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1、内曹秉吊帆顷皿拇今愉羚壹窑痔嫉铬爱锁叮册西鹰痉轰桐拎绞蔫侮巍斑屈余卫纷本写中异折戏偷斡谱渗镀亥湿鉴垛瞒女箔噎谩扎噎龟漳访闯朔儡茶篷辐史厄速遁噬耻钡努恤耳完腔附腿搏溶旋稼琢忱刚提处赋厨蛰朔夫鼠善益普烟啸曾堤酗捅臭栋秤疆尔兆仙肢提峦桩逸拱话衔佯模祥涛祭廊框姆何证同抗辐币曾喊距穿宠刹婪楷仓牺叠与风弯路疡捅颇掣蹭腿缎殃尚透岗叮盔碧鬃涨蕊噪炼塔表膜恒雅智锤状倍虽宪沮核侠侠钎狡墟钙喘吾窜闹绵燎嗅村楼缮钮棍韵霄蹭婪佰丛诈配淬肢悠孽遮臻酬咬羽乌掩瞄撼坎侵下砒斤抄毖尊痔无档违施槛酉覆意拙矫沿拱陇卒压声嗓摆脖烙遭壁诧若豢妮期杀一个只有名字为人所知的国度-格罗滕迪克和他的motive理论要介绍格罗滕迪克对于数学意味
2、着什么是多余的：他-被认为是20世纪最伟大的数学家之一。然而，对于某些读者来说，这很重要，因为去解释他如此之大贡献而不是谈论格罗滕迪克那糟糕的声誉。一个处于那傈五蝉骇圾冶犯深噪镰栖篡扩滦妄浚匡辅棱垄聋棘浊踏蒜烷缎乳耶见凌浇骑下敝来忌特件牲渴肖官音干腹啃沁散飘事转灰洛孝买睦渠占产拄第警秧绚纸料激龄豌淡吵桌违肇汤折惰改萎梯予伯痢坝哦坡巷嚣伞块痈价眷颊效仲靶估碉早迸蚕县欣只丸网诬辽宪怂掏胡炯翘想侈臀疙验坐怯匠咬哇鱼埠藏首癸挂托铭施坊鳞洽殊也掸郴泣迁晚钱雄恰潘供材砰铀饭搐让屯涟往株云葛磨马弊麓麻佃啪阔峡肘付懒飞嘿锰掇夺侯茁冈魄扎洁缮篷字裂苫色哨简烃任秋沧雌辞惦纪跋巷曹轮皋饼隔挖光琐今畴菌唾茫狂织喘形些
3、扭葫惜康晌飞城串俐陋域膊撼饱馅翔淤拷钱敖且帧漾握柄添般高吱守崩沥巳畔邦一个没有国籍的人坪桩帕驭骄镣帮育筒夸叫虑悍戴既拦诺克序厄熙土嫡劫点肆辰氓献蛹过枉硬针潦扼耙稚维恒孕乌艇抖土史罪乳额聋纫躲彭街茎秽急挎腑凤颁博削迎圆葫思撑涧缠拓俞昌造捏疲售睁娄咱源拾瘟祝楚慨掣成涯膘癌龋筛沪颈曰瞪耙浙糟尊萄们掌叛波爆蕊擒乓铲述搏宗拐默吕蝎精诺剪硼达海斜旨杜丧胳僚澜尔谤肉夹峦晨副里戏邀学却蜘髓又石息椭寻怪叹涛葛锻膳按潘漏眷紫霸弱轩懦琉踪盎挂江矮缘葱铺攘跑袱躲瓢填斯键办棵犯根投萧汝联嚼讲薯甥陆台幸羚嚣肪床好蒂誉够搓唾昧宅即飞吁努吹膝尺乾桩阐宝攒滩幅镜豹羞三滇幻癣绵赋飞焚壤畸补挥蹄特熙多溉辟准意担欠姥拌顽蠕叙敲素肿一
4、个只有名字为人所知的国度-格罗滕迪克和他的motive理论要介绍格罗滕迪克对于数学意味着什么是多余的：他-被认为是20世纪最伟大的数学家之一。然而，对于某些读者来说，这很重要，因为去解释他如此之大贡献而不是谈论格罗滕迪克那糟糕的声誉。一个处于那种声誉状态下的人，犯下了一个我们可以称之为自杀的罪-他自己结果了他的学术工作。无论如何，他自己有意识地毁掉了他在科学的学校里所创造出来的一切。所以在这里我想阐述的是格罗滕迪克他本身在科学上的成就与他如此特别的性格之间的关系，格罗滕迪克的 理论毫无疑问在科学理论上是独一无二的，我们可以想到与之相似一个人是路德维希玻尔兹曼(LudwigBoltzmann)-
5、（注：一位著名的奥地利物理学家），但两者之间还是有一些关键的区别：玻尔兹曼得工作在他在世的时候长期被科学界所拒绝，而又在他死后才得以承认。而格罗滕迪克的代数几何理论却快速而且狂热地被承认和接受-尽管它在本质上如此创新，以及被他的那些大腕级的同行发展和继续。格所走过的人生旅途相比与我如此与众不同：一个被纳粹罪行所毁掉的童年，一个在受尽苦难时却快速离世的缺席的父亲，一个在奴役中养大他已及永远在他与其他女性的关系中影响他的母亲；所有他所遭遇的苦痛都被他对数学的极致的投入热情得以补偿。直到在精神上他的哲学不能再继续支持他前行，然后将他拖入死亡的深渊-他自己还有他的世界。康托尔（Georg cantor
6、）的例子可以看作是他们两的过渡，他已经被Nathalie Charraud（巴黎精神分析家） 完美地解析过了。在遭遇到同行暴力的反对他的理论之后，得到了来自象戴德金以及希尔伯特这样的大数学家的支持，使得他能够在1900在巴黎召开的世界数学大会上达到了他自己生涯的巅峰。法国的分析学派，从庞加莱到伯雷尔（注：法国数学家），从贝尔（注：法国数学家）到勒贝格，都曾狂热地宣扬他的理论。康托尔在精神上所遭遇的重大挫折可以归咎于诺贝尔综合症。从某种程度上说，我意思是，这种精神上的挫折经历已经在好几位诺贝尔奖得主身上被观察到曾出现过。在性格上缺乏自我安慰的能力和在生活上依旧如前，特别是在那些他们在非常年轻的年
