中考专题四四边形.doc

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1、专题四： 四边形一、复习目标1、 掌握四边形内角和与外角和都等于360的性质；了解四边形的不稳定性的应用及放止不稳定性的措施。2、 理解多边形的有关概念；理解多边形的内角和定理及其推论，会用多边形内角和定理、外角和定理进行计算。3、 会用平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的性质和判定进行计算和证明，能够计算平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的面积。4、 了解中心对称和中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质，并且能够解释现实生活中的有关现象。5、 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等概念，掌握等腰梯形“同一底上的两角相等和两条对角线相等”的性质，掌握等腰梯形的判定定理，并且能够熟练地应用这些知识进

2、行有关的计算和证明。6、 掌握平行线等分线段定理及其推论，会用它等分一条已知线段，掌握梯形中位线定理，会用它们进行有关的计算和证明。7、 会用割、补等方法计算特殊四边形的面积和不规则图形的面积。8、 知道任意一个三角形、四边形和正六边形可以密铺，并且运用这几种图形进行简单的密铺设计。9、 本专题重点考查方程思想、对称思想及转化思想，并且考查识别图形的能力、动手操作的能力、运用几何知识解决实际问题的能力以及探索问题、发现问题的能力。二、知识要点：1、 四边形的有关概念：（1）四边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。（2）凸四边形：把四边形 的任何一边向

3、两方延长，如果其他各边都在延长线的同一旁，这样的四边形都是凸四边形。（3）、四边形的对角线：在四边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫四边形的对角线。（4）、四边形的内角：四边形不相邻的两边所组成的角叫做四边形的内角。（5）、四边形的外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角叫做四边形的外角。2、 （1）、四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。（2）、多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n 2）.1803、 （1）、四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360。（2）、多边形的外角和定理：n边形的外角和等于360。4、 多边形的对角线：n（n 3） 2（1） 从n边形的一个顶点可以

4、引（n 3）条对角线，并且将n边形分成（n 2）个三角形。（2） n边形共有 条对角线。5、 平行四边形的定义：（1） 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2） 表示：平行四边形用符号“ ”来表示。6、 平行四边形的性质：（1）边 两组对边分别平行且相等。（2）角 对角相等、邻角互补。（3）对角线 对角线互相平分。7、 平行四边形的面积：（1） 计算公式：S=底高（2） 等底等高的平行四边形面积相等，等底等高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半。8、 平行四边形的判定： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（1）边 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形

5、是平行四边形。（2）角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（3）对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形。9、 矩形：（1 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 边：矩形的对边平行且相等（2）性质：矩形有平行四边形的一切性质 角：矩形的四个角都是直角 对角线：对角线互相平分且相等10：菱形：（1）定义：有义组邻边相等的平行四边形是菱形。 边：对边平行、四边相等 （2）性质 角：对角相等、邻角互补对角线：互相垂直平分、每一条对角线平分一组内角四边相等的四边形是菱形 （3）判定 有一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形11、正方形：（1）定义：有一个角是直角并且有一组邻

6、边相等的平行四边形叫正方形 边：对边平行、四边相等（2） 性质： 角：四个角是直角 对角线：互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组内角 有一组邻边相等的矩形是正方形（3）判定： 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线互相平分且相等的四边形是正方形 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形13、中心对称：（1）定义：把一个图形围绕某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。这个点叫做对称中心。 关于中心对称的两个图形是全等形（2）性质 关于中心对称的两个图形，其对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经

7、过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称14、梯形：（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。 一般梯形 （2）梯形的分类：梯形 直角梯形特殊梯形 等腰梯形 有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形（3）梯形的判定 一组对边平行但不相等的四边形是梯形 边：两底平行、两腰相等（4）等腰梯形的性质 角：同一底上的两个角相等对角线：对角线相等等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线是对称轴（5）等腰梯形的判定： 两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形（6）梯形常见的辅助线： 15、平行线等分线段定理：如果一组平行线在

8、一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平行第三边16、梯形的中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线 （2）定理：梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半 （3）梯形的面积：梯形的面积等于中位线与高的积三、考点分析： 四边形的知识是中考的重要内容，几乎覆盖了全国各地的每一份中考试卷，试题的形式涉及填空题、选择题、解答题等多种形式，试题的内容大多数都聚集在平行四边形、矩形和梯形，伴有菱形、正方形、多边形和中心对称问题。这部分内容大多以考查基础知识为主，在中考试

9、卷中，很多试题都是由教材中的例题或练习题改造加工变形而来，由于这部分试题源于课本，所以难度不大，考生都能接受。但是，也由一些试题不容忽视，例如与四边形有关的开放探索性问题、与相似形、一元二次方程、三角函数、圆、函数等知识构建起的综合题。 近两年来，四边形知识在中考中所占的比例由所上升，分值由2002年的8%左右上升到2003年的10%左右。据分析，2004年中考有关四边形的试题将在保持原有的题型的基础上，还将会在归纳、猜想、方案设计、阅读、开放、探索的题型上加大力度，增强操作性，体现应用性。四、例题分析：例1：一个多边形的每一个内角都等于144，求这个多边形的边数。分析：次题可以反用多边形的内

