中考专题六：圆.doc

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1、专题六：圆一、 复习目标：1、 理解圆及有关概念、掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，掌握切线的概念，两圆公切线的概念。2、 理解正多边形及有关的概念，掌握三角形的内心、外心的概念。3、 理解圆的轴对称和中心对称，掌握垂径定理及其推论，掌握圆心角、它所对的弧、弦之间关系的定理，掌握圆周角定理及其推论，掌握圆内接四边形的性质及其推论，并且，会利用这些定理进行论证和计算。4、 掌握圆的切线的判定定理及其性质定理，掌握切线定理、相交弦定理、切割线定理，会用这些定理进行有关的计算 。5、 能将正多边形的边长、半径、边心距、中心角等的一些有关计算问题转化为解直角三角形问题。6、 能利用圆的周长、面积

2、、弧长、扇形面积的公式解决一些简单的计算问题。7、 了解圆拄、圆锥的侧面展开图分别是矩形和扇形，会计算其侧面积和全面积。8、 会用尺规进行有关圆的作图，了解轨迹和反证法。二、 要点概述：1、 点与圆的位置关系（1） 设O的半径为r，平面内一点P到圆心O的距离为d，则有：点P在O的内部 d r点P在O的上 d = r点P在O的外部 d r（2） 垂径定理：垂直于弦的值金直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论1：平分弦（不是直径）的直径（或过圆心的直线）垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一

3、条弧一条弦所对两条弧的中点的连线，必经过圆心，并且垂直平分弦。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（3） 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。（4） 圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。（5） 一条弦的一半是它分圆得两个弓形高的比例中项。（6） 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余个组量都分别相等。2、 直线与圆的关系：（1） 直线与圆的位置关系：直线L与O有两个公共点 直线L与O相交直线L与O有一个公共点 直线L与O相切直线L与O没有公共点 直线L与

4、O相离LLL。o。o。o（2）直线与圆的三种位置关系的判定：如果 O 的半径为r，圆心O到直线L的距离为d，那么有：直线 L 与O相交 d r 直线 L 与O相切 d = r 直线 L 与O相离 d r（2） 切线的判定和性质： 切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。即 过圆心 垂直于直线 过切点过圆心 过切点 垂直于直线 垂直于直线 过圆心 过切点 3、角与圆的关系：（1） 有关概念： 圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。 圆

5、周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。（2） 有关定理及推论： 圆周角的性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等。也就是：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等或互补。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90所的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这个三角形是直角三角形。 相交弦定理：圆内两条相交弦，被交

6、点分成的两条线段长的积相等。推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。 割线定理：由圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线于圆交点的两条线段的比例中项。3、 三角形、四边形和圆的位置关系（1） 三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做沿的内接三角形。锐角三角形的外心在三角形的内部。直角三角形的外心在斜边的中点上。钝角三角形的外心在三角形的外部。ooo o （2

7、） 三角形是内切圆：和三角形的各边多相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。 线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和 与斜边差的一半。（3） 圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形。 性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。（4） 四边形的内切圆：与四边形的各个边 都相切的圆叫做这个四边形的内切圆。这个四边形叫做圆的外切四边形。定理1：圆外切四边形的两组对边的和相等。定理2：圆外

8、切四边形的面积等于一组对边的和 与内切圆的半径的积。推论1：圆外切梯形的面积等于中位线与内切圆的直径的积。推论2：圆外切等腰梯形的面积 等于腰与内切圆直径的积 。4、 圆与圆的位置关系（1） 两圆的位置关系定义：外离：两圆没有公共点，并且每个圆上的点 都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离。内含：两个圆没有公共点,并且一个圆上的点都在另一个圆的内部,这时叫做这两个圆内含。同心圆：圆心相同，半径不相同的两个圆叫做同心圆。外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切。这个唯一的点叫做切点。内切：两个圆有唯一的公共点并且除了这个公共点以外，一个圆

9、上的其他点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切。这个唯一的点叫做切点。相交：两个圆有两个公共点，交做这两个圆相交，这两个点叫做交点。5、 正多边形和圆： 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形的性质定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两 个圆是同心圆。 正多边形的判定定理：如果一个多边形同时有外接圆和内切圆，并且这两 个圆是同心圆，那么这个多边形是正多边形。 正多边形的有关计算：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全 等的直角三角形。180 n360n nnnnnnnnnnnnnn2 nn= an= 2Rsin =2Rsin 180 n180 nrn

10、= R。cos Pn = nan =2Rsin 12n2S = 。an。rn = Pn 。rn 圆的有关计算：nR180弧长公式：L = 12NR2360扇形的面积公式：S扇形 = = L .R 12S 阴影 = （L1+L2）。D弓形面积 ：12（1）S弓形=S扇形SAOB （2）S弓形=S扇形 +SAOB （3）S弓形= S圆 ooo 三、 考点分析：本专题的知识内容是初中几何的重点，也是中考的重点内容，在历年各地的中考中所占的比重较大，约占总分值的23%左右，除了各种基本的题型以外，全国各地都增加了阅读理解题、开放探索题和作图题。试题在即注重考查双基 又突出考查能力的基础上，题型新颖亲切

11、、联系实际。特别是近几年来，很多地区把圆的知识与平面直角坐标系、函数等知识综合在一起，构造出各种别具一格的综合题，试题的阅读量大、思维量大、计算量小。四、 例题分析：例1：已知：如图，o的半径r=5厘米，圆心O到直线的距离d=OD=3厘米，在直线L上有P、Q、R三点，并且有PD=4厘米，QD4厘米，RD4厘米，P、Q、R三点对于o的位置各是怎样的？分析：要确定点与圆的位置关系，只需要确定这一点到圆心的距离，再把这个距离与圆的半径进行比较，如果大于半径，则点在圆外，如果小于半径 ，则点在圆内，如果等于半径 ，则点在圆上。解：在RtPOD中，PD=4，OD=3，由勾股定理得OD L42 + 32=

