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1、第八章一、填空题8.1.1.1、点 M (2,3,1) 关于 xoy 面的对称点是 (2, 3, 1) .8.1.2.3、向量 a(2,4,1),b(02,2) ，则同时垂直于 a, b 的单位向量为1(1, 1,1) .38.1.3.1、向量 a(3,1,1),b(1, 2, c),且 ab,则： c1 .8.1.41、点 M (1,2,1) 到平面 x2 y2z10 0 的距离为1 .8.1.51、. 过点 (1, 2, 1)与平面 xy2 z0 平行的平面方程为 xy2z 18.1.6.2、平面 y3 在坐标系中的位置特点是 平行 xoz 面 .8.1.7.2、过三点 A（2，0，0），
2、B（0，3，0），C（0，0，4）的平面方程为xyz.23148.1.8.2、过两点M（3， 2,1), M（1,0,2）x 1yz2.12的直线方程是4218.1.9.3、过点 ( 0,2,4) 且与平面 x2z1及 y3z 2 都平行的直线是xy 2z4 .2318.1.10.3、曲面 x2y2z 在 xoz 面上的截痕的曲线方程为x2z .y0二、选择题8.2.1.2、点 (4,0,3) 在空间直角坐标的位置是（C）Ay 轴上；B. xoy 平面上；C. xoz 平面上；D. 第一卦限内。8.2.2.2、设 AB 与 u 轴交角为，则 AB 在 u 轴上的投影 Pr j u AB =（C
3、）A AB cos ； B. AB sin；C.AB cos；D.AB sin.、两个非零向量 a与 b 互相垂直，则（B ）8.2.3.2A其必要不充分条件是 a b0 ；B. 充分必要条件是充分不必要条件是 a b 0；D. 充分必要条件是Ca b0 ；ab0 .8.2.4.2、向量 a(ax,ay ,az) ,b(bx,by ,bz )且 axbxayby azbz0则 （C）A. a / b ；B.ab(为非零常数 ) ； C. ab；D. a b0.8.2.5.2、平面 3x3y60 的位置是（ B ）A平行 xoy 面；B . 平行 z 轴 ；C. 垂直 z 轴；D. 通过 z 轴
4、.、过点 (1, 1, 1)与直线 x1y1z3 垂直的平面方程为（ A ）8.2.6.2111A. x y z 1；B. x y z 2 ；C. x y z 3；D.x y z 0 .、直线Lx3y4z与平面的位置关系是（A ）：8.2.7.22734x2 y 2z3A平行； B. 直线在平面上；C. 垂直相交；D. 相交但不垂直 .8.2.8.2、 xoy面上曲线 4x29 y236 绕 x 轴旋转一周，所得曲面方程是（C ）A （4 x2z2 ) 9y 236 ；B. （4 x2z2 )9( y2z2 ) 36 ;C. 4x29( y 2z2 ) 36 ;D. 4x29y236 .8.2
5、.9.2、球面 x2y 2z2R2 与平面 xza 交线在 xoy 平面上投影曲线方程是（D ）A（ a z) 2y2z2R2 ； B.( a z) 2y2z2R2；z0C. x2y2(a x)2R2 ；D.x2y2(a x)2R2z0、方程 x24 y29z236 表示 （ B ）8.2.10.3y1A椭球面；B.y1 平面上椭圆；C. 椭圆柱面；D.椭圆柱面在平面 y0 上的投影曲线 .三、 算 8.3.1.2、 一平面 点 (1,0, 1) ，且平行于向量 a(2,1,1)和 b(1, 1,0) ，求 个平面。解：所求平面平行于向量a, b ，可取平面的法向量ijknab211(1,1,
6、 3) ，. 4（分）110故所求平面 ( x1)( y0)3(z1)0 ，即xy3z40. 3（分）8.3.2.2、求通 z 和点 ( 3,1, 2) 的平面方程。解：由已知， 所求平面方程 Ax By 0. 2（分）将点 入得： 3AB0,即 B 3A. 2（分） 入所 方程得：Ax3Ay0 即 x 3y 0. 3（分）8.3.3.2、求平面 2x 2 yz 50与 xoy 面 角的余弦。解：平面的法向量 n(2, 2,1) ，又 xoy 面的法向量 k(0,0,1)1 两向量 角余弦，既平面与xoy 面 角的余弦 cos38.3.4.3、用 称式方程表示直 xyz1 。2xyz4 . 2
