不等关系与不等式(作业)含答案.docx

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1、不等关系与不等式(作业)含答案 7.1 不等关系与不等式 1两个实数比较大小的方法 (1)作差法?a b 0?a b a b 0?a ba b (a ，b R )(2)作商法?ab1?a b ab 1?a ba b (a R ，b 0)2不等式的基本性质 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质a b ，ab 0?1a a .(2)有关分数的性质若a b 0，m 0，则b a b m(b m 0) 题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a b ，a b ，a b1，则a b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，

2、不等号方向不变( ) (4)a b 0，c d 0?a d bc .( )(5)若ab 0，则a b ?1a b .( )题组二 教材改编2若02，2ab ，a 2b 2从小到大排列为_题组三 易错自纠4若a b 0，c 5若22，则的取值范围是_ 题型一 比较两个数(式)的大小1已知实数a ，b ，c 满足b c 64a 3a 2，c b 44a a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A c b a B a c b C c b a D a c b 2若a ln 33，b ln 44，c ln 55，则( )A a B c C c D b 一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形

3、，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差 (2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出题型二 不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c (2)设a b 1，c b ；ac 其中所有正确结论的序号是( )A B C D 思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 跟踪训练 若1a 其中正确的不等式是( )A B

4、C D 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立典例 已知a b 0，给出下列四个不等式：a 2b 2；2a 2b 1；a b a b ； a 3b 32a 2b .其中一定成立的不等式为( )A B C D 命题点2 求代数式的取值范围典例 已知1判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 跟踪训练 (1)若a B a 2b n(2)已知1利用

5、不等式变形求范围典例 设f (x )ax 2bx ，若1f (1)2,2f (1)4，则f (2)的取值范围是_ 错解展示：由? 1f (1)2，2f (1)4，得?1a b 2，2a b 4. 得32a 3，得12b 1.由此得4f (2)4a 2b 11. 所以f (2)的取值范围是4,11 错误答案 4,11 现场纠错 纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大 1(2021济宁模拟)若a 2若f (x )3x 2x 1，g (x )2x 2x 1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A f (x )g (x ) B f

6、(x )g (x ) C f (x )4(2021乐山调研)若62b 2a ，c a b ，那么c 的取值范围是( )A 9c 18B 15C 9c 30D 9b 0，则下列不等式中一定成立的是( ) A a 1b b 1a B.b a b 1a 1 C a 1b b 1a D.2a b a 2b a b 8已知a 1a 2，b 1b 2，则a 1b 1a 2b 2与a 1b 2a 2b 1的大小关系是_ 9已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：若ab 0，bc ad 0，则c a db 0；若ab 0，c a d b 0，则bc ad 0；若bc ad 0，c a db 0，则ab

7、 0.其中正确的命题是_(填序号)10(2021青岛调研)设a b c 0，x a 2(b c )2，y b 2(c a )2，z c 2(a b )2，则x ，y ，z 的大小关系是_(用“”连接)11已知112设实数x ，y 满足02且y 2B x C 0D x 2且013若x y ，a b ，则在a x b y ；a x b y ；ax by ；x b y a ；a y bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是_ 14(2021江门模拟)设a ，b R ，定义运算“?”和“”如下：a ?b ?a ，a b ，b ，a b ，ab ?b ，a b ，a ，a b .若m ?n 2，p q

8、 2，则( )A mn 4且p q 4B m n 4且pq 4C mn 4且p q 4D m n 4且pq 415(2021合肥质检)已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b c 3a ，则ca 的取值范围为( )A (1，)B (0,2)C (1,3)D (0,3)16.(2021天一测试)已知实数a (1，3)，b ? ?18，14，则a b 的取值范围是_.17.已知00 B.2a b 218.(2021保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x 0时，f (x )x 3，若不等式f (4t )f (2m mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是(

9、 ) A.(，2) B.(2，0)C.(，0)(2，)D.(，2)(2，)19.(2021济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x 0时，f (x )e x .若对任意x a ，a 1，恒有f (x a )f (2x )成立，求实数a 的取值范围. 7.1 不等关系与不等式 题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a b ，a b ，a b1，则a b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变( ) (4)a b 0，c d 0?a d bc .( )(5)若ab 0，则a b ?1a b