12、5= r点P在o上，同理RD4，OD=3 则RO5ROr QD4 可得 QOrQ在o外，R在o内。 例2：如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，A=90，BC是o的直径，BC=CD+AB，求证：AD是o的切线。C D分析：要想证明一条直线是圆的切线时，如果直线与圆的公共点没有确定，大多数情况下应该过圆心作直线的垂线，然后再证明圆心到直线的距离等于半径 。但是，千万要注意，不能将圆上任意一点当作公共点而连出半径。此题只需要连接O、F即可证明。证明：过O作FAD，垂足为FO FA=90ABCD OFABCDOB=OC AF=DFOF= 1/2（AB+CD）=1/2BC=OB又OFADB AAD是是

13、o的切线。例3：国际足球场地的标准是长100m110m，宽64m75m，球门的宽是7.32m。已知某体育场的足球场地的长是106m，宽是70m，是一个国际标准的足球场地。如果在发脚球时，接球运动员在接到球后，立即射门，则接球运动员距发球点多远时，射门的命中率更高？球门分析：因为射门的命中率的高与低与射门点对球门两个边框的张角的大小有关，如果张角越大，命中的机会也就越大，不论球落在场地的那一点，这点与球门框的两个立柱的底部的两个点都能在同一个圆上，如图，当球的落点（也就是射门点）与发球点所在的直线是这个圆的切线时，这点对球门的张角最大，即BDC。如果接球点为E，则E点对球门立柱的张角为BEC，显

14、然BECBDC，AE一定不是经过B、C、E三点圆的切线。用切割线定理，即可求出AD的长。A B C F解：过B、C作圆，过A点作该圆的切线，切点为D。D 由切割线定理得AD2 =AB.ACE AF=70m BC=7.32m AB=1/2(AF-BC) =1/2(70-7.32) =31.34 (m)AC =AB+BC = 31.34+7.32 =38.66 (m)31.3438.66AB.ACAD = = 34.8 (m) 答：接球运动员距发球点大约为34。8m时，射门的命中率更高。例4：已知：如图，o是ABC的外接圆，AD是ABC的高，AF是o的直径。求证：AB.AC =AD.AE分析：在解

15、圆的有关问题时，经常需要添加辅助线，从而构成直径上的圆周角，以便利用直径上的圆周角是直角的性质。本题中AE是直径，只需连接BE，便可构成直角RtABE。再利用RtADC与RtABE全等即可证出。A O证明：连接BE，AE是直径ABE = 90ADBC ，ADC =90ABE =ADC B D C EC =E ，ADC ABEADABACAE = AB.AC=AE.AD例4：如图：已知ABC是等边三角形，以BC为直径的圆o交AB.BC于D、E点。（1） 求证：ODE是等边三角形。（2） 如图，若A=60，ABAC，则（1）的结论是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。分析：（1）

16、因为ABC是等边三角形，所以B=C=60，又知OB=OD=OE=OC可得BOD和COE都是等边三角形，因此，可证DOE=60（2）要想证ODE是等边三角形还要从证DOE=60入手，从而转化为证明BOD+COE=120，而BOD和COE是两个等腰三角形的顶角，B+C=120的结论显然成立。证明：（1）ABC是等边三角形，B=C=60 =OEAB，ODAC，OD=OB=OE=OC BOD和COE都是等边三角形。AD EBOD=COE=60，DOE=60DOE是等边三角形2 结论（1）仍然成立。B O C证明：A=60，B=C=120OB=OD=OE=OC，B=BDO，C=CEO，B+C=BDO+C

17、EO=120B+BDO+C+CEO=240，BOD+COE=1802240=120，DOE=60DOE是等边三角形。 例5：如图，已知矩形ABCD中，AB=4，BC=43 ，以BC的中点O为圆心作弧与AD切于G点，与AB、CD分别交于点E和F，连接OE、OF。求扇形EOF的面积。 分析：要想求出扇形EOF的面积，我们现在可以求出OE=AB=4，只需要再求出圆心角BOE的度数。因为这个图形是以OG为对称轴的轴对称图形，所以只要再求出BOE的度数即可。利用BOE的余弦值即可求出。 解：连接GO，根据题义得 OE=OG=B=4，BO=OC=23在RtBOE中，3 223 4 OBOEcosBOE=

18、= = BOE=30 ，EOF=120B163120.42 360S扇形EOF = = 五、 方法引导： 1、 在复习时要注意以教材为本，认真落实和巩固课本内的例题和练习题，注意基本定理与基本图形相结合，注意代数与几何相结合。2、 注意与圆有关的辅助线的添加： 在证明某直线是圆的切线时，如果已知直线经过圆上一点，常作出过这点的半径从而证明直线垂直于半径。如果直线与圆的公共点不确定，则应过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。 两圆相交时，公共弦是常用的辅助线，利用它作为桥梁，可以沟通两圆中的一些有关量的关系。 两圆相切时，经常连结半径和切点构造直角或直角三角形。 在遇到圆的切线时，经常添加的辅助线是构造弦切角。3、 正多边形的计算问题经常将它转化成直角三角形的有关问题来解。4、 注意与圆有关的实际应用问题的训练。