7、（分） . 2（分） . 3（分）ijk解：由 意可知直 的方向向量 s 111( 2,1,3). 3（分）211取 x 0代入得， y3 , z5 .即直 的点 (0,3 , 5 ) ，. 2（分）223522xyz故直 的 称式方程 22 . 2（分）2318.3.5.3、求 点 (2,0,3) 且与直 x2 y4z70垂直的直 方程。3x5y2z10解：由 意，所求平面的法向量可取已知直 的方程的方向向量，即ijkn s 124( 16,14,11) ，. 4（分）352故所求平面方程 16 x 14 y 11z65 0. 3（分）8.3.6.3、求 点 (0,2,4)且与两平面 x 2
8、z1和 y 3z2 平行的直 方程。解：所求直 方程与两已知平面平行，因此所求直 方向向量 ijk. 4（分）s n1 n2 102( 2,3,1)，013故所求直 方程 xy 2z 4. 3（分）2318.3.7.3、求 点 (3,1, 2) Q 且通 直 x 4y 3z 的平面方程。521解：根据平面束方程， 已知直 的平面束方程 x 4 y3y3z0 ，. 2（分）52(2)1代入点 (3,1,2) 得11 . 3（分）20故平面方程 ：8x9 y22 z 590. 2（分）8.3.8.2、 确定直 xyz 和平面 3x2 y 7z8的位置关系。327解： s (3, 2,7), n (
9、3, 2,7). 2（分）因 sn(3,2,7) 或 sin1 ，即 角；. 3（分）2故 直 与平面垂直 . 2（分）8.3.9.3、求点 (1,2,0) 在平面 x2 y z10 上的投影。解：由 意， 已知点与已知直 垂直的直 方程 x 1 y2z，. 2（分）121化 参数方程 x1 t, y 2 2t , zt ，. 3（分）代入平面得： t2. 投影 (522. 2（分）3,3, ) 。33xyz0在平面 xy z 0 上的投影直线的方程。8.3.10.4、求直线x y z 1 0解： 做平面束 x yz( xyz 1)0整理得法向量： n(1)i(1) j (1) k 法向量与已
10、知平面的法向量垂直； .2 分 .1 分 有 (1)(1)(1)0 ,解得1 2 分代入平面束方程得：yz10 ，所求直 方程 ：yz10 2 分xyz0四、 合 用8.4.1.4、求通 直 L ： 2xy0且切于球面的 x 2y 2z24 的平面方程。4x2 y3z 6解：通 已知直 的平面束方程 ：4x 2y 3z 6 (2x y)0 ， 2 分此平面切于已知球面，故球心（0，0，0）到平面的距离 2 有0 00 - 62 ，解得：-222（2232） （）4代入得所求平面 z2 .8.4.2.4、求 点 ( 1,0,4) ，且平行于平面 3x4yz100 ，又与直线 3 分 2 分x 1
11、y 3z 相交的直 方程。112解： 点 (1,0,4) 做与已知平面平行的平面3x4 yz 1 0 1 分求该平面与已知直线的交点：令x1 y3z， 2 分11t2解出想， x,y,z代入平面得： t16, x15, y 19, z32 2 分 所求直 ： x 1yz4 2 分1619288.4.3.4、已知点 A (1,0,0) 及点 B(0,2,1)， 在 z 上求一点 C，使 ABC 面 最小。解：所求点位于 z 上，故 其坐 C (0,0, z) 1 分则 ABC 的面 S ABC1 ABAC ，2而 ABAC( 2z, (z1),2) ， 2 分故 S ABC1(2z) 2( z 1) 222 1 5z22z 5 2 分221 ，又 f (1设 f ( z)5z22z5 ，求 得 点 z) 100 1 分55故，当 z1 ，三角形ABC 面 最小， SABCz最小30 1 分55