10、角和定理，也可以用多边形的外角和定理来求解解法一：设所求的边数为n，根据多边形内角和定例，得（n 2）.180=144.n解得n=10解法二： 因为多边形的外角是与它有公共顶点的内角的邻补角,所以这个多边形的每个外角是180-144=36设所求的边书为n ，根据多边形的外角和定理, 得 36.n=360 解得 n=10 例2：（2003年四川省中考试题） 下列命题中，真命题是（ ）A： 有两个边相等的平行四边形是菱形 B：有一个角是直角的四边形是矩形C：四个角相等的菱形是矩形 D：两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 分析：由各类平行四边形的判定方法可知，A 、B 、D 都不对。其中（A）

11、 缺少了“两邻边”的条件； （B）缺少了“平行四边形”的条件；（D）缺少了“对角线互相平分”的条件； （C）中四边形的四个角相等均为90，所以一定是矩形，既是矩形又是菱形的四边形当然是正方形。因此应该选（C） 例3：如图所示各图中，每个正方形都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面52积为 的是（ ） A B C D分析：方法一：求阴影部分面积，可以用正方形面积减去三角形面积得到12 A：S阴 = S正方形 2S = 4 2 1 2 = 2B：S阴 = S正方形 2S = 2 C：S阴 = S正方形 S 大 2 S 小 =4 1 1 = 25212 D：S阴 = S正方形 S 大 S

12、小 = 4 1 = 所以应该选择 （ D ）方法二：阴影部分面积为正方形面积减去一些三角形面积得到。经过观察发现：A、B、C中减去的三角形面积都是正方形面积的一半。A为左一半右一半 B为一边一半C为上一半下一半。 只有D符合要求。所以应该选择D方法三：利用皮克公式即计算点阵多边形面积公式（北师大七年级下册教材第四页读一读）1 2S = a + b 1 其中a表示多边形内部的点的个数， b表示多边形边界上的数。12 A：a = 1 b = 4 S = 1 + 4 1 = 2B：a = 1 b = 4 S = 25212C：a = 1 b = 4 S = 2D：a = 1 b = 5 S = 1

13、+ 5 = 所以应该选择（D）例4：一个正方形的边角料如图所示，已测得它的六个角均为120，四个边AB=3，BC=2，CD=1，DE=4，求EF、AF的长分析：解多边形的问题通常是把多边形转化为三角形的问题来解，此题可延长多边形的不相邻的三条边，把六边性转化为三角形即可求得M解：延长AB、CD、EF得MNG 由ABC =BCD =120 知NBC =NCB = 60 FANBC为等边三角形 ENC = BN = BC =2， N = 60 同理：DG = EG = DE = 4， G = 60 BMNG为等边三角形MN = MG = NG = 2 +1 + 4 = 7GNMF = AF= AM

14、 =7 A B BN C D=7 3 2 =2EF = GM EG MF = 7 4 2 = 1 EF = 1 AF =2 例5：如图，过正方形ABCD的顶点B作BEAC，且作AE=AC，又CFAE。求证：E = 2BCF 分析：证明角的“倍分”问题，一般是采用“加倍”或“折半”的方法来证，但是，由于该题图形的特殊性，不容易达到目的。但是容易发现AEFC是菱形，ACE = 45。如果结论成立，则ACF = AEF = 30。所以可利用正方形和菱形的性质通过计算来证明C证明：连结DB交AC于O，作AH EB于H。OD ABCD是正方形 AC DB，AO = BO BE AC ，AH EB AOB

15、H为正方形BAAC = AE = 2AH = 2AOF在RtAEH中，易证E = 30EH又BE AC，CFAE ， AC = AE AEFC是菱形 ，ACF =E = 30，又BCF = 45，BCF = 15 从而有E = 2BCF 例6：如图在梯形ABCD中，ADBC，B=90，AD = 24cm ，AB = 8cm ，BC = 24cm 动点P从A点开始沿边AD向D以1cm / s 的速度运动，动点Q从C点开始沿CB边向B以3cm /s 的速度运动，P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒， t 分别为何值时，四边形PQCD是：P D A

16、 B （1） 平行四边形？（2）等腰梯形？ Q C 分析：这是一个集代数、几何、物理于一体的综合题，该题利用到平行四边形的判定、等腰梯形的判定、等腰梯形的性质、物理学中的路程公式等内容，渗透了数形结合、分类讨论等数学思想。解：（1）因为AD BC ，只要QC = PD ，四边形PQCD 就是平行四边形此时有3 t = 24 t ，解得t = 6 （秒） ，所以当 t = 6 秒，四边形PQCD是平行四边形。（2） 根据等腰梯形的定义，要使四边形PQCD是等腰梯形，则必须有 ：PQ = CD PD QC （如图）根据等腰梯形的性质可知：EF = PD ， QE = FC = 26 24 = 2A

17、 P D此时下底比上底长 QE + FC = 2 + 2 = 4 ，因此有4 = 3t -（24 t ）解得 t= 7 （秒）所以 t =7 秒是，四边形PQCD是等腰梯形 B Q E F C五：方法引导：1、 与多边形的角度、边数、对角线有关的问题通常运用公式列方程来解2、 分清各种四边形的区别与联系，准确的理解和掌握它们的定义、性质和判定。3、 对角线是把四边形转化为三角形的桥梁和纽带，是研究四边形的常用的辅助线，它既可以把四边形转化为三角形，又可以充分体现四边形的所有特征。4、 在解有关梯形的问题时，通常添加辅助线，将其转化为平行四边形或三角形来解。5、 遇到有关中点的问题，一般考虑构造三角形或者使用“延长中线法”6、 求特殊图形的面积， 通常需要添加辅助线把它转化为规范图形， 转化的方法主要有“割”或“补”。