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1、20212021学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11路漫漫其修远兮,吾将上下而求索-12充分条件与必要条件对应学生用书P5充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到30两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时,失主却说自己丢了50两银子,叫洛孝拿出自己私留的20两银子两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去设:A:洛孝主动归还所拾银两B:洛孝无赖银之情C:洛孝拾到30两银子,失主丢失50两银子D:洛孝所拾银子不是失主所丢问题1:县官得到结论B的依据是什么?它是B的什么条件?提
2、示:A,充分条件问题2:县官由C得出什么结论?它是C的什么条件?提示:D,必要条件充分条件和必要条件如果“若p,则q”形式的命题为真命题,即pq,称p是q的充分条件,同时称q是p的必要条件.充要条件已知:p:前年在伦敦举行第30届夏季奥运会q:前年是2012年问题1:“若p,则q”为真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,充分条件问题2:“若q,则p”是真命题吗?p是q的什么条件?提示:是真命题,必要条件问题3:p是q的什么条件?q是p的什么条件?路漫漫其修远兮,吾将上下而求索-提示:充要条件,充要条件充要条件(1)如果既有pq,又有qp,通常记作pq,则称p是q的充分必要条件,简称充要条
3、件(2)p是q的充要条件也可以说成:p成立当且仅当q成立(3)如果p,q分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题(4)若pq,但q/ p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件(5)若p/ q,且q/ p,则p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断,即对命题“若p,则q”与“若q,则p”进行真假判断,若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件;若是两真则p是q的充要条件;若是两假则p是q的即不充分又不必要条件对应学生用书P6充分条件、必要条件的判断例1(1)p:a,b,c三数成等比数列,q:bac;(2)p:yx4,q:x1
4、,y3;(3)p:ab,q:2a2b;(4)p:ABC是直角三角形,q:ABC为等腰三角形思路点拨 可先看p成立时,q是否成立,再反过来若q成立时,p是否成立,从而判定p,q间的关系精解详析 (1)若a,b,c成等比数列,则b2ac,bac,则p/ q;若bac,当a0,b0时,a,b,c不成等比数列,即q/ p,故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx4不能得出x1,y3,即p/ q,而x1,y3可得xy4,即qp,故p 是q的必要不充分条件(3)当ab时,有2a2b,即pq,当2a2b时,可得ab,即qp,故p是q的充要条件(4)法一:若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形,即p/
5、 q;若ABC 2路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 3 为等腰三角形也不能得出ABC 为直角三角形,即q / p ,故p 是q 的既不充分也不必要条件法二:如图所示:p ,q 对应集合间无包含关系,故p 是q 的既不充分也不必要条件 一点通充分必要条件判断的常用方法:(1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断(2)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法:设A x |p (x ),B x |q (x ),若x 具有性质p ,则x A ;若x 具有性质q ,则x B . 若A B ,则p 是q 的充分不必要条件;若B A ,则p 是q 的必要不充分条件;若A B ,则p 是q
6、 的充要条件;若A B 且B A ,则p 是q 的既不充分又不必要条件 1设集合A x |xx 30,集合B x |x 2|1,那么“m A ”是“m B ”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件解析:集合A x |0x 3,集合B x |1x 3,则由“m A ”得不到“m B ”,反之由“m B ”也得不到“m A ”,故选D.答案:D2对任意实数a ,b ,c 给出下列命题:“a b ”是“ac bc ”的充要条件;“a 5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;“a b ”是“a 2b 2”的充分条件;“a 其中,真命题的序号是_解析:由a b
