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1、2018年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】热点八 解析几何解答题【名师精讲指南篇】【高考真题再现】1. 【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【解析】所以 ，解得 或 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方程为 .2.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（1，），P
2、4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则，得，不符合题设.从而可设l：（）.将代入得.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而.由题设，故.即.解得.当且仅当时，于是l：，即
3、，所以l过定点（2，）.3.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。(1) 求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。 【解析】（1）设，设，由得因为在C上，所以因此点P的轨迹方程为4.【2016全国卷3理】已知抛物线的焦点为,平行于轴的两条直线分别交于,两点,交的准线于,两点.（1）若在线段上,是的中点,证明；（2）若的面积是的面积的两倍,求中点的轨迹方程.【解析】(1)连接,由,及,得,所以.因为是中点,所以,所以, ,又,所以,所以（等角的余角相等）,所以.55.【2016全国卷1
4、理】设圆的圆心为,直线过点且与轴不重合,交圆于,两点,过作的平行线交于点.（1）证明为定值,并写出点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线,直线交于,两点,过且与垂直的直线与圆交于,两点,求四边形面积的取值范围.【解析】(1)如图所示,圆的圆心为,半径,因为,所以.又因为,所以,于是 ,所以.故为定值.又,点的轨迹是以,为焦点,长轴长为4的椭圆,由,得.故点的轨迹的方程为.（2）因为直线与轴不重合,故可设的方程为,过且与垂直的直线方程为. 由,得.设,则,.得.由,得.设,则,.得.四边形的面积.因为,所以,故. 即四边形面积的取值范围是.6.【2016全国卷2理】已知椭圆E:的焦点在轴上,是的左
5、顶点,斜率为的直线交于,两点,点在上,.（1）当,时,求的面积；（2）当时,求的取值范围.【解析】（1）解法一：当时,由于,根据对称性可知,所以 ,得,所以.又,所以,所以.解法二：设点,且交轴于点. 因为,且,所以, .由,得.又,所以,解之得或.所以 ,所以.（2）解法一：设直线,.则,所以.同理.因为,所以.所以.因为,所以,整理得,因为椭圆E的焦点在x轴,所以,即,整理得,解得【热点深度剖析】1.圆锥曲线的解答题新课标的要求理科一般以椭圆或抛物线为背景,而文科一般以椭圆或圆或抛物线为背景进行综合考查,由于双曲线的弱化,故以双曲线为背景的解析几何解答题不在考虑. 在2014年文科考查了圆
6、的方程,理科高考试题考查了椭圆的标准方程及简单几何性质,弦长公式,函数的最值,直线的方程,基本不等式等,考查学生的运算能力、化简能力以及数形结合的能力.从近几年高考来看,圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆,抛物线为基本依托,考查椭圆,抛物线方程的求解、考查直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这道解答题往往是试卷的压轴题之一从近几年高考来看,计算量都不是太大,说明文理难度都在降低,特别是计算量不大,但要求的逻辑思维能力,数形结合的能力与往年差不多,体现高考重能力,轻运算由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟
7、,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,预测2017年高考很有可能以椭圆,抛物线为背景,考查轨迹问题、探索性命题及最值问题,文科也有可能以圆为背景命题,也有可能继续保持题型不变,考查细节上有所变化.2.从近几年高考来看,求曲线的轨迹方程是高考的常考题型,主要以解答题的形式出现,考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线的几何性质,一般用直接法、待定系数法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程,其关键是找到与任意点有关的等量关系轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力也有一定的要求预测2018年高考仍将以求曲线的方
8、程为主要考点,考查学生的运算能力与逻辑推理能力【重点知识整合】1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点的距离之和等于定长（）的点的轨迹.注意：椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹.2直线和椭圆的位置关系（1）位置关系判断： 直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到的形式（这里的系数A一定不为0）,设其判别式为,（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切；（3）相离：直线与椭圆相离；(2弦长公式：（1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则,若分别为A、B的纵坐标,则,若弦AB所在直线方程设