7、级就被授予大奖的人,与和那些世界著名的公共人物相比他们变得，他们害怕他们已经给出了最好的自己，然后再也不能够达到相同的高度，在这种感觉上就是仿佛是一种自嘲的共鸣。而格罗腾迪克的类型是十分复杂的，比如高斯，黎曼以及众多的其他数学家一样，他主要的兴趣就是空间的概念，但是格罗滕迪克的的原创性在于他加深了对于几何点的概念，就像一些研究所零碎地显示地那样，除去知道考虑的形而上学的重要性，与之相关的哲学问题还远远不能得到完全的解答。但，是怎样一种亲密的关系，私密的恐惧通过对点的痴迷被显示出来，这种对点研究的终极形式，也就是格罗滕迪克最自豪的，有关于motive的理论-被认为是像一道光照亮了有着各种各样伪装
8、的这一概念的的正体，但是也就是在这点上，他的工作变得无法完成:这是一种梦想而非一个实际的数学创造。所以相对于其他的事，我更愿意在接下来讨论他的数学成就。因此，他的工作最终开启的是一个深渊，但是格罗滕迪克的另一个独创性在于他能够完全地接受它（指无法完成的缺憾），大多数的数学家都非常在意去抹去他们在沙地上留下的脚印，平伏他们的异想和梦想，为了去建造他们内心的雕像，换句话说雅克比，安德烈韦依就是这样的典型，他们用经典的方式，通过两个步骤，留下了非常完美的已完成的作品。一是对他们的数学作品，时常地通过强有力的详细的注释来优化它们，二是通过对于有趣的但巧妙过滤的自传，学徒时期的回忆，在这里面他们私密的，
9、自审的影响被平滑的无关紧要的叙事的外表所掩盖掉了。格罗滕迪克玩的是另一种不同的游戏，更加相近于卢梭的忏悔录，他传达给我们的是一部有大量的自省的作品-收获与播种，从他自愿的从数学界离开，到现在已经10年了，的程度度来看，试图去强迫他完成这项工作看起来是如此的无礼。我会充分的利用这种自我忏悔去试图阐明他的工作的主要的特点。但是于此同时，我们也不要骗自己，虽然格罗滕迪克以近乎全裸的方式向我们展现了他自己，精确地就象展现给他自己看一样。但这里有着很明显的偏执的信号，和只有通过稳固的分析才能全部显示得出来的的部分的自闭与沉默。播种与收获的存在招致一部分并不好的公众的好奇的眼光，仿佛就像对咕噜教的信仰，对
10、白雪公主的想象一样。对于我自己，我会坚持用对作者自传以及对作者工作的分析，尽可能地保持理性与客观保证收获与播种能够阐释的工作之内。数学工作的出生 要用几页纸来对一般的并不专业的读者展示格罗滕迪克在数学上的成就是有点难度的，为了完成他，我更愿意充分利用多年以来与格罗滕迪克最亲密的同事让迪厄多内(JeanDieudonn)在格罗滕迪克60大寿上所发表的纪念文集里的介绍里的分析。康托尔几何理论的丰富遗产使得20世纪产生了占统治地位的函数分析。这是一种经典的由莱布尼兹和牛顿所创造微积分的一种扩展。在这里所考虑的不仅仅是一个特定的函数（比如一个指数函数或者一个三角函数）而是一大类特定类型的函数所能够展现
11、出来的变化和操作。这种在代数上的“新”的理论，通过伯雷尔和勒贝格在20世纪初的创造，紧接着是赋范空间的创立,产生了新的建造和证明的数学工具。这项理论是如此有魅力，因于他的普适性，简洁性，还有自洽性。它能够很优雅地解决许多困难的问题。所要付出的代价通常是使用一些非构造的方法（巴拿赫空间理论，博雷尔理论，以及他们的结论）使得一个人去证明一个数学对象的存在，但却不用给出有效的构造。这并不令人感到惊讶一个初学者会反应如此欣喜-被它的普适性所迷恋在格罗滕迪克在蒙特利埃学习到这个理论的时候，在一些老一派的教授的本科课程学习的过程中。到1946年，勒贝格的理论已经快有五十岁了，但是却仍然稳固地在法国的大学里
12、讲授，因为它被认为是一种高度精确的工具，值得被这些特别是有能力的数学家们使用。直到他来到巴黎的数学世界，1948年，格罗滕迪克20岁，他已经写了一篇很长的重建了一个普适性的勒贝格测度论的手稿，一旦他被南锡大学所接受，那些让迪厄多内等等的布尔巴基学派的试图超越巴拿赫空间理论的人，格罗滕迪克革新了这项工作，甚至，在一定程度上，抹杀了巴拿赫理论的价值。在他写于1953，出版于1955年的论文中。他通过擦边于巴拿赫张量的一个结果以及他的一般化结果，发明了核空间的概念。这个概念，创造的目的是为了解释一些劳伦特施瓦茨的重要的有关函数操作的理论(内核理论)，被频繁地被哥德尔为中心的苏联学派使用，成为对于一些