10、 .( )题组二 教材改编2若02，2ab ，a 2b 2从小到大排列为_答案 a 2解析 02a .即a 2，又a 2b 2(a b )22ab 12ab 11212，即a 2b 212，a 2b 2b (1b )2b 2b (2b 1)(b 1)， 又2b 10，b 1综上，a 2题组三 易错自纠4若a b 0，c 解析 c .5若22，则的取值范围是_答案 (，0)解析 由22，得题型一 比较两个数(式)的大小1已知实数a ，b ，c 满足b c 64a 3a 2，c b 44a a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A c b a B a c b C c b a D a c b

11、 答案 A解析 c b 44a a 2(a 2)20，c b . 又b c 64a 3a 2，2b 22a 2，b a 21， b a a 2a 1?a 122340， b a ，c b a .2若a ln 33，b ln 44，c ln 55，则( )A a B c C c D b 解析 方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a 3ln 44ln 3log 8164b c 5ln 44ln 5log 6251 0241， 所以b c .即c 方法二 对于函数y f (x )ln xx ，y 1ln x x 2，易知当x e 时，函数f (x )单调递减 因为e思维升华 比较大小的常用方

12、法(1)作差法一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差 (2)作商法一般步骤：作商；变形；判断商与1的大小关系；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系题型二 不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c 解析 由c (2)设a b 1，c b ；ac 其中所有正确结论的序号是( )A B C D 答案 D解析 由不等式性质及a b 1，知1a b ，又c b ，正确；构造函数y x c ，c b 1，a c log b

13、 (a c )log a (a c )log a (b c )，正确思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件 跟踪训练 若1a 其中正确的不等式是( )A B C D 答案 C解析 方法一 因为1a b 显然|a |b 121综上所述，可排除A ，B ，D. 方法二 由1a b中，因为a b ab 0.故有1a b ab，即正确；中，因为b a 0.故b |a |， 即|a |b 中，因为b 1b 0，所以a 1a b 1b，故正确；中，因为b a 20，而y ln x 在定义域(0

14、，)上为增函数，所以ln b 2ln a 2，故错误由以上分析，知正确 题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立典例 已知a b 0，给出下列四个不等式：a 2b 2；2a 2b 1；a b a b ； a 3b 32a 2b .其中一定成立的不等式为( )A B C D 答案 A解析 方法一 由a b 0可得a 2b 2，成立；由a b 0可得a b 1，而函数f (x )2x 在R 上是增函数， f (a )f (b 1)，即2a 2b 1，成立； a b 0，a b ，(a b )2(a b )22ab 2b 2b (a b )0， a b a b ，成立；若a 3，

15、b 2，则a 3b 335,2a 2b 36， a 3b 3方法二 令a 3，b 2，可以得到a 2b 2，2a 2b 1，a b a b 均成立，而a 3b 32a 2b 不成立，故选A. 命题点2 求代数式的取值范围典例 已知1解析 1由1思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径 跟踪训练 (1)若a 答案 C

16、解析 (特值法)取a 2，b 1，逐个检验，可知A ，B ，D 项均不正确； C 项，|b |a |a |1?|b |(|a |1)y Cx答案B解析由a可知x0，所以xy.2若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()Af(x)g(x) Bf(x)g(x) Cf(x)答案B解析f(x)g(x)x22x2(x1)210，则f(x)g(x)3若a ，b R ，且a |b |解析 由a |b |当b 4(2021乐山调研)若62b 2a ，c a b ，那么c 的取值范围是( )A 9c 18B 15C 9c 30D 9解析 c a b 3a 且c a b 3a2

17、，92a b 3a 5设?0，2，?0，2，那么23的取值范围是( ) A.?0，56 B.?6，56 C (0，) D.?6， 答案 D解析 由题设得0630，66有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x y z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a b c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A ax by cz B az by cx C ay bz cx D ay bx cz 答案 B解析 令x 1，y 2，z 3，a 1，b 2，c

18、 3. A 项：ax by cz 14914； B 项：az by cx 34310； C 项：ay bz cx 26311； D 项：ay bx cz 22913.故选B.7(2021济南调研)若a b 0，则下列不等式中一定成立的是( ) A a 1b b 1a B.b a b 1a 1 C a 1b b 1a D.2a b a 2b a b答案 A解析 取a 2，b 1，排除B 与D ；另外，函数f (x )x 1x 是(0，)上的增函数，但函数g (x )x 1x 在(0,1上单调递减，在1，)上单调递增，所以，当a b 0时，f (a )f (b )必定成立，即a 1a b 1b ?