9、为,则.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆左焦点弦,右焦点弦.其中最短的为通径：,最长为；（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率.3.与焦点三角形相关的结论椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,设,则在椭圆中,有以下结论：(1),且当即为短轴端点时,最大为；（2）；焦点三角形的周长为； (3),当即为
10、短轴端点时,的最大值为；4.直线和抛物线的位置关系（1）位置关系判断：直线与双曲线方程联立方程组,消掉y,得到的形式,当,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当设其判别式为,相交：直线与抛物线有两个交点；相切：直线与抛物线有一个交点；相离：直线与抛物线没有交点.注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.（2）焦点弦：若抛物线的焦点弦为AB,则有,.（3） 在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率.（4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点,反之亦成立.5.求曲线(图形)方程的方法及
11、其具体步骤如下：步 骤含 义说 明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标.建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标.(1) 所研究的问题已给出坐标系,即可直接设点.(2) 没有给出坐标系,首先要选取适当的坐标系.2、现(限)：由限制条件,列出几何等式.写出适合条件P的点M的集合P=M|P(M)这是求曲线方程的重要一步,应仔细分析题意,使写出的条件简明正确.3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式.4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式.要注意同解变形.5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.化简的过程若
12、是方程的同解变形,可以不要证明,变形过程中产生不增根或失根,应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围).注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化.【应试技巧点拨】1.直线与椭圆的位置关系在直线与椭圆的位置关系问题中,一类是直线和椭圆关系的判断,利用判别式法.另一类常与“弦”相关：“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度（弦长）”问题关键是长度（弦长）公式.在求解弦长问题中,要注意直线是否过焦点,如果过焦点,一般可采用焦半径公式求解；如果不过,就用一般方法求解.要注意利用椭圆自身的范围来确定自
13、变量的范围,涉及二次方程时一定要注意判别式的限制条件.2.如何利用抛物线的定义解题（1）求轨迹问题：主要抓住到定点的距离和到定直线距离的几何特征,并验证其满足抛物线的定义,然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；（2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件,进行有效的转化,探求最值问题.3.求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物
14、线、圆等),可用定义直接探求 (3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标之间的关系,然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程,通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法：若动点的坐标()中的分别随另一变量的变化而变化,我们可以以这个变量为参数,建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地把坐标联系起来,得到用参数表示的方程.如果消去参数,就可以得到轨迹的普通方程.注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后,再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程,一定要注意轨迹的纯
15、粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.4.解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题,关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质,注意挖掘知识的内在联系及其规律,通过对知识的重新组合,以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置,因此,要树立将直线与圆锥曲线方程联立,应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系,合理建立曲线模型,然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法,以形助数,用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的