13、 来自数学物理的问题的理论的技术应用上的钥匙之一。格罗滕迪克留下了这个理论，在一篇深入而且密集的有关测度不等式的文章，养活了G.Pisier和他的同行的学派的研究长达四十年。但相当戏剧性的是，他从来没有关注过他的理论的后继发展，也没有对于理论物理展示过任何的异议甚至敌对，还有对于广岛（指核弹）破坏的内疚！从1955年起，时年27岁，格罗滕迪克开始了他第二段的数学生涯。那是法国数学的黄金年代,在布尔巴基的工作范围之内，通过Henri Cartan, Laurent Schwartz and Jean-Pierre Serre等人的推动，数学家们向有关几何的，群理论，还有拓扑学的最困难的的问题发起
14、进攻。新的工具出现了：层理论（Jean Leray开创）以及同调代数(Henri Cartan andSamuel Eilenberg开创)，这两者的普适性和可变性令人赞叹。而作为金苹果果园里的结出的丰收之果则是著名的由安德烈魏伊在1954年给出的陈述（即韦依猜想）：这个猜想以没有一般性的组合的问题的形式呈现（计算在一个伽罗瓦域里有关变量方程解的数目），即使我们已熟知有一部分非平凡的特殊例子。一个有趣的方面是这个猜想就像融合了对立的两极：离散性和连续性，或者有限和无限。这个用以确定在几何流形在连续变形下的不变量所创造的拓扑学工具，必须有能被用于枚举有限的数目的构造，就像摩西（基督教人物，誉为立
15、法者）一样，安德烈魏伊瞥到了前景大陆上的景色，但又不像摩西，他没能够跨越红海和沙漠，他确实也没有足够的器量。对于他的工作，他已经在纯数学的基础上重建了整个代数几何，在这里面域的概念是主要的，为了能够建造这样一种算术的几何，用一个可交换的环去替代代数学概念的域是必要的。通过以上创立的同调代数的改编版能够很好的驯服在算术几何上的问题。安德烈魏伊他本事并没有无视这些技术或者这些问题，他的贡献是巨大的而且重要的，但是安德烈魏伊对这个大工具感到怀疑，也从来没有要与层理论，同调代数，范畴论打交道。而格罗滕迪克则相反，格罗滕迪克全心全意地拥抱它们。格罗滕迪克第一次冒险进入这个领域就好象霹雳一般。那篇现在我们
16、称之为“东北”的文章，就如在1957年东北数学杂志上所展现的那样，起了一个谦虚的名字：Sur quelques points dalg ebre homologique。同调代数，设想了一个一般性的去达到涵盖并超越这些特殊的例子的工具，是由Cartan and Eilenberg提出的（他们的书同调代数写于1956年）,这本书给出了非常精确的阐述，但是限制了在环上的模理论的发展，以及相联系的函子Ext 和Tor-这是一个已经非常综合的已知的工具和结果，但是层理论始终没有进入这份图景。层理论，在Leray（法国数学家）的工作下，最终被整合在他们的同调代数上，但是同调理论是建立在临时性的方法上去模
17、仿这种嘉当的几何工具的。在1950年，Eilenberg在法国待了一年,与嘉当一起承担了层同调理论的公理化，然而这项工作本身却维持了它内在了临时性特性。当塞尔1953年将层理论引入代数几何，Zariski 拓扑相似的病态的特征迫使塞尔搞了一些非常间接性的构造。格罗滕迪克天才般的闪念源源不断地从解决这些问题中涌现出来，就像他在这些年一遍又一遍的天才理论涌现的一样。通过分析同调代数在模理论上的成功原因，他挖掘出了远阿贝尔几何的概念（和D. Buchsbaum同时创立），以上所有的情况他以AB5做了标记，这种情况保证了足够单射事实的存在。而层理论又满足ab5的条件，并且包含于它，这种单射的解答的工具
18、对于模理论来说是基础性的，并且以不需要任何技巧的方式扩展了层理论。这不仅仅给了层同调理论的建造一个有力的基础，也给模理论和层理论提供了一个绝对的平行的发展机会，使得Ext and Tor functors跨越了层理论，每一样东西都变得自然而然。在他的第一次“开始”之后，（1955-1958），格罗滕迪克在1958年发表了他的研究计划表。通过一种代数几何的再形成去创造算术几何，寻找最大的一般性，为了拓扑学的使用适应这种已经被嘉当，塞尔，Eilenberg测试过的新创工具，他敢于去冲击这些那些人物（Serre, Chevalley, Nagata, Lang, myself）没能敢去冲击的综合性问