7、 可得ac bc .但ac bc 时不一定有a b ,故为假命题;由“a 5为无理数”可得“a 为无理数”,由“a 为无理数”可得“a 5为无理数”,为真命题;路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 4 由“a b ”不能得出a 2b 2,如a 1,b 2,为假命题;“由a 答案:3指出下列各组命题中p 是q 的什么条件,q 是p 的什么条件,并说明理由(1)p :|x |y |,q :x y ;(2)在ABC 中,p :sin A 12,q :A 6. 解:(1)因为|x |y |x y 或x y ,但x y |x |y |,所以p 是q 的必要不充分条件,q 是p 的充分不必要条件(2)因为0
8、A 时,sin A (0,1,且A (0,2时,sin A 单调递增,A 2,)时,sin A 单调递减,所以sin A 12A 6,但A 6/ sin A 12. 所以p 是q 的充分不必要条件,q 是p 的必要不充分条件. 充要条件的证明和求解例2 已知数列a n 的前n 项和S n p n q (p 0且p 1),求证:数列a n 为等比数列的充要条件为q 1.思路点拨 本题可分充分性和必要性两种情况证明,即由q 1推证数列a n 为等比数列和由数列a n 满足S n p n q (p 0且p 1)为等比数列推证q 1.精解详析 (充分性)当q 1时,a 1S 1p 1;当n 2时,a
9、n S n S n 1p n 1(p1),且n 1时也成立于是a n 1a n p n p 1p n 1p 1p (p 0且p 1),即a n 为等比数列 (必要性)当n 1时,a 1S 1p q ;当n 2时,a n S n S n 1p n 1(p 1)因为p 0且p 1,所以当n 2时,a n 1a n p n p 1p n 1p 1p ,可知等比数列a n 的公比为p .故a 2a 1p p 1p qp ,即p 1p q ,求得q 1. 综上可知,q 1是数列a n 为等比数列的充要条件一点通充要条件的证明问题,要证明两个方面,一是充分性,二是必要性为此必须要搞清条件,在“A 是B 的
10、充要条件”中,A B 是充分性,B A 是必要性;在“A 的充要条件是B ”中,A B 是必要性,B A 是充分性 4不等式x 2ax 10的解集为R 的充要条件是_路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 5 解析:若x 2ax 10的解集为R ,则a 24答案:25等差数列a n 的首项为a ,公差为d ,其前n 项和为S n ,则数列S n 为递增数列的充要条件是_解析:由S n 1S n (n N )(n 1)a n n 12d na n n 12d (n N )dn a 0(n N )d 0且d a 0.因此数列S n 为递增数列的充要条件是d 0且d a 0.答案:d 0且d a 06求
11、证:关于x 的方程ax 2bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0. 证明:先证必要性:方程ax 2bx c 0有一个根为1,x 1满足方程ax 2bx c 0.a 12b 1c 0,即a b c 0.必要性成立再证充分性:a b c 0,c a b .代入方程ax 2bx c 0中可得: ax 2bx a b 0,即(x 1)(ax b a )0.故方程ax 2bx c 0有一个根为1.故关于x 的方程ax 2bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0. 充分条件、必要条件的应用例3 已知p :关于x 的不等式3m 2x 3m 2,q :x (x 3)0,若p 是q 的充分
12、不必要条件,求实数m 的取值范围思路点拨 求出q 对应的集合,然后把问题转化为集合间的包含关系求解精解详析 记A x |3m 2x 3m 2,B x |x (x 3)0x |0x 3,若p 是q 的充分不必要条件,则A B .注意到B x |0x 3,分两种情况讨论:(1)若A ,即3m 23m 2,解得m 0,此时A B ,符合题意;(2)若A ,即3m 23m 2,解得m 0,路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 6 要使A B ,应有 3m 2 0,3m 23,解得0m 3.m 0,综上可得,实数m 的取值范围是(,3)一点通将充分、必要条件转化为集合的包含关系,是解决该类问题的一种有效的
13、方法,关键是准确把p ,q 用集合表示,借助数轴,利用数形结合的方法建立方程或不等式,求参数的范围 7已知条件p :x 2x 60,条件q :mx 10(m 0),且q 是p 的充分不必要条件,求m 的值解:解x 2x 60得x 2或x 3,令A 2,3,B 1m , q 是p 的充分不必要条件,B A .当1m 2时,m 12;当1m 3时,m 13. 所以m 12或m 13. 8已知M x |(x a )25x 24解:由(x a )2a 1又由x 25x 24x M 是x N 的充分条件,M N , a 13,a 18,解得2a 7.故a 的取值范围是2,7 1充分必要条件与四种命题之间