16、双重身份对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.5.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避,选择,寻求.所谓回避,就是根据题设的几何特征,灵活运用曲线的有关定义、性质等,从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择,就是选择合适的公式,合适的参变量,合适的坐标系等,一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题,用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题,通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题,在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.6. 解析几
17、何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知与的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：；存在实数；若存在实数,等于已知三点共线；（6） 给出,等于已知是的定比分点,为定比,即；（7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角；（8）给出,等于已知是的平分线；（9）在平行四边形中,给出,等于已知是菱形;（10）在平行四边形中,给出,等于已知是矩形;（11）在中,给出,等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中,
18、给出,等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中,给出,等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中,给出等于已知通过的内心；（15）在中,给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中,给出,等于已知是中边的中线.7.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成
19、立、数式变换等寻找不受参数影响的量8解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理.【考场经验分享】判断两种标准方程的方法为比较标准形式中与的分母大小,若的分母比的分母大,则焦点在x轴上,若的分母比的分母小,则焦点在y轴上注意椭圆的范围,在设椭圆上点的坐标时,则,这往往在求与点有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误
20、的原因注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义 4直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行5在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x,y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,
21、故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.【名题精选练兵篇】1【宁夏石嘴山市2018届高三4月一模】已知椭圆： 过点，且两个焦点的坐标为， .（1）求的方程；（2）若， ， （点不与椭圆顶点重合）为上的三个不同的点， 为坐标原点，且，求所在直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值.【解析】（1）由已知得，则的方程为；（2）设代入得，设，则
22、，设，由，得，点在椭圆上，即，在中，令，则，令，则.三角形面积，当且仅当时取得等号，此时，所求三角形面积的最小值为.2【河北省武邑中学2018届高三下学期期中】设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设.（1）求抛物线的方程椭圆的方程；（2）若，求的取值范围. (2)由题意得直线的斜率存在，设其方程为，由消去整理得（*）直线与抛物线交于两点，设，则， ，由消去得. ，即 ，将代入上式得， ，在上单调递减，即， ，即的取值范围为.3【四川省绵阳市2018届高三第三次诊断】在直角坐标系中，椭圆 的左、右焦点分别为，点在椭圆上
23、且轴，直线交轴于点， ， 为椭圆的上顶点， 的面积为1.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线交椭圆于， ，且满足，求的面积.【解析】（1）设，由题意可得，即.是的中位线，且，即，整理得.又由题知， 为椭圆的上顶点，的面积，整理得，即，联立可得，变形得，解得，进而.椭圆的方程为.(2)由可得，两边平方整理得.直线斜率不存在时， ， ，不满足.直线斜率存在时，设直线的方程为， ， ，联立，消去，得， ，（*）由得.将， 代入整理得，展开得，将（*）式代入整理得，解得， ，的面积为 ，代入计算得，即的面积为.4【重庆市2017届高三4月调研测试（二诊）】已知分别为椭圆： 的左、右顶点, 为椭圆上异于两
24、点的任意一点,直线的斜率分别记为（1）求；（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点,问： 的面积是否为定值？请说明理由【解析】（）设,则；（）由题知,直线,直线,设,则,由,同理可得,故有,又,故, .5【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）】已知椭圆： （）的离心率为, 、分别是它的左、右焦点,且存在直线,使、关于的对称点恰好是圆： （, ）的一条直径的四个端点.（）求椭圆的方程；（）设直线与抛物线（）相交于、两点,射线、与椭圆分别相交于点、.试探究：是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内？若存在,求出数集；若不存在,请说明理由.【解析】（）将圆的方程配
