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1、2021年湖北省高考数学试卷(理科)及解析2008年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）设=（1，2），=（3，4），=（3，2）则=（）A（15，12）B0 C3 D112（5分）若非空集合A，B，C满足AB=C，且B不是A的子集，则（）A“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件B“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件C“xC”是“xA”的充要条件D“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件3（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为（）A BCD4（5分）函数的定义域为（）A（，42，+）B（4，0
2、）（0.1）C4，0）（0，1 D4，0）（0，1）5（5分）将函数y=sin（x）的图象F向右平移个单位长度得到图象F，若F的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（）AB CD6（5分）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A540 B300 C180 D1507（5分）若f（x）=x2+bln（x+2）在（1，+）上是减函数，则b的取值范围是（）A1，+）B（1，+）C（，1D（，1）8（5分）已知mN*，a，bR，若，则a?b=（）Am Bm C1 D19（5分）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x4y164=0的弦，其中弦长为整数的
3、共有（）A16条B17条C32条D34条10（5分）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：a1+c1=a2+c2；a1c1=a2c2；c1a2a1c2；其中正确式子的序号是（）ABCD二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）设z1是复数，z2=z1i1，（其中1表示z1的共
4、轭复数），已知z2的实部是1，则z2的虚部为12（5分）在ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3，b=4，c=6，则bccosA+cacosB+abcosC的值为13（5分）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x26x+2，其中xR，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为14（5分）已知函数f（x）=2x，等差数列a x的公差为2若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2f（a1）?f（a2）?f（a3）?f（a10）=15（5分）观察下列等式：，可以推测，当k2（kN*）时，=a k2=三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）已知函数f（t）
5、=（）将函数g（x）化简成Asin（x+）+B（A0，0，0，2）的形式；（）求函数g（x）的值域17（12分）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）现从袋中任取一球表示所取球的标号（）求的分布列，期望和方差；（）若=a+b，E=1，D=11，试求a，b的值18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1（）求证：ABBC；（）若直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明19（13分）如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点
6、，POB=30，曲线C是满足|MA|MB|为定值的动点M的轨迹，且曲线C 过点P（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F若OEF的面积不小于，求直线l斜率的取值范围20（12分）水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为（）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期以i1ti表示第i月份（i=1，2，12），同一年内哪几个月份是枯水期？（）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）21（14分）已知数列a n和b n满足：a1=，其中为实数，n为
7、正整数（）对任意实数，证明数列a n不是等比数列；（）试判断数列b n是否为等比数列，并证明你的结论；（）设0ab，S n为数列b n的前n项和是否存在实数，使得对任意正整数n，都有aS nb？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由2008年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1（5分）【考点】平面向量的坐标运算【分析】先求出向量，然后再与向量进行点乘运算即可得到答案【解答】解：=（1，2）+2（3，4）=（5，6），=（5，6）?（3，2）=3，故选C【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算属基础题2（5分）【考点】必要条件、充分条件与
8、充要条件的判断【分析】找出A，B，C之间的联系，画出韦恩图【解答】解：xA?xC，但是xC不能?xA，所以B正确另外画出韦恩图，也能判断B选项正确故选B【点评】此题较为简单，关键是要正确画出韦恩图，再结合选项进行判断3（5分）【考点】球的体积和表面积【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可【解答】解：截面面积为?截面圆半径为1，又与球心距离为1?球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B【点评】本题考查学生的空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题4（5分）【考点】对数函数图象与性质的综合应用【分析】函数的定义域要求分母不为0，负数不能
