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1、七级数学下册培优新帮手专题图形面积的计算试题25 图形面积的计算阅读与思考计算图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一，它包括两种主要类型： 1.常见图形面积的计算由于一些常见图形有计算面积的公式，所以，常见图形面积一般用公式来解. 2.非常规图形面积的计算非常规图形面积的计算通常转化为常见图形面积的计算，解题的关键是将非常规图形面积用常规图形面积的和或差来表示.计算图形的面积还常常用到以下知识：（1）等底等高的两个三角形面积相等.（2）等底的两个三角形面积的比等于对应高的比. （3）等高的两个三角形面积的比等于对应底的比. （4）等腰三角形底边上的高平分这个三角形的面积. （5）三角形一边上
2、的中线平分这个三角形的面积. （6）平行四边形的对角线平分它的面积. 熟悉如下基本图形：S 3S 4S 3S 4S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 1S 2S 2S 1l 2l 1 例题与求解【例1】 如图，在直角ABC 的两直角边AC ，BC 上分别作正方形ACDE 和CBFG .AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC =14，BC =28，则S AGW =_(2013年“希望杯”全国数学邀请赛试题)解题思路：AGW 的面积可以看做AGF 和GWF 的面积之差.F【例2】如图，已知ABC中的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF.四边形BDC
3、E是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A3 B4 C5 D6（2013年全国初中数学竞赛广东试题）解题思路：设ABC底边BC上的高为h.本例关键是通过适当变形找出h和DE之间的关系FB【例3】如图，平行四边形ABCD的面积为30cm2，E为AD边延长线上的一点，EB与DC交于F 点，已知三角形FBC的面积比三角形DEF的面积大9cm2，AD=5cm，求DE长.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：由面积求相关线段，是一个逆向思维的过程，解题的关键是把条件中图形面积用DE 及其它线段表示B A CFDE【例4】如图，四边形ABCD被AC与DB分成甲、乙、丙、丁4个三角形，已知BE=80 c
4、m，CE=60cm ，DE =40 cm ，AE =30 cm ，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍？（“华罗庚杯”竞赛决赛试题）解题思路：甲、乙、丙、丁四个三角形面积可通过线段的比而建立联系，找出这种联系是解本例的突破口.丁乙丙甲E BCD A 【例5】 如图，ABC 的面积为1，D ，E 为BC 的三等分点，F ，G 为CA 的三等分点，求四边形PECF 的面积.解题思路：连CP ，设S PFC =x ，S PEC =y ，建立x ，y 的二元一次方程组.QP F GEDCBA 【例6】如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点， DE 与A
5、F 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ PC .求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值（2013年”希望杯“数学邀请赛试题）解题思路：连接EF ，DF ，AC ，PB ，设S ABCD =a ，求得APQ 和CPQ 的面积.F DB能力训练A 级1.如图，边长为1的正方形ABCD的对角线相交于点O.过点O的直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分面积是_.F CB（海南省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点，若BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是_平方厘米.EFDCBA（“希望杯”邀请赛试题）3.如图，ABCD是边长为a的
6、正方形，以AB，BC，CD，DA分别为直径画半圆，则这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积是_.C （安徽省中考试题） 4.如图，已知AB ，CD 分别为梯形ABCD 的上底、下底，阴影部分总面积为5平方厘米，AOB 的面积是0.625平方厘米，则梯形ABCD 的面积是_平方厘米.DC （“祖冲之杯”邀请赛试题）5.如图，长方形ABCD 中，E 是AB 的中点，F 是BC 上的一点，且CF =BC ?31，则长方形ABCD 的面积是阴影部分面积的( )倍.A.2B. 3C. 4D.5F CBE 6.如图，是一个长为a ，宽为b 的长方形，两个阴影图形都是一对长为c 的底边在长方形对边上的平行四边形