25、方得： ,所以其圆心为,半径为2.由题设知,椭圆的焦距等于圆的直径,所以,又,所以,从而,故椭圆的方程为.注意到与同向, 与同向,所以点在以线段为直径的圆内 ,当且仅当 即时,总存在,使成立.又当时,由韦达定理知方程 的两根均为正数,故使成立的,从而满足.故存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内.6【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考】已知椭圆的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点（1）求椭圆的方程；（2）已知、是椭圆上的两点, , 是椭圆上位于直线两侧的动点.若直线的斜率为,求四边形面积的最大值；当, 运动时,满足,试问直线的斜率是否为定值,
26、请说明理由【解析】（1） 又 椭圆方程为 （2）设 , 设方程 代入化简 , 又、 当时, 最大为 当时, 、斜率之和为.设斜率为,则斜率为 设方程 代入化简 同理 , 直线的斜率为定值7【天津市十二重点中学2017届高三毕业班联考（一）】已知椭圆： 的焦点在轴上,椭圆的左顶点为,斜率为的直线交椭圆于, 两点,点在椭圆上, ,直线交轴于点.（）当点为椭圆的上顶点, 的面积为时,求椭圆的离心率；（）当, 时,求的取值范围.【解析】（）直线 的方程为直线 的方程为,令, 于是 , （）直线的方程为,联立并整理得, 解得或, 因为,整理得, 因为椭圆的焦点在轴,所以,即, 整理得,解得8【河北省唐山
27、市2016-2017学年度高三年级第二次模拟】已知的顶点,点在轴上移动, ,且的中点在轴上.（）求点的轨迹的方程；（）已知轨迹上的不同两点, 与的连线的斜率之和为2,求证：直线过定点【解析】（）设（）,因为在轴上且中点在轴上,所以,由,得,化简得,所以点的轨迹的方程为（）（）设直线的方程为, , ,由得,所以,同理,所以,化简得,又因为,所以,所以直线过定点. 9【陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）】已知直线： 与轴的交点是椭圆： 的一个焦点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于、两点,是否存在使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在,求出的值；若不存在,
28、请说明理由 () 将直线的方程代入并整理得. 设点,则假设以线段为直径的圆恰好经过坐标原点,则,即又,于是, 解得, 经检验知：此时（*）式,适合题意. 故存在,使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点10【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模】已知圆与轴交于两点,点为圆上异于的任意一点,圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于,直线和交于点,设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴正半轴交点为,则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形,若存在,求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程,若不存在,请说明理由.【解析】（）设,则处的切线为,则, ,则,则；（）由于直线不与坐标
29、轴平行或垂直,可设,则,得,由于恒成立,设两个根为,则,同理, 由知： ,得：（1）时,得得： 或（2）时,得得： 或综上,共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为： ；（2）两条直角边所在直线方程为： （3）两条直角边所在直线方程为： 11【2017届淮北市高三第二次模拟考试】已知椭圆, 是坐标原点, 分别为其左右焦点, , 是椭圆上一点, 的最大值为（）求椭圆的方程;（）若直线与椭圆交于两点,且 （i）求证： 为定值;（ii）求面积的取值范围.【解析】（1）由题意得,得椭圆方程为： （2）i)当斜率都存在且不为0时,设, 由消得, 同理得, 故 当斜率一个为0,一个不存在时,得综上得,得
30、证. ii) 当斜率都存在且不为0时, 又 所以 当斜率一个为0,一个不存在时, 综上得12【2017届湖南省长沙市高三下学期统一模拟考试】已知过的动圆恒与轴相切,设切点为是该圆的直径（）求点轨迹的方程；（）当不在y轴上时,设直线与曲线交于另一点,该曲线在处的切线与直线交于点求证: 恒为直角三角形【解析】() 设点坐标为,则点坐标为因为是直径,所以,或、均在坐标原点因此 ,而 , , 故有,即, 另一方面,设是曲线上一点,则有,中点纵坐标为,故以为直径的圆与 轴相切综上可知点轨迹的方程为 直线的斜率, 于是 因此 所以恒为直角三角形13【湖北省六校联合体2017届高三4月联考】如图,已知圆经过
31、椭圆的左右焦点,与椭圆在第一象限的交点为,且, , 三点共线.（1）求椭圆的方程；（2）设与直线（为原点）平行的直线交椭圆于两点,当的面积取取最大值时,求直线的方程.【解析】(1), , 三点共线,为圆的直径,且,.由,得, , , .,椭圆的方程为. (2)由（1）知,点的坐标为,直线的斜率为,故设直线的方程为,将方程代入消去得： , 设 , , , 又：=,点到直线的距离, ,当且仅当,即时等号成立,此时直线的方程为.14【福建省2017届高三4月单科质量检测】已知点,直线,直线垂直于点,线段的垂直平分线交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点,过且与轴不垂直的直线交于两点,直线分别交