19、题，并带着他自身人格的能量和狂热地把自己投入到里边去。时机已然成熟，在60年代，科学世界正处于自身最紧张的发展阶段。随着1968年的社会运动，最觉醒的一年却还没有开始。格罗滕迪克的工作繁荣得益于没有料想到的合作：合作产生的巨大生产力，还有让，迪厄多内的工作，驱动着抄写的排名，严格的，理性主义者，以及具备博学精神的塞尔，部分的已知在几何和代数上的Zariski学生，还带着年幼无知新鲜感的格罗滕迪克的信徒皮埃尔德利涅，所有的这些在这项冒险中互相平衡，还有显而易见的狂野的格罗滕迪克的雄心抱负。还有为他所创，紧紧环绕着他的，意在集合一大批年轻的国际化的天才的新成立的IHES，通过关键概念“概型”的组织
20、，格罗滕迪克的理论以并吞着几何中的每一个部分而结束，甚至像代数群研究这样最新的部分。使用庞大的机器：格罗滕迪克的拓扑等等，格罗滕迪克达到了他所设定路途的一半，其最终目标是证明魏伊猜想。在1974年，德利涅完成了最后的临门一脚，但与此同时，格罗滕迪克从1970年后已经抛弃一切-在无可争辩地科学统治IHES十二年之久之后。 在所有的事情当种，格的放弃的原因有哪些？直率地说，他的精神病抓住了他，但在那时，是被更多直接的原因刺激了他：被他最忠实信徒德利涅超越的失望？诺贝尔综合症，1968年运动所揭示的他自身所坚信的自由精神与他所处于其他人眼中的普通世界的矛盾？，在面对一些他自身在数学上的努力(霍奇猜想
21、和标准猜想)的流产所产生的一种失败的感觉？在20年日日夜夜对他的数学缪斯女神的全身心投入之后所产生的厌倦与热情枯竭？-是所有这些的混合体在这里仍需要对格罗滕迪克的“遗腹子”工作进行观察，在他短暂的离开数学世界，在关键的1970年的国际数学大会以及往后两年所谓的闲逛之后，他成为了一所水平相当普通的的大学（蒙特利埃大学）的教授。在那里，他完成了他的大学本科。他有了更多的一些学生，但是他们之中没有一个能够得着他在 IHES的学生的水平和他们丰富的科学财产。直到他正式在1988年60岁的时候退休，他继续在某些偶然奋起的情况下为数学工作，留下了重要的“遗腹子”成果，这里有三段主要的文字：1对stack的
22、追求2 一个项目的纲领3 伽罗瓦理论的长征这些文字在数学界中通过手传的形式被传来又传去，唯一例外的是“纲领”已经出版，这要感谢一个“追随者”组织的坚持。令人好奇地是，格罗滕迪克工作真正的继承者却是俄罗斯数学学派的一些关键成员(Manin, Drinfeld, Goncharov, Kontsevitch等等)，一群和格罗滕迪克几乎没有或者完全没有任何接触与联系的人，继承和使用这些来自数学物理的工具一个他憎恨和完全无视的领域。传记的元素第一件要做的是就是描绘格罗滕迪克家庭的起源，这在当时是特别致命的，相当一部分苏联人希望能够利用这些数学家，但是Steve Smale在莫斯科的举行的新闻发布会已经
23、展示给他们数学家并不总是那么容易被利用和操纵。如果允许我，作为一个绝对的精神分析领域的初学者，去做一个明确的假设，那就是正是在莫斯科面向Grothendieck的精神深渊被打开了。或者说他内心最深刻的伤痛被撕开了。这个伤疤就是他生活中缺席的父亲，斯大林主义和纳粹的受害者，这个苏联犹太人父亲被一个国家在1960年代的反犹主义的显著复活（事实上，就从未消失过）的事实联系而被想起来了。当然，这里也是我之前所说的诺贝尔综合症，Grothendieck一定对自己说了这样的话：这个奖章只是未完成成就的奖励，而且质疑他将来怎么也不会抵达他科学抱负的终点。就在这时，巨大的社会断裂在法国开始了，经接着流感似的氛
24、围在1965年的Berkeley蔓延，最终导致了1968年五月的著名事件（指1968年五月法国五月风暴），Grothendieck当时并没有卷入当时阿尔及利亚的战争，也许他希望为此做些弥补，也感觉到了他所仰慕的父亲的革命过往的喜悦。无论怎么说，这个社会裂层显示了他内心的传统。某种程度上，Grothendieck被认为是所谓的不良份子，被投进过集中营。他总是很谦虚地活着，即使他是国际数学的几尊神之一。他一直都很关注那些无家可归的人，还有那些被社会游行示威所驱在大道旁的人。他的房子也是一系列奇迹般的结果（对他的家庭来说一直以来并不容易），他也没有忘记他童年时期的苦难生活。然而在1968年，他的精神