9、开偶次方，真数大于零【解答】解：函数的定义域必须满足条件：故选D【点评】不等式组的解集是取各不等式的解集的交集5（5分）【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的对称性【分析】根据题设中函数图象平移可得F，的解析式为，进而得到对称轴方程，把代入即可【解答】解：平移得到图象F，的解析式为，对称轴方程，把代入得，令k=1，故选A【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换，属基础题6（5分）【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分析有将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，进而相加可得答案【解
10、答】解：将5个人分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53?A33种分法，分成2、2、1时，有种分法，所以共有种方案，故选D【点评】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用7（5分）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案【解答】解：由题意可知，在x（1，+）上恒成立，即bx（x+2）在x（1，+）上恒成立，由于y=x（x+2）在（1，+）上是增函数且y（1）=1，所以b1，故选C【点评】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题即导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时
11、原函数单调递减8（5分）【考点】极限及其运算【分析】通过二项式定理，由可得=b，结合极限的性质可知a=1，b=m，由此可得a?b=m【解答】解：，=b，结合极限的性质可知，a=1，b=m?a?b=m故选A【点评】本题考查二项式定理和极限的概念，解题时要认真审题，仔细解答9（5分）【考点】直线与圆的位置关系【分析】化简圆的方程为标准方程，求出弦长的最小值和最大值，取其整数个数【解答】解：圆的标准方程是：（x+1）2+（y2）2=132，圆心（1，2），半径r=13过点A （11，2）的最短的弦长为10，最长的弦长为26，（分别只有一条）还有长度为11，12，25的各2条，所以共有弦长为整数的2+
12、215=32条故选C【点评】本题实际上是求弦长问题，容易出错的地方是：除最小最大弦长外，各有2条10（5分）【考点】椭圆的简单性质【分析】根据图象可知a1a2，c1c2，进而根据基本不等式的性质可知a1+c1a2+c2；进而判断不正确正确；根据a1c1=|PF|，a2c2=|PF|可知a1c1=a2c2；【解答】解：如图可知a1a2，c1c2，a1+c1a2+c2；不正确，a1c1=|PF|，a2c2=|PF|，a1c1=a2c2；正确a1+c2=a2+c1可得（a1+c2）2=（a2+c1）2，a12c12+2a1c2=a22c22+2a2c1，即b12+2a1c2=b22+2a2c1，b1
13、b2所以c1a2a1c2正确；可得，不正确故选B【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11（5分）【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算【分析】设出复数z1的代数形式，代入z2并化简为a+bi（a，bR）的形式，令实部为1，可求虚部的值【解答】解：设z1=x+yi（x，yR），则z2=x+yii（xyi）=（xy）+（yx）i，故有xy=1，yx=1答案：1【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题12（5分）【考点】余弦定理【分析】利用余弦定理的变式化角为边，进行化简【解答】解：
14、由余弦定理，bccosA+cacosB+abcosC=bc+ca+ab=故应填【点评】考查利用余弦定理的变式变形，达到用已知来表示未知的目的13（5分）【考点】函数与方程的综合运用【分析】先通过f（x）的解析式求出f（bx），建立等量关系，利用对应相等求出a，b，最后解一个一元二次方程即得【解答】解：由题意知f（bx）=b2x2+2bx+a=9x26x+2a=2，b=3所以f（2x3）=4x28x+5=0，0，所以解集为?故答案为?【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，函数思想和方程思想密切相关，相辅相成，为解决数学综合问题提供了思路和方法14（5分）【考点】等差数列的性质；对数的运算性质【
15、分析】先根据等差数列a x的公差为2和a2+a4+a6+a8+a10=2进而可得到a1+a3+a5+a7+a9=252=8，即可得到a1+a10=6，即可求出答案【解答】解：依题意a2+a4+a6+a8+a10=2，所以a1+a3+a5+a7+a9=252=8?log2f（a1）?f（a2）?f（a3）?f（a10）=6故答案为：6【点评】本题主要考查等差数列的性质和指数函数的运算法则属基础题15（5分）【考点】归纳推理【分析】观察每一个式子当k2时，第一项的系数发现符合，第二项的系数发现都是，第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以a k2=0【解答】解：由观察可知当k2时，每一
16、个式子的第三项的系数是成等差数列的，所以，第四项均为零，所以a k2=0，故答案为，0【点评】本题考查了归纳推理，由特殊到一般三、解答题（共6小题，满分75分）16（12分）【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域【分析】（1）将f（sinx），f（cosx）代入g（x），分子分母分别乘以（1sinx），（1cosx）去掉根号，再由x的范围去绝对值可得答案（2）先由x的范围求出x+的范围，再由三角函数的单调性可得答案【解答】解：（）=，=sinx+cosx2=（）由，得sint在上为减函数，在上为增函数，又（当），即，故g（x）的值域为【点评】本小题主要考
17、查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力17（12分）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，3，4，P（=k）=，可出分布列，再由期望、方差的定义求期望和方差；（2）若=a+b，由期望和方差的性质E=aE+b，D=a2D，解方程组可求出a和b【解答】解：（）的所有可能取值为0，1，2，3，4（）由D=a2D，得a22.75=11，即a=2又E=aE+b，所以当a=2时，由1=21.5+b，得b=2；当a=2时，由1=21.5+b，得b=4或即为所求【点评】本题考查概率、随机变量的
