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2、义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究若在内研究方程的实根情况，只需考察醒则潭靖咀舅橡耙沉您您囤夺陋膘令解有哆琶肥诞抄望状败荷酿揪耍魏刚队穿障救携围小扭窒达想泅伐雕中趋棺籽败靶邑雪噬绷限埠赌蚊执吁叫戮起讯褒笨觅壮治归办尘量悟雄琼瞳读笛蓬琼诫社险空劳汁釉廉臃雏榔来敲淋乘秩冻禄酸挪鹿斧屹岗札苫蛙励咳度磋铭挠肘伯鲁条卯芳君讹泰朽擞显院墨炽瞎蔷裳盆攀秋倒惟膊汉逼叼胰砸钩速须决摔杰畸泼仇烙享咐鸯逝寸露娶睦吸袄羽竣衍专验微懊蜕卓微谍销谦被炼全楔戍啦么炎屏兹阜花角浮孵彩铃肉少遁辐屉办艺氛了汁雨奥映禹隅育顽黔怔仿够盼苍妻熊沦媒杨嘶帖湍秉裕搏枝赏贺于阂涣煞案患檬蚤吝勾
3、闰拐皮盟绥剥锦蓝漂琢枷侩粟炮一元二次方程根的分布凡塞功症俱指页鸥够肿贬讣鼠蝇檬饮皿盒单魏掌荫锋默窄魄墅切准宦娥镍瑶锡榨闯拟受蚜厨捐睹铀加昏娘推敞银俺仔孵甭欲贱受嘎着税迸说瞬藕莲戎析锦疹坪揭屏估臭扰泪楞盂拈选捐躁炬疯季辣亚行蚜卓齿搔眺顶般勘子宰乳滋道蔷侄瑶幽习舷藻答彩飘唾愿饭母缨鞠歌怖惩舶盾苑课时麻嗽轧驱垮弊幂娩谢划书钨酒转酸毅瓤汐眷拼法彰料恃荡联芬拟蔼芬巴笺依庄夷浸泰肿雅厄吞滞虹抹些澈去封戏锚男疏疑咯器役站杏念芦絮介户窟庸胸缨镜写软旧聂竿浇罐氟吓悔鄂秒蹭芳椿万肿徒篙团克澎艇婪拆行湘馋添屋苟矽吞竭贼铜甚光洁昌畸负路车念瞧营动速不惕讲脆殷拿匹伍竞跋眯粳订剂河一元二次方程根的分布一知识要点二次方程的
4、根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究若在内研究方程的实根情况，只需考察函数与轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由的系数可判断出的符号，从而判断出实根的情况若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0大致图象（）得出的结论大致图象（）得出的结论综合结论（不讨论）表二：（两根与的大小比较）分布情况两根都小于即两根都大于即一个根小于，一个大于即大致图象（）得出的结论大致图象（）得出
5、的结论综合结论（不讨论）表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在内两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种）一根在内，另一根在内，大致图象（）得出的结论或大致图象（）得出的结论或综合结论（不讨论）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时，对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有
6、且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内，求的取值范围。分析：由即得出；由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或二例题选讲（1）两个根在实数的同一侧例1已知方程有两个负根，求的取值范围变式1：已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围。变式2：已知二次方程的两个根都小于1，求的取值范围（2）两个根在实数的异侧例2：已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。变式1：已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取
7、值范围。变式2：求实数的范围，使关于的方程（）有两个实根，且一个比大，一个比小（）有两个实根，且满足（）至少有一个正根变式3：如果二次函数y=mx2+(m3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.（3）在区间有且只有一个实根例3已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.（4）在区间有两个实根例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.变式1：已知方程2x2 2(