14、的对应关系;(1)若p 是q 的充分条件,则原命题“若p ,则q ”及它的逆否命题都是真命题;(2)若p 是q 的必要条件,则逆命题及否命题为真命题;路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 7 (3)若p 是q 的充要条件,则四种命题均为真命题2涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,常利用命题的等价性进行转化,从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系 对应课时跟踪训练二 1“1x 2”是“x 2”成立的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析:当1x 2时,必有x 2;而x 2时,如x 0,推不出1x 2,所以“1x 2”是“x 2”的
15、充分不必要条件答案:A2函数f (x )x 2mx 1的图像关于直线x 1对称的充要条件是( )A m 2B m 2C m 1D m 1 解析:函数f (x )x 2mx 1的图像关于x 1对称m 21m 2. 答案:A3已知命题p :“a ,b ,c 成等差数列”,命题q :“a b c b2”,则命题p 是命题q 的( )A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析:若a b c b 2,则a c 2b ,由此可得a ,b ,c 成等差数列;当a ,b ,c 成等差数列时,可得a c 2b ,但不一定得出a b cb2,如a 1,b 0,c 1.所以命题p
16、 是命题q 的必要不充分条件,故选A.答案:A4“a 3”是“函数f (x )ax 2在区间1,2上存在零点”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析:当a 3时,f (1)f (2)(a 2)(2a 2)0,即函数f (x )ax 2在区间路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 8 1,2上存在零点;但当函数f (x )ax 2在区间1,2上存在零点;不一定是a 3,如当a 3时,函数f (x )ax 23x 2在区间1,2上存在零点所以“a 3”是“函数f (x )ax 2在区间1,2上存在零点”的充分不必要条件,故选A.答案:A5直线l :x y
17、m 0与圆C :(x 1)2y 22有公共点的充要条件是_解析:直线l 与圆C 有公共点|1m |22|m 1|21m 3. 答案:m 1,36在下列各项中选择一项填空:充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件(1)记集合A 1,p,2,B 2,3,则“p 3”是“A B B ”的_; (2)“a 1”是“函数f (x )|2x a |在区间12,上为增函数”的_ 解析:(1)当p 3时,A 1,2,3,此时A B B ;若A B B ,则必有p 3.因此“p 3”是“A B B ”的充要条件(2)当a 1时,f (x )|2x a |2x 1|在12,上是增函数;但由f (x
18、 )|2x a |在区间12,)上是增函数不能得到a 1,如当a 0时,函数f (x )|2x a |2x |在区间12,上是增函数因此“a 1”是“函数f (x )|2x a |在区间12,)上为增函数”的充分不必要条件 答案:(1) (2)7指出下列各组命题中,p 是q 的什么条件(充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件,既不充分也不必要条件)?(1)p :ABC 中,b 2a 2c 2,q :ABC 为钝角三角形;(2)p :ABC 有两个角相等,q :ABC 是正三角形;(3)若a ,b R ,p :a 2b 20,q :a b 0;(4)p :ABC 中,A 30,q :sin A
19、 12. 解:(1)ABC 中,b 2a 2c 2,cos B a 2c 2b 22ac 0, B 为钝角,即ABC 为钝角三角形,反之若ABC 为钝角三角形,B 可能为锐角,这时路漫漫其修远兮,吾将上下而求索 - 9 b 2a 2c 2.p q ,q / p ,故p 是q 的充分不必要条件(2)有两个角相等不一定是等边三角形,反之一定成立,p / q ,q p ,故p 是q 的必要不充分条件(3)若a 2b 20,则a b 0,故p q ;若a b 0,则a 2b 20,即q p ,所以p 是q 的充要条件(4)转化为ABC 中sin A 12是A 30的什么条件 A 30sin A 12,但是sin A 12/ A 30, ABC 中sin A 12是A 30的必要不充分条件 即p 是q 的必要不充分条件8求方程ax 22x 10有两个不相等的负实根的充要条件解:当a 0时,方程为一元一次方程,其根为x 12,不符合要求; 当a 0时,方程ax 22x 10为一元二次方程,有两个不相等的负实根的充要条件为 44a 0,2a 解得0