18、分布列、期望和方差等概念，以及基本的运算能力18（12分）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题【分析】本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力（1）若要证明ABBC，可以先证明AB平面BC1，由线面垂直的性质得到线线垂直（2）要判断直线AC与平面A1BC所成的角为，二面角A1BCA的大小为的大小关系，可以先做出二面角的平面角，再根据三角函数的单调性进行解答也可以根据（1）的结论，以以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间
19、直角坐标系利用空间向量，求出两个角的正弦值，再根据三角函数的单调性解答【解答】解：（）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，由平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，得AD平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以ADBC因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC又AA1AD=A，从而BC侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故ABBC（）解法1：连接CD，则由（）知ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面角，即ACD=，ABA1=，于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC
20、，得sinsin，又，所以，解法2：由（）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a，AC=b，AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），于是，设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），则由得可取n=（0，a，c），于是与n的夹角为锐角，则与互为余角，所以，于是由cb，得，即sinsin，又，所以，【点评】线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质
21、定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解19（13分）【考点】轨迹方程；双曲线的定义；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，由题意得|MA|MB|=|PA|PB|=2|AB|=4由此可知曲线C的方程；（）依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1k2）x24kx6=0由此入手能够求出直线l的斜率的取值范围【解答】解：（）解：以O为原点，AB、
22、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（2，0），D（0，2），P（），依题意得|MA|MB|=|PA|PB|=2|AB|=4曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c=2，2a=2，a2=2，b2=c2a2=2曲线C的方程为（）解：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1k2）x24kx6=0直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，?设E（x1，y1），F（x2，y2），则由式得|x1x2|=当E、F在同一支上时SOEF=|SODFSODE|=|OD|?|x1|x2|=|OD|?|x1
23、x2|；当E、F在不同支上时SOEF=SODF+SODE=|OD|?（|x1|+|x2|）=|OD|?|x1x2|综上得SOEF=，于是由|OD|=2及式，得SOEF=若OEF面积不小于2，即，则有?k22，解得综合、知，直线l的斜率的取值范围为且k1【点评】本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力20（12分）【考点】分段函数的应用；函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）分段求出水库的蓄求量小于50时x的取值范围，注意实际问题x要取整（2）一年内该水库的最大蓄水量肯定不在枯水期，则V（t）的最大值只能在
24、（4，10）内达到，然后通过导数在给定区间上研究V（t）的最大值，最后注意作答【解答】解：（）当0t10时，化简得t214t+400，解得t4，或t10，又0t10，故0t4当10t12时，V（t）=4（t10）（3t41）+5050，化简得（t10）（3t41）0，解得，又10t12，故10t12综合得0t4，或10t12；故知枯水期为1月，2月，3月，4，11月，12月共6个月（）（）知：V（t）的最大值只能在（4，10）内达到由V（t）=，令V（t）=0，解得t=8（t=2舍去）+2+50=108.32（亿立方米）故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米【点评】本小题主要考查函
25、数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力21（14分）【考点】等比关系的确定【分析】（1）这种证明数列不是等比数列的问题实际上不好表述，我们可以选择反证法来证明，假设存在推出矛盾（2）用数列a n构造一个新数列，我们写出新数列的第n+1项和第n项之间的关系，发现的取值影响数列的性质，所以要对进行讨论（3）根据前面的运算写出数列的前n项和，把不等式写出来观察不等式的特点，构造新函数，根据函数的最值进行验证，注意n的奇偶情况要分类讨论【解答】解：（）证明：假设存在一个实数，使a n是等比数列，则有a22=a1a3，即，矛盾所以a n不是等比数列（）解：因为b
26、n+1=（1）n+1a n+13（n+1）+21=（1）n+1（a n2n+14）=（1）n?（a n3n+21）=b n又b1=（+18），所以当=18，b n=0（nN+），此时b n不是等比数列：当18时，b1=（+18）0，由上可知b n0，（nN+）故当18时，数列b n是以（+18）为首项，为公比的等比数列（）由（）知，当=18，b n=0，S n=0，不满足题目要求18，故知b n=（+18）?（）n1，于是可得S n=，要使aS nb对任意正整数n成立，即a（+18）?1（）nb（nN+）得当n为正奇数时，1f（n）；当n为正偶数时，f（n）的最大值为f（1）=，f（n）的最小值为f（2）=，于是，由式得a（+18）当ab3a时，由b18=3a18，不存在实数满足题目要求；当b3a存在实数，使得对任意正整数n，都有aS nb，且的取值范围是（b18，3a18）【点评】这道题目的难度要高于高考题的难度，若函数题是一套卷的压轴题，可以出到这个难度，否则本题偏难，本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力