19、a 1b b 1a，但g (a )g (b )未必成立，故选A.8已知a 1a 2，b 1b 2，则a 1b 1a 2b 2与a 1b 2a 2b 1的大小关系是_ 答案 a 1b 1a 2b 2a 1b 2a 2b 1解析 a 1b 1a 2b 2(a 1b 2a 2b 1)(a 1a 2)(b 1b 2)，因为a 1a 2，b 1b 2，所以a 1a 20，b 1b 20，于是(a 1a 2)(b 1b 2)0，故a 1b 1a 2b 2a 1b 2a 2b 1.10已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：若ab 0，bc ad 0，则c a db 0；若ab 0，c a d b

20、0，则bc ad 0；若bc ad 0，c a db 0，则ab 0.其中正确的命题是_(填序号) 答案 解析 ab 0，bc ad 0， c a d b bc adab 0，正确； ab 0，又c a db 0，即bc ad ab 0，bc ad 0，正确；bc ad 0，又c a db 0，即bc ad ab 0，ab 0，正确故都正确10(2021青岛调研)设a b c 0，x a 2(b c )2，y b 2(c a )2，z c 2(a b )2，则x ，y ，z 的大小关系是_(用“”连接) 答案 z y x解析 方法一 y 2x 22c (a b )0，y x . 同理，z y

21、，z y x .方法二 令a 3，b 2，c 1，则x 18，y 20， z 26，故z y x .11已知1?32，232 解析 设3x 2y m (x y )n (x y )，则?m n 3，m n 2，? m 52，n 12. 即3x 2y 52(x y )12(x y )，又12，32即32，3x 2y 的取值范围为?32，232.12设实数x ，y 满足0解析 由题意得? xy 0，x y 0，则?x 0，y 0，由2x 2y 4xy (x 2)(2y )得?x 2，y 2或? 0又xy ?0y ，a b ，则在a x b y ；a x b y ；ax by ；x b y a ；a

22、y bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是_ 答案 解析 令x 2，y 3，a 3，b 2. 符合题设条件x y ，a b .a x 3(2)5，b y 2(3)5. a x b y ，因此不成立ax 6，by 6，ax by ，因此不成立 a y 331，b x 221， a y bx ，因此不成立 由不等式的性质可推出成立 14(2021江门模拟)设a ，b R ，定义运算“?”和“”如下：a ?b ?a ，a b ，b ，a b ，ab ?b ，a b ，a ，a b .若m ?n 2，p q 2，则( )A mn 4且p q 4B m n 4且pq 4C mn 4且p q 4D m

23、 n 4且pq 4答案 A解析 结合定义及m ?n 2可得? m 2，m n 或?n 2，m n ， 即n m 2或m n 2，所以mn 4；结合定义及p q 2，可得? p 2，p q 或?q 2，p q ，即q 15(2021合肥质检)已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b c 3a ，则ca 的取值范围为( )A (1，)B (0,2)C (1,3)D (0,3) 答案 B解析 由已知及三角形三边关系得?a b c 3a ，a b c ，a c b ， ?1a3，1b a ca ，1c a b a，?1a 3，1a两式相加，得0a ca的取值范围为(0,2) 16.(202

24、1天一测试)已知实数a (1，3)，b ? ?18，14，则a b 的取值范围是_.解析：依题意可得4b 17.已知00 B.2a b 2解析 由题意知02a b b a 2，所以2a b b a 224，D 错误；由a b 12ab ，得ab 因此log 2a log 2b log 2(ab )42，C 正确. 答案 C18.(2021保定调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x 0时，f (x )x 3，若不等式f (4t )f (2m mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(，2) B.(2，0)C.(，0)(2，)D.(，2)(2，)解析 因为f

25、 (x )在R 上为奇函数，且在0，)上为增函数，所以f (x )在R 上是增函数，结合题意得4t 2m mt 2对任意实数t 恒成立?mt 24t 2m 19.(2021济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x 0时，f (x )e x .若对任意x a ，a 1，恒有f (x a )f (2x )成立，求实数a 的取值范围. 解析： 因为函数f (x )是偶函数，故函数图象关于y 轴对称，且在(，0上单调递减，在0，)上单调递增. 所以由f (x a )f (2x )可得|x a |2|x |在a ，a 1上恒成立， 从而(x a )24x 2在a ，a 1上恒成立， 化简得3x 22ax a 20在a ，a 1上恒成立， 设h (x )3x 22ax a 2，则有?h （a ）00，h （a 1）4a 30，解得a 34. 故实数a 的取值范围是? ?，34.