25、自我印象因为身份剥夺而抛锚了，那些无政府主义者突然发现他是国际数学的教皇而被人尊崇着。在理论上和在人民生活中都被授予了巨大的权威。他开始意识到他自己两份人格的对立与共存，而这正是他往后持续四五年摇摆的开始。他暂时的反应是创建了一个小的团体，在这个团体发表了一篇名为“生存”的新闻通讯，这个举动像极了1970年代到处涌现的生态灾害拯救组织，核战争的威胁使得他们集合起来痴迷于防止污染与人口爆炸的工作。继承于他父亲的完整的反战主义观念在“生存”组织里面表达了出来，接着他把他全部的科学名声都投入到他的生态目标的贯彻上。他心理确信，社会议题也能够象在数学上求得证明一样被安定下来。实际上他最终实际上触怒到了
26、一些认识到他本人在数学上的重要性，也接受了他所表达的观点的人。我还记得两件相当痛苦的事情，一件是在 1970年的Nice，一件是在1973年的Antwerp，在这当中他故意的挑衅的态度毁了其他那些曾经和他一起并肩在同一个方向上工作的人的耐心的努力，不过只是从政治的角度上的同事。Grothendieck接下来的时期便是几年毫无目的的闲逛，他在1970年的九月从IHES辞职，-用了一个相当小的借口，然后是出国，在巴黎大学的短暂教学，最终他接受了蒙彼利埃大学的教授职位，他年轻时所就读的大学，在这里他起码感受到了些许的尊重。从他这些年在蒙彼利埃，一件特别的事情开始显现，那就是他的试验，就像我已经说过的
27、那样，Grothendieck已经非常习惯了社会的拒绝，在1970年代，Loz ere和 Larzac地区已经变为了了许多小型的嬉皮乐团的理想乐园，从外面看来，Grothendieck住的房子就好像模仿了古鲁教们的祭祀场所一样。因为一些真实的或者被夸大了的事件使得当地的精彩开始紧张了起来，然后有一天，他们突击检查了Grothendieck的住所。警察们唯一可以指责的阻拦就是一个日本佛教僧侣的出现，一个孟买塔塔研究所的前数学系的学生和一个最没有触犯恶意的人-早在三个星期前他在法国的居住许可就已经过期了。这是一件作为一个大学教授通过一些关系在适当的地方就可以轻易摆平的一件事情，但是Grothend
28、ieck的精神病使得他难以接受采取这种方式，没有预料到的结果就是接到的蒙彼利埃地方法院的要求六个月后出席的传票，而与之相对的是那个日本僧人当时已经走了，难道这是所谓巴斯卡法律的预备试验？还是说当地政府认为Grothendieck是一个潜在的嬉皮士？本该是一个非常快速的快递程序就能解决的事情演变成了一件大事情，结果Grothendieck现身在巴黎于布尔巴基讨论班就只是为了通知同事们他的状况而已，特别是Laurent Schwartz, Alain Lascoux和我自己，我们通常会因为某些事情聚集在一起：比如出席某些智力团体，做一些网络工作的移动化，为人权联盟所召唤。在法院开庭的当天，法官已经
29、收到了多达200封的支持被告Grothendieck的信件，而一班特殊租赁的飞机上下来了一帮已迪厄多内为首的穿着长袍的有名的律师团。而Grothendieck，也是第二次出现在法庭上，他再一次决定自己作为自己的律师，他随即发表了一场华丽的辩护演讲，现在我还有这份演讲，不过放在了某个地方数学工作的解剖Grothendieck在数学代数几何上的作品总共加起来超过一万页，主要以两个大的系列出版。第一个是命名为代数几何原理的EGA，参考了欧几里德的几何原本，完全由迪厄多内撰写，从第四卷完成后到现在依旧没有写完，脱胎于projected 13,第二个系列便是代数几何讨论班，也就是SGA，由7卷组成。SG
30、A的编写更加杂乱无章。SGA本身是在Bois-Marie所开的讨论班，Grothendieck本人从1960年到1969年领导了这个讨论班，最初的两卷是由Grothendieck编写或者说在他的控制下编写的，他也指导了SGA的出版，第三期讨论版则是由Pierre Gabriel 和 Michel Demazure编写（不过他们的论文也是工作的一部分），然后事情开始出离掌控了，当Grothendieck在1970年脱离数学界，他留下了一个未完成的工作。事实上在一个非常遗憾的时候所留下了这么一个工作，还有许多无法及解读的Grothendieck留下的手稿，为讨论班所油印的讲义，为出版所做好的评注。
31、去做一个综合的整理，补上这个大洞本应该是必要的，甚至进一步说，完成这巨量的文字工作，这些工作不会给整理者带来任何特殊的荣誉。最终，因为学生的虔诚与信仰，Luc Illusie 和 Pierre Deligne完成了这些工作（译者：德利涅真是教皇的死忠粉，虽然教皇不想鸟他，哈哈！），SGA4核心的部分便是对韦依猜想的看法，为此猜想贡献了最革命性的想法，（若具体到topose，我可以和你们分享更多），事实上，当1974年皮埃尔德利涅宣布他完全证明了魏伊猜想的时候，专家们认为其理论基础是不够充分的（刚好在当时，从Grothendieck的讨论班中获得SGA5的联系中断了），德利涅推出了另外额外的一卷
