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1、20212021学年高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件学案北师大版选修11路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-12充分条件与必要条件对应学生用书P5充分条件与必要条件古时候有个卖油郎叫洛孝，一天他在卖油回家的路上捡到30两银子，回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主当洛孝把银子还给失主时，失主却说自己丢了50两银子，叫洛孝拿出自己私留的20两银子两人为此争执不休，告到县衙，县官听了两人的供述后，把银子判给洛孝，失主含羞离去设：A：洛孝主动归还所拾银两B：洛孝无赖银之情C：洛孝拾到30两银子，失主丢失50两银子D：洛孝所拾银子不是失主所丢问题1：县官得到结论B的依据是什么？它是B的什么条件？提
2、示：A，充分条件问题2：县官由C得出什么结论？它是C的什么条件？提示：D，必要条件充分条件和必要条件如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即pq，称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件.充要条件已知：p：前年在伦敦举行第30届夏季奥运会q：前年是2012年问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？路漫漫其修远兮，吾将上下而求索-提示：充要条件，充要条件充要条件(1)如果既有pq，又有qp，通常记作pq，则称p是q的充分必要条件，简称充要条
3、件(2)p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立(3)如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们称命题p和命题q是两个相互等价的命题(4)若pq，但q/ p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件(5)若p/ q，且q/ p，则p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断，即对命题“若p，则q”与“若q，则p”进行真假判断，若是一真一假则p是q的充分不必要条件或必要不充分条件；若是两真则p是q的充要条件；若是两假则p是q的即不充分又不必要条件对应学生用书P6充分条件、必要条件的判断例1(1)p：a，b，c三数成等比数列，q：bac；(2)p：yx4，q：x1
4、，y3；(3)p：ab，q：2a2b；(4)p：ABC是直角三角形，q：ABC为等腰三角形思路点拨 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系精解详析 (1)若a，b，c成等比数列，则b2ac，bac，则p/ q；若bac，当a0，b0时，a，b，c不成等比数列，即q/ p，故p是q的既不充分也不必要条件(2)yx4不能得出x1，y3，即p/ q，而x1，y3可得xy4，即qp，故p 是q的必要不充分条件(3)当ab时，有2a2b，即pq，当2a2b时，可得ab，即qp，故p是q的充要条件(4)法一：若ABC是直角三角形不能得出ABC为等腰三角形，即p/
5、 q；若ABC 2路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 3 为等腰三角形也不能得出ABC 为直角三角形，即q / p ，故p 是q 的既不充分也不必要条件法二：如图所示：p ，q 对应集合间无包含关系，故p 是q 的既不充分也不必要条件 一点通充分必要条件判断的常用方法：(1)定义法：分清条件和结论，利用定义判断(2)等价法：将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断(3)集合法：设A x |p (x )，B x |q (x )，若x 具有性质p ，则x A ；若x 具有性质q ，则x B . 若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；若A B ，则p 是q
6、 的充要条件；若A B 且B A ，则p 是q 的既不充分又不必要条件 1设集合A x |xx 30，集合B x |x 2|1，那么“m A ”是“m B ”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件解析：集合A x |0x 3，集合B x |1x 3，则由“m A ”得不到“m B ”，反之由“m B ”也得不到“m A ”，故选D.答案：D2对任意实数a ，b ，c 给出下列命题：“a b ”是“ac bc ”的充要条件；“a 5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；“a b ”是“a 2b 2”的充分条件；“a 其中，真命题的序号是_解析：由a b
