《2021届高考压轴题系列之 解析几何中的定值问题(文) 学生版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021届高考压轴题系列之 解析几何中的定值问题(文) 学生版.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2021届高考压轴题系列之 解析几何中的定值问题(文) 学生版例1如图，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=的左焦点为(1,0)F-，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且3AB=（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且直线AM，AN的倾斜角互补，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）22:143x yC+=；（2）直线MN的斜率为定值，其值为12-【解析】（1）由题意可知1c=，令x c=-，代入椭圆可得2bya=，所以223ba=，又221a b-=，两式联立解得24a=，23b=，椭圆C的标准方程为22
2、143x y+=（2）由（1）可知，(1,0)F-，代入椭圆可得32y=，所以3(1,)2A-，因为直线AM，AN的倾斜角互补，所以直线AM的斜率与AN的斜率互为相反数，可设直线AM方程为3(1)2y k x=+，代入22143x y+=，得222(34)4(32)41230k x k k x k k+-=，设(,)M MM x y，(,)N NN x y，因为点3(1,)2A-在椭圆上，所以224123134Mk kxk+-?=+，22412334Mk kxk+-=-+，32M My kx k=+，精选压轴题解析几何中的定值问题压轴题系列又直线AM 的斜率与AN 的斜率互为相反数，在上式中以
3、k -代替k ， 可得22412334N k k x k -=-+，32N N y kx k =-+， 所以直线MN 的斜率()212M N M N MN M N M N y y k x x k k x x x x -+=-， 即直线MN 的斜率为定值，其值为12- 例2已知抛物线2:(0)C y ax a =上一点1(,)2P t 到焦点的距离为2t （1）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点A 的纵坐标为1，过点(3,1)Q -的直线与抛物线交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ?为定值【答案】（1）2y x =；（
4、2）证明见解析【解析】（1）在抛物线的定义可知24a PF t t =+=，则4a t =， 由点1(,)2P t 在抛物线上，则14at =，144a a ?=，则21a =， 由0a ，则1a =，抛物线的方程2y x =（2）A 点在抛物线上，且1A y =，1A x =，(1,1)A ，设过点(3,1)Q -的直线的方程为3(1)x m y -=+，即3x my m =+，代入2y x =，得230y my m -=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12y y m +=，123y y m =-，所以121212122212121211()1111(2)()(2)2y
5、 y y y y y k k x x m y y m m y y m -+?=?=-+1已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=的左右焦点分别为1F ，2F ，离心率为63，圆模拟精做22:20x y Dx +-=过椭圆C 的三个顶点，过点2F 且斜率不为0的直线与椭圆交于P ，Q 两点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：在x 轴上存在定点A ，使得2AP AP PQ +?u u u r u u u r u u u r 为定值；并求出该定点的坐标 2已知抛物线2:(0)C y mx m =过点(1,2)-，P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点A ， B （l
6、 不过P 点），且PAB 的重心的纵坐标为23- （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线PA ，PB 的斜率为1k ，2k ，试求证：12k k +为定值 1【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析，定点7(,0)3A 【解析】（1）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点， 令0x =，解得2y =，故2b =， 又63c e a =，63c a =，222226(2)()3a b c a =+=+，解得26a = 椭圆的标准方程为22162x y += （2）证明：由题意设直线的方程为(2)y k x =-，由22162(2)x y y k x ?+=?=-
7、?，消去y 整理得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 假设x 轴上的定点为(,0)A m ，则21122()(,)(,)AP AP PQ AP AP x m y x m y PQ AP PQ =-?+?=?+=?-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222222212122(31210)(6)(1)(2)()(4)13m m k m k x x
8、 k m x x k m k -+-=+-+=+， 要使其为定值，需满足22312103(6)m m m -+=-，解得73m = 故定点A 的坐标为7(,0)32【答案】（1）24y x =，(1,0)；（2）证明见解析【解析】（1）将(1,2)-代入2y mx =，得4m =， 故抛物线C 的方程为24y x =，其焦点坐标为(1,0) （2）直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =，得222(2)0x b x b -+=， 由题意得16(1)0b =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，答案与解析则122(2)x x b +=+，212x x b =，1212()22(2)24y y x x b b b +=-+=-+=-，因为PAB 的重心的纵坐标为23-，所以122P y y y +=-，所以2P y =，所以1P x =， 所以12122212122222(2)(1)(2)(1)11(1)(1)y y y x y x k k x x x x -+=+=-， 又12211221(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)y x y x x b x x b x -+-=-+-+-+- 212122(1)()2(2)22(1)(2)2(2)0x x b x x b b b b b =-+-+-=-+-+-= 所以120k k +=