7、，则长方形中未涂阴影部分的面积为( ).A.c b a ab )(+-B. c b a ab )(-C.)(c b c a -D.)(c b c a +- 7如图，线段AB =CD =10cm ，BC 和DA 是弧长与半径都相等的圆弧，曲边三角形BCD 的面积是以D 为圆心、DC 为半径的圆面积的41，则阴影部分的面积是( ) A 25 B. 100 C.50D. 200CD（“五羊杯”竞赛试题）8如图，一个大长方形被两条线段AB 、CD 中分成四个小长方形，如果其中图形，的面积分别为8，6，5，那么阴影部分的面积为( ) A.29 B.27 C.310D 815BDA 9如图，长方形ABCD
8、 中，E ，F 分别为AD ，BC 边上的任一点，ABG ，DCH 的面积分别为15和20，求阴影部分的面积.CF B（五城市联赛试题）10.如图，正方形ABCD ，正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求DEK 的面积 KEB A D （广西壮族自治区省南宁市中考试题） B 级1.如果图中4个圆的半径都为a ，那么阴影部分的面积为_. （江苏省竞赛试题）2.如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，F 是CD 上的一点，若三角形ABE 的面积是长方形ABCD 面积的31，三角形ADF 的面积是长方形ABCD 面积的52
9、，三角形CEF 的面积为4cm 2，那么长方形ABCD 的面积是_cm 2.DCFE BA（北京市“迎春杯”邀请赛试题） 3.如图，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积为_. （“希望杯”邀请赛试题）4.如图，若正方形APHM ，BNHP ，CQHN 的面积分别为7，4，6，则阴影部分的面积是_.CMNDQB A(“五羊杯”竞赛试题）5.如图，把等边三角形每边三等分，使其向外长出一个边长为原来的31的小等边三角形，称为一次“生长”，在得到的多边上类似“生长”，一共“生长”三次后，得到的多边形的边数=_，面积是原
10、三角形面积的_倍.第2次生长第1次生长原图 (“五羊杯”竞赛试题）6.如图，在长方形ABCD 中，AE =BG =BF =21AD =31AB =2，E ，H ，G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于( ).A.8B.12C.16 D 20F BGCDA 7.如图，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形，ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则AKE 的面积是( ).A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2D 51cm 2 FEB A（2013年“希望杯”邀请赛试题）8.在一个由88个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆，若把圆经过的所有
11、小方格的圆内部分的面积之和记为S 1，把圆周经过的所有小方格的圆外部分的面积之和记为S 2，则21S S 的整数部分是( ). A.0 B.1 C.2 D 3（全国初中数学联赛试题）9.如图，ABC 中，点D ，E ，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD ，BE ，CF 交于一点G ，BD =2DC ，S GEC =3，S GDC =4，则ABC 的面积是( ).A.25B.30C.35 D 40GFE CBDA 10.已知O （0，0），A （2，2），B （1，a ），求a 为何值时，S ABO =5？11.如图，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点，求图中阴影部分的面
12、积.CAD（湖北省武汉市竞赛试题）12.如图，A BC中，21=FAFBECEADBDC.求的面积的面积ABCGHI的值.GIHEDCBFA（“华罗庚金杯”邀请赛试题） 专题25 图形面积的计算例1 196 提示：28（28+14）-2828=2814=287=196.例2 D 提示：设ABC 底边上的高为h ，则BC h =24 故h=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。. 设ABC 底边DE 上的高为错误！未找到引用源。，BDE 底边DE 上的高为错误！未找到引用源。，则h =错误！未找到引用源。.=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源
