《湖南省师大附中2019届高三数学月考试题七理201903233.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省师大附中2019届高三数学月考试题七理201903233.docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、湖南师大附中 2019 届高三月考试卷 ( 七)数学( 理科 )时量： 120 分钟满分： 150 分一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的10i1已知复数 z a3 i (a R) ，若 z 为纯虚数，则 |a 2i| (B)A 5 B. 5 C 2 D.3【解析】因为 z a i(3 i) a 1 3i 为纯虚数，则 a 1，所以 |a 2i|a2 45，选 B.2下列说法错误的是 (B)A在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定B若变量 x， y 满足关系 y 0.1x 1，且变量 y 与 z 正相关，则
2、 x 与 z 也正相关C在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D以模型 ycekx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z ln y ，将其变换后得到线性方程 z0.3x 4，则 ce4，k 0.3【解析】对于 A，在回归模型中，预报变量 y 的值由解释变量 x 和随机误差 e 共同确定，即 x 只能解释部分 y 的变化，所以 A 正确；对于 B，由回归方程知变量 y 与 z 正相关，则 x 与 z 负相关，所以 B 错误；对于 C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，C正确；由回归分析的意义知D正确故选B.ex 13函数 f(x
3、) x（ 1 ex） ( 其中 e 为自然对数的底数) 的图象大致为 (A)【解析】当x0 时， ex1，则 f(x)0；当 x0 时， ex1，则 f(x)0；x 33(x， y4(x， y)22P ：) D， x y0 ， b0) 的右焦点为 F，直线 l为双曲线 C的一条渐近线，点 F 关于直线 l 的对称点为 P，若点 P 在双曲线 C的左支上， 则双曲线 C 的离心率为 _5_4 / 11【解析】如 ， 直 l 与 段 PF 的交点 A，因 点 P 与 F 关于直 l 称， l PF，且 A 为 PF的中点，所以 |AF| b， |OA| a， |PF| 2|AF| 2b. 双曲 的
4、左焦点 E，因 O为 EF 的中点， |PE| 2|AO| 2a，据双曲 定 ，有 |PF| |PE| 2a， 2b 2a 2a，即 b 2a.b 2所以 e1 a 5.15 于大于或等于2 的自然数 m的 n 次 行如 的方式“分裂” 仿此，若 m3 的“分裂”中最小的数是 211， m的 _15_ 【解析】 22 1 3，233 5，24 7 9，32 1 3 5，337 9 11，34 25 27 29.不 得出 律， 2n 可以表示 两个 奇数之和；3n 可以表示 三个 奇数之和；5n 可以表示 五个 奇数之和；m3 的可以表示 m个 奇数之和， 即 211 213 211 2(m 1
5、) m3， m3 m2 210m 0，因 m0，所以 m15.x3 ea 恒成立， a 的最大 是16 a 整数，若 任意的x(0 ， ) ，不等式 ex_1_ex 3， f (x) ex( x 1) 3【解析】令 f(x) x(x0)x.令 g(x) ex( x 1) 3(x0) ， g(x) xex 0，所以 g(x) 在 (0 ， ) 上 增因 g(1) 30， g(x) 在 (1 ， 2) 内只有一个零点t3设 g(t) 0， e t 1. 当 x(0 ， t) ， g(x) 0，从而 f (x)0 ， f(x) 增，所以 f(x)et 33mint t 1et .由 意知 ea et
6、 ，即 at. 因 t (1 ， 2) ， a 整数，所以 a 的最大 1.三、解答 ：共70 分解答 写出文字 明、 明 程或演算步 第17 21 必考 ，每个 考生都必 作答第22、 23 考 ，考生根据要求作答( 一 ) 必考 ：共60 分17 ( 本小 分12 分 )在 ABC 中，角 A， B， C 的 分 a， b， c， 足 acos B bcos A 2ccos C.(1) 求角 C的大小；(2) 若 ABC的周 3，求 ABC的内切 面 S 的最大 5 / 11【解析】 (1) 由已知， sin Acos B sin Bcos A 2sin Ccos C ， (2 分 ) 1
7、即 sin(A B) 2sin Ccos C ，因为 sin(A B) sin C0 ，则 cos C 2， (4 分 )又 C(0 ， ) ，所以 C 3 .(5分 )113(2) 设 ABC的内切圆半径为R，则 2absin 3 23R，则 R 6 ab， (6 分 )由余弦定理，得因为 ab2若 ab3，则222， (8 分)abab (3 a b) ，化简得 3 ab 2(a b)ab，则3ab4 ab，解得ab3或 ab1， (10分)a， b 至少有一个不小于3，这与 ABC 的周长为3 矛盾； (11 分 )3若 ab1，则当 a b 1 c 时， R 取最大值 6 .3 2所以
8、 ABC 的内切圆面积的最大值为Smax 612.(12分 )18 ( 本小题满分12 分 )如图，四边形 ABCD是边长为 2 的菱形，且 ABC60， BM平面 ABCD，BM DN，BM2DN，点 E 是线段 MN上任意一点(1) 证明：平面 EAC平面 BMND；2(2) 若 AEC的最大值是3 ，求三棱锥 M NAC的体积【解析】 (1) 因为 BM平面 ABCD，则 AC BM.(2 分 )又四边形 ABCD是菱形，则 ACBD，所以 AC平面 BMND. (4 分 )因为 AC在平面 EAC内，所以平面EAC平面 BMND.(5分 )(2) 设 AC与 BD的交点为 O，连结EO
