—高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析).docx

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1、高考全国卷文科数学立体几何专题复习(附详细解析)2012-2021年新课标全国卷文科数学汇编立体几何一、选择题【2021，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） 【2021，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）A 17B 18C 20D 28【2021，11】平面过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，平面11CB D ，平面ABCD m =，平面11ABB A n =，则,m n 所

2、成角的正弦值为（）A B C D 13【2021，6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委M 依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为M 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放M （如图，M 堆为一个圆锥的四分之一），M 堆底部的弧长为8尺，M 堆的高为5尺，M 堆的体积和堆放的M 各位多少？”已知1斛M 的体积约为162立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的M 有( ) A 14斛 B 22斛 C 36斛 D 66斛【2021，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，

3、则r =( ) B A 1 B 2 C 4 D 8 【2021，11】【2014，8】【2013，11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A 168B 88C 1616D 816【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A 6B 9C 12D 15【2012，8】平面截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面，则此球的体积为（）A B C D

4、 【2021，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的表面积为A. 12B. 12C. 8D. 10【2021，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A. 2B.C. 3D.2 【2021，10】在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30，则该长方体的体积为A. 8B. 6C. 8D.8 二、

5、填空题【2021，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面SCA SCB平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为_ 【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH HB 12，AB 平面，H 为垂足，截球O 所得截面的面积为，则球O 的表面积为_ 三、解答题【2021，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，且90BAP CDP =?（1）证明：平面PAB 平面PAD ；（2）若PA PD AB DC =，90APD =?，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧

6、面积 【2021，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E 连结PE 并延长交AB 于点G （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积PABD CGE 【2021，18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE 平面ABCD ，()证明：平面AEC 平面BED ； ()若ABC =120，AE EC ，三棱锥E - ACD的体积为3 【2014,19】如图，三棱柱111C B A

7、ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且AO 平面C C BB 11.（1）证明：;1AB C B （2）若1AB AC ,1,601=BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. 【2013，19】如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160(1)证明：ABA1C；(2)若ABCB2，A1C，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【2012，19】如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB =?，AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1平面BDC ； （2）平面BDC 1分此

8、棱柱为两部分，求这两部分体积的比 【2021，18】如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以AC 为折痕将ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA 。 （1） 证明：平面ACD 平面ABC ；（2） Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=DA ，求三棱锥Q-ABP 的体积。 解读一、选择题【2021，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（） 【解法】选A 由B ，AB MQ ，则直线AB 平面MNQ ；由C ，AB MQ ，则

9、直线AB 平面MNQ ；由D ，AB NQ ，则直线AB 平面MNQ 故A 不满足，选A 【2021，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）A 1A 17B 18C 20D 28 解读：选A 由三视图可知，该几何体是一个球截去球的18，设球的半径为R ，则37428833R ?=，解得2R =该几何体的表面积等于球的表面积的78，加上3个截面的面积，每个截面是圆面的14， 所以该几何体的表面积为2271423284S =?+?14317=+=故选A 【2021，11】平面过正方体1111ABCD A B C D

10、-的顶点A ，平面11CB D ，平面ABCD m =，平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（）A2 B2 C3 D 13解读：选A 解法一：将图形延伸出去，构造一个正方体，如图所示通过寻找线线平行构造出平面，即平面AEF ，即研究AE 与AF 所成角的正弦值，易知3EAF =故选A ABCDA 1B 1C 1D 1EF 解法二（原理同解法一）：过平面外一点A 作平面，并使平面11CB D ，不妨将点A 变换成B ，作使之满足同等条件，在这样的情况下容易得到，即为平面1A BD ，如图所示，即研究1A B 与BD 所成角的正弦值，易知13A BD =，所以其正弦值为2故选A