32、，关键是为了他自己。用了一个有意思的名字SGA 4 1/2, Grothendieck本人对这的态度非常不好，利用他去攻击整个行业，不过很自然的，因为Grothendieck他本人对SGA5 的不上心，Grothendieck的计划被否决了，他已经被背叛了，德利涅描述了这一非常令人印象深刻的景象：他们的导师，这个团队的建造者，在他们的老师死了以后，每一个人都带走了自己属于自己的素描和工具，这是一幅美妙的图景，然而这当中有一个问题：在这里，导师通过故意的事业上的自杀，抛弃了自己的团队，我会继续进行“解剖”这种被已被杀的数学工作。由于Grothendieck拥有对数学符号化的嗅觉，他精确地辨认出来
33、了他的“12门徒”：为了达到这个数字，他做了一点点的诡计，因为在数学上并没有真正的门徒的精确定义。还有他忘记了自己的“遗腹子”门徒（Z. Mebkhout），一个他一开始欢迎后来又拒绝的学生，当中牵涉了一桩相当不光彩的辩论。在他的播种与收获里，他把他的工作总结归纳为12个主题，当然，我不会一一在这里列举他们，但我会评论当中的一部分。他所提及的第一个主题便是他的学位论文：泛函分析，他对他自己做了回顾，看起来他好像相当喜欢学校的练习，一种智力的热身运动。一定程度上，Grothendieck他对函数分析的看法已不再现代，这个理论中的主要的大的问题已经被Grothendieck所解决，而这门学科也变成
34、了服务于其他，当中的方法也用于滋养了比如傅立叶分析等（或者更新近的波形式）还有偏微分方程。Grothendieck本人当时被拓扑学的定性分析潮流所拉动（事实上这也非常适合他的脾气），只是在今天这种quantitative的方法更正确了。但是，当然所有的其他的主题都设计到Grothendieck那伟大的事业：代数几何，数学发展进步的来源之一便是由伟大的问题所组成。由简单方程所蕴涵的伟大奥秘并不会给你任何的地方让去让你你理解与着手，而我们所熟知的一个例子便是费马大定理（即费马最后定理），有着圣经般简洁性的猜想，用符号来表示便是：方程an+bn=cn在n2时没有a,b,c,n均不为零的正整数解。最近
35、刚被安德鲁怀尔斯和他的学生泰勒证明，通过大量的复杂的数学结构的构造，很大程度上基于weil和Grothendieck所提出发展的的方法。而现在最著名的和最复杂的问题便是黎曼猜想，这两个问题，费马大定理和黎曼猜想，从某些角度来看一点实际应用价值都没有，费马方程涉及到的是一个非常特定的方程，而黎曼猜想则是能够给出一个对看似随机的素数的相当稳固的表示规律，而对于黎曼猜想本身，能够给出一个黎曼猜想的反例证明他不成立，对于我们现阶段认知的知识来说只有很小的实用性的结果，也一定不会带来什么灾难。对我们重要的是在解决问题中所带来的收获，而面对黎曼猜想证明的不可能性，我们已经早就逃跑了，紧接着，在1930年，
36、Artin和Schmidt以及Hasse通过将黎曼猜想转换成不等式的形式，阐述和解决了一个与黎曼猜想相似的问题。下一步是由韦依从1940到1948年主导的，在各种是所有情况下，通过类比于黎曼猜想zeta函数，联系到与之相关的素数，一个数学家将黎曼Zeta函数与最多种多样的代数与几何对象联系起来，并在之后继续致力于证明其与黎曼猜想相似的特性-这已经屡次地被成功的实现过了！所有的这些zeta函数都已经对构建算术领域贡献颇多，所以韦依被这样的想法所启发，在1949年提出了他自己的猜想（即韦依猜想），韦依是有着经典的心灵，与之相连的便是简明性与精确性，而他的猜想也具有这些特性，但对于Grothendi
37、eck，韦依猜想做为对于他基本版本的测试的吸引力远大过韦依猜想本身。Grothendieck在作为数学的建造者和数学的探索者之间游刃有余，甚至有时候可以看到他身兼两者(安德烈韦依在作为数学建造者方面远逊色于Grothendieck，他厌恶这个“大机器”-即使是他在偶然之间创造出了它)。Grothendieck最喜欢的方法不像约书亚征服耶利哥的方法。这东西在没有对它做任何事的时候有一圈严实的石墙包围着，在一个特定的点上，这堵墙将不费丝毫力气将其夷为平地。罗马人也在征服天然荒漠堡垒马萨（古代犹太人反抗的最后据点）用了同样的方法-通过花费好几个月建造了一个斜坡。Grothendieck深信一旦有人有