9、. 因为 AC平面 BMND，则 ACOE，又 O为 AC的中222AE AC2点，则 AE CE，所以 cos AEC 2AE2 1AE2， AEC (0， ) 22 3当 AE最短时 AEC 最大，此时 AEMN， CE MN， AEC， AE.(7 分 )33取 MN的中点 H，分别以直线OA，OB，OH为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，设ND a，则点 A(1 ，0， 0) ， N(0，3， a) ，M(0，3，2a) ， AN ( 1，3， a) ，AM ( 1，3， 2a) 6 / 11设平面 AMN的法向量n1 (x ， y，z) ， 2az0，n1 AM x 3
10、y则 az0，n1 AN x 3y取 z 1，则 n1 3a， 3a， 1 ，26同理求得平面CMN的法向量n23a3a1. 2 ， 6 ，2因为 AEC是二面角 AMN C 的平面角，则39a23a2 4 36 11156|cos AEC|9a23a2 2，解得 a 10 或 a 2( 舍去 ) (10 分 )4 36 12239 152 3122 1 433因为 MN a BD2012 10，AE 3，S EAC 2AE sin3 2 3 2 3 ，135则 VM NAC VM EAC VNEAC 3S EAC MN 10 .(12 分 )19 ( 本小题满分12 分 )在湖南师大附中的校
11、园歌手大赛决赛中，有6 位参赛选手 (1 号至 6 号 ) 登台演出，由现场的 100 位同学投票选出最受欢迎的歌手，各位同学须彼此独立地在投票器上选出3 位候选人，其中甲同学是1 号选手的同班同学，必选1 号，另在2 号至 6 号选手中随机选2 名；乙同学不欣赏2 号选手，必不选2 号，在其他5 位选手中随机选出3 名；丙同学对6 位选手的演唱没有偏爱，因此在1 号至 6 号选手中随机选出3 名(1) 求同学甲选中 3 号且同学乙未选中 3 号选手的概率；(2) 设 3 号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求 X 的分布列和数学期望【解析】 设 A 表示事件“甲同学选中3 号选手”，
12、 B 表示事件“乙同学选中3 号选手”，C 表示事件“丙同学选中3 号选手”，则1223C4C4分 )(1)P(A) 2 ， P(B) 3 ， (2C5C555234分 )所以 P(AB) P(A)P(B) 1 .(5552521C5(2)P(C) 3 ， (6 分)C26X 可能的取值为0， 1， 2， 3， 2313 2 1 3P(X 0) P(ABC) 1 5 1 5 1 2 5 5 225，7 / 11 P(A2 213 313 2 1 19P(X 1) P(A B C) P(A BC)B C) ，5525525525023122133119P(X 2) P(A B C) P(AB C
13、) P(A B C) ，552552552502313P(X 3) P(A B C) 5 5225.(10分 )所以 X 的分布列为：X0123P319193255050253191933X 的数学期望 E(X) 0 251502 503 25 2.(12分)20 ( 本小题满分12 分 )已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x 轴上， D(0，2) 为椭圆 C 短轴的一个端点， F 为椭圆 C 的右焦点，线段 DF 的延长线与椭圆 C 相交于点 E，且 |DF| 3|EF|.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 设直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点， O为坐标原点，若直线OA与 O
14、B的斜率之积为3 2，求 OA OB的取值范围x2y2【解析】 (1) 设椭圆 C 的方程为 a2 b2 1(ab0) ，右焦点 F(c ， 0) (1 分 )4c2因为 D(0 ，2) 为椭圆短轴的一个端点，则b 2.因为 |DF| 3|EF|，则点 E 3 ，3 .(3分 )16c 2122因为点 E 在椭圆上，则9a2 91，即 a2c .(4 分 )22222x2y2又 c a 4，则 a 2(a4) ，得 a 8，所以椭圆C的标准方程是8 4 1. (5分 )(2) 解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l 的方程为 y kx m，代入椭圆方程，得22 8，即(2k222x 2(kx
15、m)1)x 4kmx 2m 8 0.4km22m 8设点 A(x 1，y1) ， B(x 2， y2) ，则 x1 x2 2k2 1， x1x22k2 1. (6分 )3y1y231 m)(kx 2 m) 0，因为 kOAkOB ，则 ，即 3x1x2 2y1y20，即 3x1x22(kx2x1x222222222m 88k m2即 (2k 3)x 1 x22km(x 1 x2) 2m 0，所以 (2k3) 2k2 12k2 1 2m 0，即 (2k2 3)(m 2 4) 4k2m2m2(2k2 1) 0，化简得 m2 2k2 3.(7分 ) 1m2 42k2 12所以 OA OB x1x2 y1y2 2x1x2 2k2 1 2k2 1 2k2 1 1.(8 分 )因为22222222 0，则 00，k22k 12，所以 1OA OB1.(9分 )8 / 11