆柱组合成的C 由一个棱锥和一个棱柱组合成的D 由一个圆锥和一个圆柱组合成的4在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲

2、的都高 丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A 甲、乙、丙B 乙、甲、丙C 丙、乙、甲D 甲、丙、乙5已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ）A 43y x =B 34y x =?C 35y x =D 53y x =6在ABC 中，a 5，b 3，则sin A ：sin B 的值是（ ）A 53B 35C 37D 577圆C 1：x 2+y 24与圆C 2：x 2

3、+y 24x +4y 120的公共弦的长为（ ） A 2B 3C 22D 328若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A 6500元B 7000元C 7500元D 8000元9函数y =2x sin2x 的图象可能是A B C D 10一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的

4、值为 A 1220B 2755C 2125D 2722011已知tan 212?+=- ?，则tan 3?+= ?（ ） A 13-B 13C -3D 312在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c+=-，则ABC ?为（ ） A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形D 等腰直角三角形二、填空题13已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+相切,则a= 14如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的

5、高度_ m. 15若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m -共线，则m 的值为 16在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A =，3a =，b=1,则c =_17已知样本数据，的均值，则样本数据，的均值为 18已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是_ 19在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 20抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0

6、)y px p =，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为_ 三、解答题21已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为23,6?，曲线C 的极坐标方程为223sin 1+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x tl y t=+?=-+?（t 为参数）距离的最小值.22如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB

7、 AD =. （1）证明：AE 平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.23已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程 （2）当60ABC =?时，求菱形ABCD 面积的最大值24如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C 平面ABC ,90ABC =?，1130,BAC A A AC AC E F =?=分别是11,AC A B 的中点. （1）证明：EF BC ；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值.25如图所示，在四面体

8、PABC 中，PCAB，点D ，E ，F ，G 分别是棱AP ，AC ，BC ，PB 的中点，求证： (1)DE平面BCP ； (2)四边形DEFG 为矩形 【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1C 解析：C 【解析】 【分析】,b c ，直线,b c 的方向向量,b c r r分别是平面,的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解. 【详解】设直线,b c 的方向向量,b c r r，,b c ，所以,b c r r分别是平面,的法向量，二面角l -的大小为60，,b c r r的夹角为060或0120，因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故

9、选:C. 【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.2B解析：B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】()2log 1001112M x x x x x x =-2M N x x ?=-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.3D解析：D 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，

10、属于基础题.4A解析：A 【解析】 【分析】利用逐一验证的方法进行求解. 【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A 【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查5A解析：A 【解析】 【分析】依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c =，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =

11、，对2OF M 在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得43b a =，问题得解 【详解】依据题意作出图象，如下： 则1122PF F F c =，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF , 所以222MF c a b =-=由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PFc a =+， 所以()()()()22222222cos 2222c a c c b OF M c c a c +-=?+整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入22

12、2c a b =+，整理得：43b a =， 所以C 的渐近线方程为43b y x x a = 故选A 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题6A解析：A 【解析】 由正弦定理可得：sin 5sin 3A aB b = . 本题选择A 选项.7C解析：C 【解析】两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】因为圆C 1：x 2+y 24与圆C 2：x 2+y 24x +4y 120， 两式相减得20x y -=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 24，圆心到公共

13、弦的距离为d =，所以公共弦长为：l =. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8D解析：D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可 【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：600015%x10%100解得x 8000 故选D 【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题9D解析：D 【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在(,)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x

14、 R f x x x f x -=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为(,)2x 时，()0f x 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复10D解析：D 【解析】旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解 【详解】因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一个，所以取出的三个球中必有一个新球，

15、两个旧球，所以129331227(4)220C C P X C =，故选D 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题11A解析：A 【解析】 【分析】由题意可知3124tan tan ?+=+ ? ?，由题意结合两角和的正切公式可得3tan ?+ ?的值.【详解】3124tan tan ?+=+ ? ? 112431124tan tantan tan ?+ ?=-?-+ ?，故选A .【点睛】本题主要考查两角和的正切公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由1lg lg()

16、lgsin b A c+=-lgb bc =?=且sin A =A 为锐角，所以45A =o，由2b c =，根据正弦定理，得sin sin sin(135)cos sin 22B C B B B =-=+o ，解得cos 090B B =?=o ，所以三角形为等腰直角三角形，故选D. 考点：三角形形状的判定.二、填空题138【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为

17、111|1|2x x y x=+=，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数141006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正

18、弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析： 【解析】试题分析:由题设可知在中,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.考点：正弦定理及运用15【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m -=+，解得12m =. 考点：三点共线162【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2 【解析】 【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c

19、. 【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c -=，解得2c =或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.1711【解析】因为样本数据x1x2?xn 的均值x=5所以样本数据2x1+12x2+1?2xn+1的均值为2x+1=25+1=11所以答案应填：11考点：均值的性质 解析： 【解析】 因为样本数据，的均值，所以样本数据，的均值为，所以答案应填：考点：均值的性质18【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得