7、 可得ac bc .但ac bc 时不一定有a b ，故为假命题；由“a 5为无理数”可得“a 为无理数”，由“a 为无理数”可得“a 5为无理数”，为真命题；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 4 由“a b ”不能得出a 2b 2，如a 1，b 2，为假命题；“由a 答案：3指出下列各组命题中p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由(1)p ：|x |y |，q ：x y ；(2)在ABC 中，p ：sin A 12，q ：A 6. 解：(1)因为|x |y |x y 或x y ，但x y |x |y |，所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件(2)因为0
8、A 时，sin A (0,1，且A (0，2时，sin A 单调递增，A 2，)时，sin A 单调递减，所以sin A 12A 6，但A 6/ sin A 12. 所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件. 充要条件的证明和求解例2 已知数列a n 的前n 项和S n p n q (p 0且p 1)，求证：数列a n 为等比数列的充要条件为q 1.思路点拨 本题可分充分性和必要性两种情况证明，即由q 1推证数列a n 为等比数列和由数列a n 满足S n p n q (p 0且p 1)为等比数列推证q 1.精解详析 (充分性)当q 1时，a 1S 1p 1；当n 2时，a
9、n S n S n 1p n 1(p1)，且n 1时也成立于是a n 1a n p n p 1p n 1p 1p (p 0且p 1)，即a n 为等比数列 (必要性)当n 1时，a 1S 1p q ；当n 2时，a n S n S n 1p n 1(p 1)因为p 0且p 1，所以当n 2时，a n 1a n p n p 1p n 1p 1p ，可知等比数列a n 的公比为p .故a 2a 1p p 1p qp ，即p 1p q ，求得q 1. 综上可知，q 1是数列a n 为等比数列的充要条件一点通充要条件的证明问题，要证明两个方面，一是充分性，二是必要性为此必须要搞清条件，在“A 是B 的
10、充要条件”中，A B 是充分性，B A 是必要性；在“A 的充要条件是B ”中，A B 是必要性，B A 是充分性 4不等式x 2ax 10的解集为R 的充要条件是_路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 5 解析：若x 2ax 10的解集为R ，则a 24答案：25等差数列a n 的首项为a ，公差为d ，其前n 项和为S n ，则数列S n 为递增数列的充要条件是_解析：由S n 1S n (n N )(n 1)a n n 12d na n n 12d (n N )dn a 0(n N )d 0且d a 0.因此数列S n 为递增数列的充要条件是d 0且d a 0.答案：d 0且d a 06求
11、证：关于x 的方程ax 2bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0. 证明：先证必要性：方程ax 2bx c 0有一个根为1，x 1满足方程ax 2bx c 0.a 12b 1c 0，即a b c 0.必要性成立再证充分性：a b c 0，c a b .代入方程ax 2bx c 0中可得： ax 2bx a b 0，即(x 1)(ax b a )0.故方程ax 2bx c 0有一个根为1.故关于x 的方程ax 2bx c 0有一个根为1的充要条件是a b c 0. 充分条件、必要条件的应用例3 已知p ：关于x 的不等式3m 2x 3m 2，q ：x (x 3)0，若p 是q 的充分
12、不必要条件，求实数m 的取值范围思路点拨 求出q 对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解精解详析 记A x |3m 2x 3m 2，B x |x (x 3)0x |0x 3，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .注意到B x |0x 3，分两种情况讨论：(1)若A ，即3m 23m 2，解得m 0，此时A B ，符合题意；(2)若A ，即3m 23m 2，解得m 0，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 6 要使A B ，应有 3m 2 0，3m 23，解得0m 3.m 0，综上可得，实数m 的取值范围是(，3)一点通将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的
13、方法，关键是准确把p ，q 用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围 7已知条件p ：x 2x 60，条件q ：mx 10(m 0)，且q 是p 的充分不必要条件，求m 的值解：解x 2x 60得x 2或x 3，令A 2，3，B 1m ， q 是p 的充分不必要条件，B A .当1m 2时，m 12；当1m 3时，m 13. 所以m 12或m 13. 8已知M x |(x a )25x 24解：由(x a )2a 1又由x 25x 24x M 是x N 的充分条件，M N ， a 13，a 18，解得2a 7.故a 的取值范围是2,7 1充分必要条件与四种命题之间