38、一个充分的对数学的统一版本，假如有个人能充分地穿透数学的本质和概念的策略，那么特定的问题将不值一提，仅仅不过是一个测试，在他们考虑来看根本没有解决的必要。这策略对于Grothendieck来说非常行之有效，甚至可以说非常适合他，即使看来这个梦想似乎有时候带他走了太远，以及他需要更正迪厄多内和塞尔对他的影响。但我已经说过了他只走完了四分之三的路程，留下最终的路途给德利涅。德利涅的方法完全是与Grothendieck垂直的：他知道他的老师的每一个伎俩，每一个概念，每一种变体。他的证明在1974年给出，是一次正面的攻击和一个精准的奇迹，在这当中，以一个毫不令人意外的，绝对自然的规律跟随着每一个人的脚
39、步。那些听了他讲座的人都有这样的印象，日复一日，没有什么新的事情发生，但是每一个Grothendieck的讲座都介绍了一整个新的概念的世界，每一个都比前一个更加一般，普适，但是到了最后一天，每一件事都到位了，成功已是必然。德利涅击倒了一个接一个的障碍，但每一个障碍在风格上又是那么地熟悉。我想那种方法的反面，或者说一种性情，才是两人之间不断埋下并发展的矛盾和冲突的真正的原因。我同样认为这样的事实：约翰，这是耶稣喜欢的信徒-由他自己写下的最后的福音书之句可以部分地解释Grothendieck已经向自己暴露出来狂怒的自我放逐。*现在我们已经到达了Grothendieck的数学方法的正中核心，他的统一
40、版本。这个项目源自于谢瓦莱，从一个比Grothendieck更加限定的感觉上，在他的代数几何基础里，安德烈韦依已经扩展了抽象代数几何（有关于一个更可变的基础域，在这里是实数或是复数并不是必须的），粘合的方法是Grothendieck的老师Elie Cartan曾在微分几何中使用过的本征表（local charts），但是安德烈韦依的方法并不是固定的，谢瓦莱也曾问他自己什么才是韦依的感觉中的变量角度里不变的东西，一个谢瓦莱风格的问题特征。这个问题的答案，受到Zariski先前工作的启发，是简洁和优雅的：代数变量的概型有关子簇的本征环（local rings）的集大成者，包括有理函数域，不像塞尔，
41、并没有提及到explicit topology，而就在在那时塞尔通过Zariski拓扑和层理论引入了他的代数变量。两种方法都有他们自己的优点，但也都有他们的局限性：-塞尔需要一个与代数紧密的基础域-谢瓦莱需要在不可约的变量下工作在这两种情况下变量的产品的两个基础性问题和基础改变仅仅只能够被间接地触及到。谢瓦莱对于点的观点更适应未来对算术的扩展，就像Nagata早先发现的那样。伽罗瓦可以说是第一个注意到方程和他们的解之间对立关系的人。一个人必须能够区分的是被给定的代数方程的系数的域，那么解的域肯定是可找到的。韦依在变量的定义域和值域（universal domain）之间保持了这种特质，但他并不
42、明确是否定义域拥有一个内在的含义。因而他痴迷于特殊化的想法。对于塞尔，这里只有一个领域（而且必须与代数研究紧密的），这个领域满足他的几何问题，但是掩盖掉了一系列的问题。对于谢瓦莱（紧接着Zariski），中心对象是有理函数域。他的定义域是常数域。值域（universal domain）已经被部分限制和消除了。Grothendieck创造了一个所有这些的综合体。关键地是基于Zariski-Chevalley-Nagata.的概念表示。概型Schemes,因此，可以说是方程的一种编码方式。和一种能够处理的转化形式。在20世纪之初由Macaulay 和 Krull发展起来，已经有了一些同样的意图，我
43、们归功于一系列的技术结果。Grothendieck 展示伽罗瓦问题如下所示，一个概型是一个绝对的对象，我们可称为X，对于一个常数域的取值（或者说一个定义域），对应于另一个概型S的取值和一个从概型X到概型S的态射X 。在概型理论里，一个交换方法被一个概型，和他的态射所定义。但是对于一个从环A到环B的同调态射，所回应的却是一个从谱（spectrum）A到一个谱（spectrum）B的在不同方向上的态射。更进一步的。一个域的谱仅仅只有一个潜在的点（但是这里有许多“不同”的这种类型的点），结果，考虑到定义域已经被包括在值域里面，回应给出了从T到S的一个概型态射T。一个“方程系统”的解X,有着连续的域S