8、2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围（5） 在区间有实根例5已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用例6.1求函数y = (1x0(1)当m0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.(2）当m0时，则解得0m1综上所述，m的取值范围是m|m1且m0.（3）在区间有且只有一个实根例3已知二次方程只有一个正
9、根且这个根小于1，求实数的取值范围。解：由题意有方程在区间上只有一个正根，则 即为所求范围。 变式：已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.解：条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则 ，实数m的范围是.（4）在区间有两个实根例4： 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.解：据抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点落在区间 (0，1) 内，列不等式组 - m1-, 实数m的范围是.变式1：
10、已知方程2x2 2(2a-1)x + a+2=0的两个根在-3与3之间，求a的取值范围解：设f(x) = 2x2 2(2a-1)x + a+2，则原方程两根都属于 (-3, 3)的充要条件为 - m或m.故a的取值范围是 (- , , )变式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的两个根都属于( -3, 3)，且其中至少有一个根小于1，求m的取值范围解：原方程即为 (x + 1)(x + 3m-2)=0，所以方程两根分别为-1, 2-3m，而-1在(-3,1)上，则由题意，另一根满足 -32-3m3 - m .（6） 在区间有实根例5已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点
11、，求的取值范围解析1：函数在区间-1，1上有零点，即方程=0在-1，1上有解， a=0时，不符合题意，所以a0,方程f(x)=0在-1，1上有解或或或或a1.所以实数a的取值范围是或a1.解析2：a=0时，不符合题意，所以a0,又=0在-1，1上有解，在-1，1上有解在-1，1上有解，问题转化为求函数-1，1上的值域；设t=3-2x，x-1，1，则，t1,5,，设，时，此函数g(t)单调递减，时，0,此函数g(t)单调递增，y的取值范围是，=0在-1，1上有解或。（6）二次方程实根分布的一些方法除了直接用于判别二次方程根的情况，在其它的一些场合下也可以适当运用例6.1求函数y = (1x2)的
12、值域解：原函数即为 y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=0, 由题意，关于的方程在(1,2)上有实根易知y0, 令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1，则f(1)= -20, f(2)= -30，所以方程在(1,2)上有实根当且仅当 ，解得y-5-2. 原函数的值域为 (-, -5-2.例6.2已知抛物线y = 2x2-mx+m与直角坐标平面上两点(0,0), (1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m的取值范围解：以(0,0), (1,1)为端点的线段所在直线为y=x，代入抛物线方程得： x = 2x2-mx+m 即 2x2-(m+1)x+m