13、。=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。）=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=6.例3 2cm .提示：设ABE 的AE 边上的高为hcm ，DE 长为xcm ，则错误！未找到引用源。，解得DE =2.例454提示：2S CE S EA =丙甲 , 2S BE S ED =丙乙, 12S DE S BE =丁甲,12S AE S EC =丁乙. 例5 1133AECABCSS = ，1133BGFABCS S =.设=x PECS ，=y PFCS则=3x PBCS，=3y PCAS 于是133133x y x y ?+=?+=?+，得243x y +=（），16x y +=，
14、即6=1PECF S .例6 设=a ABCD S，因为E,F 分别是AB,BC 的中点，所以a4ADEABFSS=. APDBEPF SS =四边形.如图，连接EF,DF ，则a a=82AEF ADF S S ，.所以a 18=a 42EP PD =. 设x AEPS=，则=4x ADP S.由APDBEPF SS =四边形得a x=4x 4-. ax=20. a a4=205APDS =?. 连接AC ，又AQ PC ，APQACQSS=， a5ACQADQSS+=. a a 3=a 2510CDQS =-.连接PB ，则a=20EBPAEPSS=. 由1=a 2ABPCDPS S+，
15、得a a a 3a a22101010CPQABPCDQS S S=-=-=.aPQ 110=3a 310CPQ CDQSDQ S=，从而PQ 1=4PD ，1a=420APQAPD S S =.于是a a 3a=201020APQCPQAPCQ S S S+=+梯形.3=20APCQ ABCDS S梯形.A 级 1.14提示：POCAOES S=,14ABCD S S =阴影正方形.2. 48.3.()22a 2-4. 15.625. 5. B.6. C.7. B.8. C.9. 35 提示:连接EF ，EGFABGSS=,EFHDHCSS=.10. 解法一：将DEK 的面积转化为规则图形的
16、面积之和或差.如图,延长AE 交PK 的延长线于点H.设正方形ABCD ，正方形PKPF 的边长分别a ， b.则DEKADECDGPKGFHKABCD BEFG EHPF SS S S SSSS=+-正方形正方形矩形=()()()()221111a 44b a a 4a a-4b b 4b 4-b 2222+-+-+-=222221111a 164b a 2a a 2a b 2b 2b+b 2222+-+-=16.解法二：运用等积变形转化问题，连接DB,GE,FK.则DBA=GEB=45, DB GE,得GEDGEBS S=，同理GE FK ，得GEKGEFS S =. 16DEKGEDGE
17、K GEBGEFBEFG SSSSSS =+=+=正方形.B 级 1. 2212a 3a -（或22.58a ）.2. 120 提示：设AB=a ，AD=b ，CE=c ，CF=d.则BE=b-c-，DF=a-d ，c= 12b ，d= 15a ，cd=8.3. 18.75（3）.4. 8.5 提示：连HD.5. 48 12481 提示：“生长”n 次后得到n 34?边形，面积为原面积的n 114293+-倍. 6. B.7. B 提示：过点K 作KH AB. AB=8，BE=6，AE=8+6=14.又KAE=KEA=45, KH=12AE=7. 111474922AKESAE KH =?=?
18、=. 8. B 提示：根据正方形的对称性，只需考虑它的14部分即可. 9. B.10. 当a 1时，即B 在OA 上方时，如图. AOBCBOAODBCDA SSS S=+-梯形，()()11151a a 22122222=?+?-?，解得a=6. 当0a 1时，即B 在OA 于x 轴之间时，依题意，有()111221a-a 21=5222?-?+?，解得a=-4（不合题意，舍去）.当a 0时，即B 在x 轴下方时，有()()()111122a 221a =5222+?-?-?-?-，解得a=-4.综上所述，当a=-4或a=6时，5ABOS =.11. 14AMDAMCSS=. AMGS 为公
19、共部分, AGDCMGSS=.又因为AMG 与AMD 的高的高相等（以A 为顶点作高），MCG 与MCD 的高相等（以C 为顶点作高），AMG OMG AMDMCDS SMGSSMD=,即141142CMGCMG S S -=，解得：1=6CMGS.11=2=63S ?阴影. 连BG ，设ABCSS =,x DOGS=，y BGFS=.则1332233,x y S x y S ?-=?+=?解得12421x S y S ?=?=? 同理可得：121.EAHFBISSS =又13ADCBEAS S=S ，得12532121=-=OCEH HAFI S S S S?= ?四形四形 .21011321217=-GHIS S S ?= ? 故17GHI ABCS S =.