32、于点,求证：以为直径的圆必过定点.【解析】（1）依题意得,即到直线的距离与到点的距离相等,所以点的轨迹是以为焦点, 为准线的抛物线.设抛物线方程为,则,即点的轨迹的方程是.（2）由题意可设直线,代入,得,设,则；又,设直线的斜率分别为,则,设,令,得,同理,得,从而；.又以为直径的圆的方程为： ,即,即,令,解得或,从而以为直径的圆恒过定点和.15【安徽省合肥市2017届高三第二次教学质量检测】如图,抛物线： 与圆： 相交于, 两点,且点的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于, 两点,分别以, 为切点作抛物线的切线, , 与相交于点.（）求的值；（）求动点的轨迹方程.【解析】（）由点的横
33、坐标为,可得点的坐标为,代入,解得16【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】已知、分别是椭圆的左、右焦点（1）若是第一象限内该椭圆上的一点,求点的坐标；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角（其中为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围【解析】（1）因为椭圆方程为,知,设,则,又,联立,解得,（2）显然不满足题意,可设的方程为,设,联立,且,又为锐角,又,.【名师原创测试篇】1已知圆： 及点,为圆上一动点,在同一坐标平面内的动点满足： （）求动点的轨迹 的方程； （）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点,且为锐角（其中为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围（）设是它的两个顶
34、点,直线与相交于点,与椭圆相交于两点求四边形面积的最大值【解析】（）又已知,圆,则半径为4,由,则 三点共线,且,则 ,故动点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆,且,所以,动点的轨迹方程为.（）显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得： ,由得：,又 ,又,即 ,故由、得或.（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知,点到的距离分别为, 又,所以四边形的面积为=, 当,即当时,上式取等号所以的最大值为解法二：由题设,设,由得, 故四边形的面积为,当时,上式取等号所以的最大值为2. 已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点为,直线与抛物线相交于两点,且线段的中点为（I）求抛物线的和直线的方程；（II
35、）若过且互相垂直的直线分别与抛物线交于求四边形面积的最小值【解析】（I）依题意可设抛物线的方程为：由焦点为可知,所以所以所求的抛物线方程为设直线的方程为,与联立消去,得由韦达定理可得,又的中点为直线的方程为（II）设直线的方程为,与联立消去,整理得由弦长公式得,同理可得,所以四边形面积当且仅当,即时,四边形面积取最小值3. 已知椭圆:,经过点且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)不经过原点的直线与椭圆交于不同的两点,若直线的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.【解析】(1)因为椭圆的离心率为,所以,又因为椭圆经过点,所以,则,故椭圆的方程为；(2)联立直线与椭圆方程可得消去得: ,则, ,故,因
36、为直线的斜率依次成等比数列,所以 ,由于故.4. 椭圆（）过点,且离心率（）求椭圆的标准方程；（）设动直线与椭圆相切于点且交直线于点,求椭圆的两焦点、到切线的距离之积；（）在（II）的条件下,求证：以为直径的圆恒过点【解析】（I）由题意得,解得：,椭圆的标准方程为；（II）由,消去,得：, 即,动直线与椭圆相切于点,即,焦点 到直线的距离分别为 ,5. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 是圆 O：与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A右侧）,点 Q(-2,0), x 轴上方的动点 P 使直线 PA,PQ,PB 的斜率存在且依次成等差数列(I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；（II）
37、设直线 PA,PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S,T,求证：点 Q,S,T 三点共线【解析】（I）由题设知, A(-1,0) ,B(1,0) 设,则因为成等差数列,所以,即所以,故动点 P 的横坐标为定值；（II）由（I）知直线 PA 的方程为 ,代入得,于是点 S 的横坐标从而,同理可得因为,所以直线 QS 和直线 QT 的斜率相等,故点 S,T,Q 共线6. 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点在抛物线的准线上,且椭圆过点,直线与椭圆交于两个不同点.（）求椭圆C的方程；（）若直线的斜率为,且不过点,设直线,的斜率分别为,求证：为定值；（）若直线过点,为椭圆的另一个焦点,求面积的最大值【解析】（）抛物线的准线方程为,由题意知.故设椭圆的方程为.则由题意可得,解得.-故椭圆的方程为. （）证明直线的斜率为,且不过点,可设直线. 联立方程组,消得. 又设,故有,所以 ,所以为定值0. （）由（）知,.设,过点的直线方程为.由,消得,所以,. 故,所以 所以的面积 因为,而函数在区间上单调递增,所以,故.所以当,即时,的面积取得最大值3.