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1、因式分解,授课人：刘秀民,知识回顾,例1: 今天植树节，光明初中的三个班组织去公园植树，在分配的植树任务中，三个班分别植树如图所示，问：三个班共植树多少面积？,什么是因式分解？,多项式 整式的乘积形式,和 差,积,因式分解,整式乘法,解题的基本步骤,例题：,（1）3x+3y （2）9x2-4y2 （3） x2-4x+4 （4）ab-b-a+1,因式分解的主要方法,一、提取公因式,例1： 根据以下多项式，寻找出公因式,（1）3x+3y （2） 9x2-3xy （3）-x3y2+3xy2-xy （4） x(x-y)2-y(x-y),思路： 1、取多项式中各项系数的最大公约数作为公因式中的数字因式；
2、 2、各项中的相同字母（或多项式）作为公因式中的字母（或多项式），并取它们的最低次幂,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（1）7x+7y （2） 4xy-8x2 （3）x4y3+6xy-x2y4 （4） x(x-y)3-y(x-y) （5）16x4-x （6）3m(a-b)-9n(b-a) （7）8m2n-24mn2 （8）3x2-6xy+x,二、公式法,常见的公式：,例1：根据以下多项式，运用公式法分解因式。,（1）x2-2xy+y2 （2） 9x2-4y2 （3） x2-4xy+4y2,例2：以下多项式中，不能用公式法分解因式的是（ ）。,A.y4-8y2+16 B.a2-b2 C. -
3、16a2+b2 D. 4y2-12y+9,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（1）9x2-4y2 （2） x2-4xy+4y2 （3）x4-x2y2 （4）(x-y) 2-4(x-y)+4 （5）x4-8x2 +16 （6）3m(a-b)-9n(b-a) （7）9m2n2-6mn+1 （8）-4x2+1,三、十字相乘法,例1：根据以下多项式，运用十字相乘法分解因式。,（1）x2-5x+6 （2） x2+7x+10 （3） 5x2-27x+10,(1)对于二次项系数为l的二次三项式 x2+px+q，当能找到a、b两数满足a+b=p，ab=q时，则 x2+px+q =(x+a)(x+b) (2)
4、对于一般的二元三项式 ax2+bx+c（a0），当能找到a1、a2、c1、c2 满足a1a2=a，c1c2=c1，ac2+a2c1=b时，则ax2+bx+c = (a1x+c1)(a2x+c2),注意：十字相乘法中，先不要讲符号，就看数字，看是否能得出,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（1）x2-7x+10 （2）x2-4xy-12y2 （3）x4+6x2-27 （4）(x-y) 2-3(x-y)+2 （5）y4-8y2 +15 （6）3y2-8y+4 （7）9m2n2-10mn+1 （8）-4x2+5x-1,四、分组分解法,例1：试将以下多项式进行因式分解。,（1）x2-4x+4-y2
5、（2）x2-4x-y2-6y-5 （3）ab-b-a+1 （4）x3-3x2+x-3,思路： （1）把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。 （2）分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。,练习题,将以下多项式进行因式分解：,（1）9x2-4y2-3x+2y （2） x2-4xy+4y2-1 （3）x4+6x2y2+9y4 -4 （4）(x-y) 2-4(x-y)+4-m2 （5）y2-x4+8x2-16 （6）ab+a-b-1 （7）9m2n2-6mn+1-m2 （8）-4x2+4x+1+
6、y2,解题的基本步骤,综合练习,例1：试将以下多项式进行因式分解，并说明运用的是何种因式分解方法。,（1）a3a22a （2） x4-4x3+4x2-1 （3）2x23x1 （4） 1a22abb2 （5） x32xyxxy2 （6） an+14an4an-1,思考以下几道例题：,例1：试将以下多项式进行因式分解。,（1） a44 （2）(xy)(xy1)12 （3）(a2a)24(a2a)4 （4） x4+x2y2+y4 （5） x35x2+12,这几题能直接通过上述方法进行因式分解吗？,拓展方法：,一、换元法（整体法）,（1）(xy)(xy1)12 当A=x+y时，原式变成？ 原式=A(A
7、-1)-12 =A2-A-12 （2）(a2a)24(a2a)4 当x=a2a时，原式变成？ 原式=x2-4x+4,二、添项拆项法,（1） x4+x2+1 上式能否出现完全平方式，缺少了什么？ 原式= x4+2x2+1-x2 =(x2+1)2-x2 （2） x4+x2y2+y4 出现x4、x2y2、y4，我们马上要想到什么？ 原式= x4+2x2y2+y4-x2y2,三、待定系数法,（1） 2x2+3xy9y2+14x3y+20 上式中，我们可以知道2x2+3xy9y2=（2x3y）(x+3y) 可设原式= （2x3y+a）(x+3y+b) a+2b=14 3a-3b=-3,练习： a2+b2
8、+4a-4b-2ab+4,四、因式定理法,例1：x35x2+12 思路：假设x35x2+12=0 那么，如何找到（x-a）中这个a呢？,当x=a时，f(a)=0时，则多项式f(x)有一次因式为x-a。 若两个多项式相等，则它们的同类项系数相等。,（1）将用常数项12的约数分别带入多项式，若值为0，则可找到一次因数 （2）然后用除法或待定系数法,练习： x35x2+9x6,试想：当多项式最高次项的系数不为1时，能直接将常数项的约数带入原式吗？,例1： 2x313x2+3 思路：假设2x313x2+3=0 那么，如何找到（x-a）中这个a呢？,用最高次项的系数的约数，分别去除常数项的约数，将得到的
9、商分别带入原式，当值为0时，即能找到原式的一次因式,注意,n为偶数 ，（x-y）n= (y-x)n n为奇数 ，（x-y）n= -(y-x)n,（1）若a-3b=-5，a+b=15，求多项式a2-2ab-3b2的值。 （2）对下列多项式进行因式分解。 4a(x-y)2-2b(y-x)2+(y-x)； a2(b2-c2)-c2(b-c)(a+b)； a2-4b2-4c2-8bc； x4+x22ax a+1； （3）已知 x2+y2+2z2-2x+4y+4z+7=0，求xyz的值。 （4）已知x(x-1)-(x2-y)=-3 ，求x2+y2-2xy 的值。 （5）如果ax2+24x+b=(mx-3)2,求a、b、m的值。 （6）先化简，再求值：y(x+y)+(x-y) 2-x2-2y2，其中x=-1/3，y=3。,强化练习,谢谢！,