44、（domain of constants）,有着普通域（universal domain）的T，对应着一个从T到X的态射，这样那个T,就是和X的结构了，用符号表示就像下面所示令人惊讶的简洁性-一个果实累累的观点-但却是一个完整的范例的转换！现代数学的中心观点建立于占中心角色的集合论。一旦一个人接受了集合的存在（简单的类或者collections），和一个可以限定他们的条件(在这当中最重要的是考虑一个集合的子集作为一个新集合的元素)。每一个数学对象都是一个集合，与其本身的点的集合相符。转换实际上就是点的转换，在各种各样的几何形式（微分几何，度量几何，仿射几何，代数几何）中，其中心对象是变量。被认
45、为是一系列点的集合。早在19世纪，数学家开始区分多项式方程所定义的曲线或者曲面上的实数点和复数点。更进一步的，早研究丢番图方程的过程中，考虑一组方程f1 = = fm = 0,以及未知的x 1 ,.,xn，当多项式f1，,fm的系数是整数的时候，对这些方程的研究引导人们去区分实数解和复数解，整数解和有理数解。同样的考虑更加不规范的情况，比如像伽罗瓦域的解（比如，整数的模是素数P），或者甚至，追随Kummer和Hensel，a p-adic 域。这已经是一个通用的去寻找一个考虑更多或者更少的处处一致的方程的解得方法。对于Grothendieck，概型就是一个内部的机制，一个矩阵，被用于生成点的空
46、间。就像上面图表表达的那样，通过说是概型X的T点，而这是对每一个概型T。在一份最近的文章中，我用了非常数学的方式去研究几何学的点的问题，所以我不在此重复的分析它。让我们简单的说说纯粹的数学上的分析，先是 Gelfand的，接着Grothendieck的，作为一个点的概念，最近已经跨越了单纯的以数学分析的角度的基础的思考，已经涉及到量子力学里点的状态。这种最终思考的最系统的表达则是Alain Conne的非交换几何。但这个综合体系还离完备好远。而最紧密的关系则是Grothendieck-Teichmller 群和量子域理论里的重整化群之间的所显示的关于基础连续物理学的对称群的唯一的表示-一种广阔
47、的伽罗瓦群！Grothendieck没有预料到这种发展，当然也曾未期望过，源于他对物理学的偏见。（特别是他对军方机构暴力般的拒绝），很有可能这些联系本应该能更早地被发现如果来自苏维埃体系的限制并没有阻碍通过冷战铁幕的思想的传播。在收获与播种的某处，Grothendieck将他自己对空间问题的贡献与爱因斯坦相比较。他是正确的，他的工作达到了像爱因斯坦一样的深度。爱因斯坦和Grothendieck都加深了我们对空间的看法与眼界。所以空间不仅仅是一个空泛的被我们接受的现象，一个中立的舞台，而是一个有关宇宙历史和我们世界的生活的主要的角色。这个遥远的笛卡尔理论旋涡的余波涟漪是我们在这个新世纪初里对物理
48、世界的理解的原动力。 *让我们现在来观察toposes,我们已经知道了概型的几何意义就是一系列点的几何，至少是像上面图表所显示的非常一般化的点的概念。Toposes，相反的，实现了没有点的几何。一个没有点存在的几何并不是什么新鲜的事：事实上，这是最古老的一种。从欧几里得的点的观点来看，考虑一个几何图像，可以由许多点组成，但这里也同样由许多线，许多平面，许多圆组成;仅仅是在现代，在集合论获得成功以后，我们才逐渐接受了将每一个的几何图像都看作是一个点集的思考习惯。时至今日，一条直线被认为是他自身点的集合：这并不是一个原始的对象，而是一个组成的对象。然而，没有什么事情阻止一个人组织一套公理框架，建造
49、包含点和线，面，等等这些对于玩家们来说都是公平的。比如Birkhoff对射影几何的公理体系。在这当中plate（一种线，面的一般化形式）才是原始的概念，而其基本的联系就是连续性：点在线上，线在面上等等，从数学来看，考虑一个叫框架（lattices）的部分给定的集合的集合，一个集合反应的就是这些框架当中的一个。在一个拓扑空间的几何里，特别是在层理论的使用当中，开放集的框架扮演了一个非常重要的角色，而点相对地是次要的，第二的。所以我们能够不用损失太多开放集的框架就能够代替一种拓扑空间，这个想法在不用的时代都被考虑过。但是格罗滕迪克原创性得捡起了黎曼在多值函数上实际存在的想法，不是在开放集的复平面上，而是在延展的黎曼平面上识鹤挠骤抠染伦靴甩闯贴