20、令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,ln 12f x x x ax x f x x ax =-=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,+上有两个实数根，()1122ax g x a x x-=-=，当0a 时，()0g x ，则函数()g x 在区间()0,+单调递增，因此()0g x =在区间()0,+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a 时，令()0g x =，解得12x a =，令()0g x ，解得1

21、02x a ，此时函数()g x 单调递减，当12x a=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+时，()g x -，要使()0g x =在区间()0,+有两个实数根，则11ln 022g a a ?= ?，解得10,2a 02a . 191：8【解析】考查类比的方法所以体积比为18解析：1：8 【解析】考查类比的方法，11111222221111314283S hV S h V S h S h ?，所以体积比为18. 20【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学

22、性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px?=-?=?得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -+=，所以

23、21222k p p x x k+=，2124p x x =， 所以2122222k PQ x x p p p k +=+=；当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p =，所求方程为24y x =.故答案为24y x =【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.三、解答题21（1）P，22(4x y +=；（2）110-. 【解析】 【分析】（1）把x cos，y sin代入即

24、可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出. 【详解】（1）x cos，y sin代入计算，36P x =，6P y =12= 点P的直角坐标(，由2sin 1+=，得221x y +=，即(224x y +=，所以曲线C的直角坐标方程为(224x y +=（2）曲线C的参数方程为22x cos y sin =?=?（为参数），由32:2x t l y t =+?=-+?（t 为参数），得直线l 的普通方程为270x y -=.设()2cos ,2sin Q ，则PQ 中点3cos ,sin 2M ?+ ?，那么点M 到直线l 的距离， ()11d ?-+=1

25、1110=-，所以点M 到直线l1. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题22（1）证明见解析；（2）69 【解析】 【分析】（1）证明1AA CD ，CD AD ，推出CD 平面11AA D D ，得到CD AE ，证明AE ED ，即可证明AE 平面ECD ；（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值 【详解】（1）证明：四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， 1AA 平面ABCD ，而C

26、D ?平面ABCD ，则1AA CD ， 又CD AD ，1AA AD A =I ，CD 平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，CD AE ， 1AA AD ，1AA AD =， 11AA D D 是正方形，AE ED ， 又CD ED D =I ，AE 平面ECD .（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB =， 则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ()0,2,2E ， ()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-=u u u u r u u u r u

27、u u r，设平面EAC 的法向量为(),n x y z =r ，则00n AC n AE ?=?=?u u u v v u u u v v ，即240220x y y z +=?+=?， 不妨取()2,1,1n =-r，则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为444663666n AC n AC-+-=r u u u r g r u u u r g 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题23（1）20x y +=（2）【解析】 【分析】 【详解】）由题意得直线BD 的方程为1y x =+ 因为四边形ABCD 为菱形

28、，所以AC BD 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+由2234x y y x n+=-+，得2246340x nx n -+-= 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ?=-+，解得n 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ， 则1232n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+所以122n y y += 所以AC 的中点坐标为344n n ? ?， 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ?，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =- 所以直线AC 的方程为2y x =-，即

29、20x y += （）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC =o ， 所以AB BC CA =所以菱形ABCD 的面积2S AC =由（）可得2223162-+=n AC ，所以2316)S n n ?=-+，故当0n =时，有max 316434=?=S 24（1）证明见解析；（2）35. 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】(1)如图所示，连结11,A E B E ， 等边1AAC 中，AE EC

30、=，则1A E AC ， 平面ABC 平面11A ACC ，且平面ABC 平面11A ACC AC =， 由面面垂直的性质定理可得：1A E 平面ABC ，故1A E BC ，由三棱柱的性质可知11A B AB ，而AB BC ，故11A B BC ，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面11A B E ， 结合EF ?平面11A B E ，故EF BC .(2)在底面ABC 内作EH AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -. 设1EH =，则3AE EC =1123AA CA

31、 =3,3BC AB =， 据此可得：()()()1330,3,0,0,0,3,3,022A B A C ?- ? ?， 由11AB A B =u u u r u u u u r 可得点1B 的坐标为1333,322B ? ?， 利用中点坐标公式可得：333,344F ?，由于()0,0,0E ， 故直线EF 的方向向量为：333,344EF ?= ?u u u r 设平面1A BC 的法向量为(),m x y z =u r，则：()()13333,33022223333,022m A B x y z x y z m BC x y z x y u u u v v u u u v v ?=?-=

32、+-=? ? ?=?-=-= ? ?， 据此可得平面1A BC 的一个法向量为()3,1m =u r ，333,344EF ?= ?u u u r 此时4cos ,53552EF m EF m EF m?=?u u u r u ru u u r u r u u u r u r ， 设直线EF 与平面1A BC 所成角为，则43sin cos ,cos 55EF m =u u u r u r .【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.25(1)见解析； (2)见解析.【解析】【分析】（1）根据DE平行PC即可证明（2）利用PC，可知DE与FG平行且相等，即可证明.【详解】证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE?平面BCP，PC?平面BCP，所以DE平面BCP.(2)因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形又因为PCAB，所以DEDG.所以四边形DEFG为矩形【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定及中位线的性质，属于中档题.