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1、精品文档椭圆的基本知识一、基本知识点知识点一：椭圆的定义：椭圆三定义，简称和比积1定义1：(和)至俩定点的距离之和为定值的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫椭圆的焦 点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距，定值为。2、定义2:(比)到定点和定直线的距离之比是定值的点的轨迹叫做椭圆。定点为焦点，定直线为准线，定值为。3、定义3:(积)到两定点连线的斜率之积为定值的点的轨迹是椭圆。两定点是长轴端点，定值为 m e21( 1 b 0)的参数方程为。a b知识点四：椭圆的一些重要性质(1) 对称性：椭圆的标准方程是以 x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心就是椭圆的中
2、心。(2) 范围：椭圆上所有的点都位于直线 xa和yb所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x a, y b。(3)顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点为椭圆的顶点;2椭圆笃a2古1(a b 0)与坐标轴的四个顶点分别为椭圆的长轴和短轴。2c c(4)离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e 亠上。2a a因为ac0，所以e的取值范围是0 e b0)上xo,yo点的切线方程，可以用xo,yo等b效代替椭圆方程得到。等效代替后的切线方程是:XXoyyob2-(10)极点与极线:若Po xo, yo是椭圆2y1(a b o)外一点，过Fo作椭圆的两b条切线，切点为 F,F2，则
3、点Fo和切点弦RP2分别称为椭圆的极点和极线。切点弦P1P2的直线方程即极线方程是(11)中点弦方程和弦中点轨迹：中点弦AB的方程：在椭圆中，若弦爭晋1 (极线定理)AB的中点为M(x,y)，弦AB称为中点弦，则中点弦的方程就是竽ayoy2Xoa22yo2，是直线方程。b2弦中点M的轨迹方程：在椭圆中，过椭圆内点Po xo,yo的弦AB，其中点M的方程就是XXayoy2y牙，仍为椭圆。b22 2 2知识点五：椭圆务笃 1和笃a ba2X1(a b o)的区别和联系b2标准方程2 2X2 y2 1(a b o) a b2 ab21(a bo)图形性质焦占八 、八、焦距范围对称性顶点轴长离心率准线
4、方程焦半径、规律方法1如何确定椭圆的标准方程？确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2、椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义a,b, c构成一个直角三角形的三边，满足勾股定理。3、如何由椭圆标准方程判断焦点的位置？椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判2 2断焦点位置的方法是：看 x ,y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。2O4、方程Ax By C(ABC 0)是表示椭圆的条件。5、求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确
5、定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6、共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。2 与椭圆务 a2話1(ab0)共焦点的椭圆方程可设为a2 m b2 m1(mb2)，此类问题常用待定系数法求解。7、如何求解与焦三角形PFiF2(P是椭圆上的点)有关的计算问题?焦三角形：以椭圆的两个焦点F1, F2为顶点，另一个顶点p在椭圆上的三角形称为焦三角形。半角是指F1PF2的一半。2则焦三角形的面积为：S b tan 。28、直线与椭圆问题的有关计算问题（韦达定理的应用）（1 ）弦长公式（2）中点弦问
6、题（点差法）三、四种题型与三种方法（一）四种题型2 2P为椭圆C上的一动1、已知椭圆C:- y1内有一点A（2,1）, F为椭圆C的左焦点,25165点，求PA -|PF的最小值。2、已知椭圆2c：252y161内有一点A（2,1）, F为椭圆C的左焦点,P为椭圆C上的一动点，求PA PF的最大值与最小值。2 2P为椭圆C上的一动3、已知椭圆C :-1外有一点A（5,6） ,1为椭圆C的左准线,25163点，点P到I的距离为d，求PA d的最小值。4、定长为d（d的线段AB的两个端点分别在椭圆x2b21（ab0）上移动,求AB的中点M到椭圆右准线I的最短距离。（二）三种方法22Xy代B两点，求
7、三角形AOB的最1椭圆r2 1（a b0）的切线与两坐标轴分别交于ab小面积。22、已知椭圆Z 1和直线l : x y 90 ,在I上取一点 M，经过点M且以椭圆的3焦点Fi,F2为焦点做椭圆，求 M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆。2 23、过椭圆2x y2的焦点的直线交椭圆于A, B，求AOB面积的最大值。四、经典例题1、如图，把椭圆2x2521的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上16半部分于r,P2, r,F4,P5,F6,P7七个点，PF| P2FP7F2x2、已知f1 , f2是椭圆162人 1的两个焦点，过9MNF2的周长为（）B. 16C. 25D. 32
8、3、过点A 1,1的两个焦点相同的椭圆标准方程是2x2）且与椭圆一62x4、若椭圆k 82y- i9的离心率是-，则k的值等于22x5、F1, F2分别是椭圆a2y2 1的左右焦点，点 P在椭圆上，POF2是面积为.3的正b三角形，则b2的值是6、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为（A. 2B.1C.2D.7、已知定点A(a,O)，其中 Ov av3,它到椭圆92仝 1上的点的距离的最小值为1,4求a的值。8、已知F1,F2分别是椭圆2X1001的左右焦点，点P在椭圆上。(1 )若 F1PF2,求 F1PF2 的面积;3(2)求PF1 . PF2的最大值。