14、的对应关系；(1)若p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”及它的逆否命题都是真命题；(2)若p 是q 的必要条件，则逆命题及否命题为真命题；路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 7 (3)若p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题2涉及利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，常利用命题的等价性进行转化，从集合的包含、相等关系上来考虑制约关系 对应课时跟踪训练二 1“1x 2”是“x 2”成立的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件解析：当1x 2时，必有x 2；而x 2时，如x 0，推不出1x 2，所以“1x 2”是“x 2”的
15、充分不必要条件答案：A2函数f (x )x 2mx 1的图像关于直线x 1对称的充要条件是( )A m 2B m 2C m 1D m 1 解析：函数f (x )x 2mx 1的图像关于x 1对称m 21m 2. 答案：A3已知命题p ：“a ，b ，c 成等差数列”，命题q ：“a b c b2”，则命题p 是命题q 的( )A 必要不充分条件B 充分不必要条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析：若a b c b 2，则a c 2b ，由此可得a ，b ，c 成等差数列；当a ，b ，c 成等差数列时，可得a c 2b ，但不一定得出a b cb2，如a 1，b 0，c 1.所以命题p
16、 是命题q 的必要不充分条件，故选A.答案：A4“a 3”是“函数f (x )ax 2在区间1,2上存在零点”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析：当a 3时，f (1)f (2)(a 2)(2a 2)0，即函数f (x )ax 2在区间路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 8 1,2上存在零点；但当函数f (x )ax 2在区间1,2上存在零点；不一定是a 3，如当a 3时，函数f (x )ax 23x 2在区间1,2上存在零点所以“a 3”是“函数f (x )ax 2在区间1,2上存在零点”的充分不必要条件，故选A.答案：A5直线l ：x y
17、m 0与圆C ：(x 1)2y 22有公共点的充要条件是_解析：直线l 与圆C 有公共点|1m |22|m 1|21m 3. 答案：m 1,36在下列各项中选择一项填空：充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件(1)记集合A 1，p,2，B 2,3，则“p 3”是“A B B ”的_； (2)“a 1”是“函数f (x )|2x a |在区间12，上为增函数”的_ 解析：(1)当p 3时，A 1,2,3，此时A B B ；若A B B ，则必有p 3.因此“p 3”是“A B B ”的充要条件(2)当a 1时，f (x )|2x a |2x 1|在12，上是增函数；但由f (x
18、 )|2x a |在区间12，)上是增函数不能得到a 1，如当a 0时，函数f (x )|2x a |2x |在区间12，上是增函数因此“a 1”是“函数f (x )|2x a |在区间12，)上为增函数”的充分不必要条件 答案：(1) (2)7指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p ：ABC 中，b 2a 2c 2，q ：ABC 为钝角三角形；(2)p ：ABC 有两个角相等，q ：ABC 是正三角形；(3)若a ，b R ，p ：a 2b 20，q ：a b 0；(4)p ：ABC 中，A 30，q ：sin A
19、 12. 解：(1)ABC 中，b 2a 2c 2，cos B a 2c 2b 22ac 0， B 为钝角，即ABC 为钝角三角形，反之若ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时路漫漫其修远兮，吾将上下而求索 - 9 b 2a 2c 2.p q ，q / p ，故p 是q 的充分不必要条件(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，p / q ，q p ，故p 是q 的必要不充分条件(3)若a 2b 20，则a b 0，故p q ；若a b 0，则a 2b 20，即q p ，所以p 是q 的充要条件(4)转化为ABC 中sin A 12是A 30的什么条件 A 30sin A 12，但是sin A 12/ A 30， ABC 中sin A 12是A 30的必要不充分条件 即p 是q 的必要不充分条件8求方程ax 22x 10有两个不相等的负实根的充要条件解：当a 0时，方程为一元一次方程，其根为x 12，不符合要求； 当a 0时，方程ax 22x 10为一元二次方程，有两个不相等的负实根的充要条件为 44a 0，2a 解得0