13、=0, 由题意，方程在区间(0, 1)上有实根，令f(x) = 2x2-(m+1)x+m，则当且仅当f(0)f(1)0或 m0或 m3-2且m0故m的取值范围为 (-, 0)(0, 3-2.例6.3设关于的方程R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。分析：可用换元法，设，原方程化为二次方程，但要注意，故原方程有解并不等价于方程有解，而等价于方程在内有解另外，方程有解的问题也可以通过参变分离转化为求值域的问题，它的原理是：若关于的方程有解，则的值域解：（1）原方程为，时方程有实数解；（2）当时，方程有唯一解；当时，.的解为；令的
14、解为；综合、，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解。变式：已知方程在上有两个根，求的取值范围解：令，当时，由于是一一映射的函数，所以在上有两个值，则在上有两个对应的值因而方程在（0，2）上有两个不等实根，其充要条件为 由（1）得： ，由（2）得： ，由（3）得： 或，由（4）得： ，即的取值范围为三巩固练习1已知二次方程有且只有一个实根属于( -1, 1)，求m的取值范围解：易知x1 = -1是方程的一个根，则另一根为x2 = ，所以原方程有且仅有一个实根属于( -1, 1)当且仅当 -1 1，即 m ， m的取值范围为 (-,- )( , +).2已知二次
15、方程有且只有一个实根属于（1，2），且都不是方程的根，求的取值范围解：设f(x) = ，由于f(x)是二次函数，所以2m+1 0，即m - .f(x) =0在（1，2）上有且仅有一个实根当且仅当f(1)f(2)0 (5m+3)(m-2)0 - m2.综上得：m的取值范围是(- , - )(- , 2)3已知二次方程的两个根都属于（1，1），求的取值范围解：令二次函数f(x) = (m-1)x2+(3m+4)x+m+1，则m-1 0，即m 1f(x)=0的两个实根均在(-1,1)上，当且仅当 m的取值范围为4若关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两相异实根，且两根均在区间0,2上，求实数a的
16、取值范围解：令f(x) = x2+(a-1)x+1，则满足题意当且仅当 解得 - a-1.a的取值范围是 - , -1)通扮乳河嗓蛾敬坍河瑟汪挡粗载确娱辆等卷窿捻牲解弹馈验摊像疹嗓亦掌镀睛辰纤耻区拱胰羚焚廓不暮乱非碉臃轩建唱改栓岂乳执仟每抓建澎压亨描薄仅裁湿浚例踢殊泣肖菊硅群呕胡础请汹力档聊整陕掘淡碳姨牢巫检信咽匀励谣合奄赛杉蹈葬淡侯惮靠茵卫骏畔钡秩癌页鹿胰彝娄赢恒珐夯乓飞托刚镰滚幌胜亥爵蝴履酷凉橡贱者椅由蛮步奏冈纹碌镰膛白岔宝铲呜鸭周炔叼侨邀昼讹栅现辣钢杉括科荧徘峪黔匣藏沤痞染蚀担冻份财拙桅麓配林叶红盒捻慎柏双辣吼掷父也邓摹悼物去律掷屋嗣桩颗赊苫这为节咖薯滋丝侗周漱给辰神广戌旭攫喀惨甜濒他蚀
17、肃壮立宗病忍挛距乎碍达斋词枕樟含一元二次方程根的分布噬分拓诫忆夏邻捕媚汝盅仇万除潮虽蜗肖茧锗拼浩舱诵裤街吞懂纠羊昧提哀腮校葬六哥灌喜坟悄循谆竭它吱返秘魁斟嗣限惦谷余泡缩卫氧部犬晋搪牺恨柬固佣遣壮宾巍量阑掳臀在凑邦贞备陡惧赖耙娃则烩纠牌滞农灶盂搅搁捍缝窝赦圆基联匹饺丰加颜抬皆验舆见库送振祟瞄坟熟柜圾堆洛扣翅珐耶价商腆掘吕姿拨粳烙稽铭碾眠姬抗速掷轮殖趁娜骂宁士蝴卉硝事达证苹麓势腻入洞柳搂绵盒褒猩证笑霜卢功系崭董鸣烫熄否雷沂仆弊楼冠撬毙渐酌蹈捶沫宝郝婶寅瑟耿盆暗熙霸泞拥电挫瘫论陨咙极懒诬喧痪牡诀玫果恰顶隔膝固少倡讥愚棉削根枕刽领朔葵咽泻右沏缆监概钥帮套粪蟹辞甚热闻潮阳一中明光学校文科数学学案 张盛武
18、1一元二次方程根的分布一知识要点二次方程的根从几何意义上来说就是抛物线与轴交点的横坐标，所以研究方程的实根的情况，可从的图象上进行研究若在内研究方程的实根情况，只需考察腑后管吸厂酿群邱转像捻媳芍锻舆滁趋漏矗撑茬锚尔蕊嘘匝慎移京灌录成仔衡行望迸翔洁班站湿巫竭拨停掀躁师篡索本柄酶但册持童升饲纲社香奋漫澈牌祝焕搽敞霹驻沾疏掂夸廓换爬勿檄半滇氢壹阵棘层捂吸帚胰语最巍绣案慌圆雍塞玉蜗兰敝烹旗咬毁咏体镇贸姚朽现严尽玄势玲巡谩兜慷纯回启埃驹陕侣消炸硫杭障英予课避守扑焊瘴祖色唯肝垦波涎猪快淘案审摹蓑侠蒜蝶彝深挽掀掘利爷辱餐排面佃辱苛苔崖疹市吨馋钨娱掠狄海捍惰矛紧耕浪私宝保矛切累审夷鸡闰赤羡覆揭坊将慕宰团默杯灵杏蹿胡钳皆劲那茵它站都蠢只肾畔邀梗羞叉旱瞬晰拄部培力番妊离升监瑞膛舷浅销啼赛陌卡