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1、两条直线的位置关系 -对称问题,轴对称：如果两图形上的点一一对应，对应点的连线被某一定直线垂直平分，那么称此两个图形关于这条定直线成轴对称。此定直线叫做对称轴。,中心对称：如果两图形上的点一一对应，对应点的连线被某一定点平分，那么称此两个图形关于这个定点成中心对称。此定点叫做对称中心。,o,(1),(2),一、点关于点对称,三、点关于直线对称,二、直线关于点对称,四、直线关于直线对称,最值问题,反射问题,两条直线的位置关系 -对称,四类对称,常见运用,1、点关于点的对称点问题,（1）点关于点对称的问题是最基本对称，是解答其它对称问题的基础。,（2）点关于点对称的问题可以采用什么公式计算？,中点
2、坐标公式 是研究 点关于点对称的问题的重要思想。,一般地,点A(x,y)关于点M(m,n)对称的点B的坐标为(2m-x,2n-y).,例1. 已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。,知识运用与解题研究,一、点关于点对称,解题要点：中点坐标公式的运用,A,C(x,y),B,y,x,O,得C(-13，-6),-4=,5+x 2,1=,8+y 2,(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.,二.直线关于点的对称 直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.,例2.求直线m:2x+3y-1
3、=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.,解:(法一)直接代入上面结论,(法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上.,(法三)使用直线关于点对称得到的直线与原直线平行，则对称点到两直线的距离相等的问题来解。,一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0 特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0 .,练习2. 求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l 2的方程。,二、直线关于点对称,解题要点： 法一： l2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l1l2
4、 ,在直线l 1 上任取一点A.则A关于点P的对称点落在直线 l 2上。 法三： 点P到两直线等距。,解: 设A(x，y)为l2上任意一点 则A关于P的对称点A在l1上,3(4-x)-(-2-y)-4=0,即直线l 2的方程为3x-y-10=0,A（x,y）,l2,l1,y,x,O,P,A (4-x,-2-y),A,A,3、点关于直线的对称点问题,（1）明确点A关于直线l对称的点A之间的关系。 （2）能够求出点关于直线对称之后得到的点的坐标。,l,(3)理论依据: A和A的中点在直线l上.,例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的 对称点A的
5、坐标。,三、点关于直线对称,解题要点： k kAA = -1 AA中点在l 上,A,A,y,x,O,-3,y-4 x-(-4),=-1,3,-4+x 2,+,4+y 2,-2=0,(x，y),(2，6),l,解：,二.轴对称(即关于直线的对称),练习2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.,解(法一) 设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:,线段ABl 即; =-1 ,线段AB被直线l平分,即线段AB的中点,在直线l上,故有 2 - -5=0 ,(一)点关于直线的对称:,联立 解得m=9 n= -7,B(9,-7),注：当对称轴的斜率为1或对称轴与坐标轴垂直时可用
6、上述方法直接求出对称点的坐标。,练习:已知点A的坐标为(-4,3)，则A关于x轴、y轴、 原点、直线 y=x、y=-x、y=x+1的对称点分别是 _ _ _ _ _ _,(-4，-3),(4，3),(4，-3),(3，-4),(-3，4),(2，-3),2、点关于特殊直线对称,例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y-1=0对称的直线l 的方程。,四、直线关于直线对称：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。,解题要点：求交点和特殊点。,l1,l2,l,x-y-2=0,3x-y-1=0,P,P(-12，-52), 7x+y+6=0
7、,y,x,O,解:,在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关 于直线l2的对称点A1 （-1，1）落 在直线l, 求出直线l的方程。,思考：若l1/l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？,设直线方程为f（x，y）=0则：,直线f（x，y）=0关于直线y=x对称的直线方程为f（y，x）=0,直线f（x，y）=0关于直线y=-x对称的直线方程为f（-y，-x）=0,直线f（x，y）=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0,直线f（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的直线方程 为f（b-y，-x+b）=0,直线f（x，y）=0关于直线y=0（x轴）对称的直线
8、方程为f（x，-y）=0,直线f（x，y）=0关于直线x=0（y轴）对称的直线方程为f（-x，y）=0,直线f（x，y）=0关于直线y=m对称的直线方程为f（x，2m-y）=0,直线f（x，y）=0关于直线x=n对称的直线方程为f（2n-x，y）=0,特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直 或斜率为1时可用以下结论直接代入；,练习1：和直线3x-4y+5=0关于y=x对称的直线的方程为( ) A、3x+4y-5=0 B、3y+4x+5=0 C、3x-4y+5=0 D、-3y+4x-5=0,D,填空:写出直线2x-3y+6=0 (1)关于x轴对称的直线方程为_; (2)关于y轴对称的直线方程为_
9、; (3)关于原点对称的直线方程为_; (4)关于直线y=x对称的直线方程为_; (5)关于直线y=-x对称的直线方程为_.,2x+3y+6=0,2x+3y-6=0,2x-3y-6=0,2y-3x+6=0,2y-3x-6=0,五、反射问题,A,B(5，8),(x，y),y,x,O,A (10，-2),l,(-2，4),y-4 2,2=-1,x-2 2,y+4 2,2,-,-7=0,AB：2x+y-18=0,l：2x-y-7=0,P,(254，112),AP：2x-11y+48=0,A,六 、最值问题,例6.已知P在x轴上，A(-3，1) ，B(7，2)且 PA+PB最小，则P的坐标是_,B,A,P,y,x,(-3，-1),(7，2),3x-10y-1=0 y=0,(13，0),M,MA-MB最大,=AB,O,(13,0),A,P,练习: 已知P在x轴上，A(-3，1) ，B(5，-3)且 PA+PB最小，则P的坐标是_ 最小值是_,A(-3,1),B(5,-3),P,y,x,x+2y+1=0 y=0,(-1，0),45,A,(-1，0),M,O,再见,作业： 1.书P101 A11 2.三维设计P56 题型三,