11、 D 1C 1B 1A 1DCBA 【2021，6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委M 依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为M 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放M （如图，M 堆为一个圆锥的四分之一），M 堆底部的弧长为8尺，M 堆的高为5尺，M 堆的体积和堆放的M 各位多少？”已知1斛M 的体积约为162立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的M 有( ) BA 14斛B 22斛C 36斛D 66斛解：设圆锥底面半径为r ，依题11623843r r ?=?=，所以M 堆的体积为211163203()54339?=，故堆放的M 约为320916222，故选B

12、 【2021，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20，则r =( ) B A 1 B 2 C 4 D 8解：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为2r 2+r2r+r 2+2r2r =5r 2+4r 2=16+20， 解得r=2，故选B 【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 一个几何体的三视图，则这个几何体是( )BA 三棱锥B 三棱柱C 四棱锥D 四棱柱 解：几何体是一个横放着的三棱柱 故选B【2013，11】某

13、几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A 168B 88C 1616D 816 解读：选A 该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体 V 半圆柱122248，V 长方体42216所以所求体积为168故选A 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A 6B 9C 12D 15【解读】由三视图可知，该几何体为三棱锥A-BCD ，底面BCD 为 底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD 底面BCD ，AO 底面BCD ，因此此几何体的体积为11(63)3932V =?=，故选择B 【2012，8】8平面截球O 的球面所

14、得圆的半径为1，球心O 到平面的A B C D 【解读】如图所示，由已知11O A =，1OO = 在1Rt OO A ?中，球的半径R OA = 所以此球的体积343V R =，故选择B 【点评】本题主要考察球面的性质及球的体积的计算【2011，8】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（） 【解读】由几何体的正视图和侧视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形 故选D 【2021，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，该圆柱的表

15、面积为B【2021，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为BA. 2B.C. 3D.2 【2021，10】在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30，则该长方体的体积为CA. 8B. 6C. 8D.8 二、填空题【2021，16】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径若平面SCA SCB平面，SA AC =，SB BC =，三棱锥S AB

16、C -的体积为9，则球O 的表面积为_ 【解读】取SC 的中点O ，连接,OA OB ，因为,SA AC SB BC =，所以,OA SC OB SC ， 因为平面SAC 平面S B C ，所以OA 平面S B C ，设O A r=，3111123323A SBCSBC V S OA r r r r -?=?=?=，所以31933r r =?=， 所以球的表面积为2436r =【2013，15】已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH HB 12，AB 平面，H 为垂足，截球O 所得截面的面积为，则球O 的表面积为_答案：92解读：如图， 设球O 的半径为R ，则AH 23R ，OH 3R又E

17、H 2，EH 1在Rt OEH 中，R 222+13R ? ?，R 298S 球4R 292 【2011，16】已知两个圆锥由公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 【解读】设圆锥底面半径为r ，球的半径为R ，则由223416r R =?，知2234r R =根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O ，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB QB 设PO x =，QO y =，则2x y R += 又PO B BO Q ，知22r O B xy = 即2234xy

18、r R = 由及x y 可得3,22R x R y =则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为13 故答案为13三、解答题【2021，18】如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ，且90BAP CDP =?（1）证明：平面PAB 平面PAD ；（2）若PA PD AB DC =，90APD =?，且四棱锥P ABCD -的体积为83，求该四棱锥的侧面积 【解法】（1）90BAP CDP =?，,AB AP CD DP 又AB CD AB DP 又AP ?平面PAD ，DP ?平面PAD ，且APDP P =AB 平面PADAB ?平面PAB ，所以平面PAB 平面PAD（2

19、）由题意：设=PA PD AB DC a =，因为90APD =?，所以PAD ?为等腰直角三角形即AD取AD 中点E ，连接PE ，则PE =，PE AD 又因为平面PAB 平面PAD 所以PE 平面ABCD因为AB 平面PAD ，AB CD 所以AB AD ，CD AD 又=AB DC a =所以四边形ABCD 为矩形所以31121823333P ABCD V AB ADPE a aa a -=即2a = 11=223+22S ?侧 【2021，18】如图所示，已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为

20、点E 连结PE 并延长交AB 于点G （1）求证：G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积PABD CGE 解读：（1）由题意可得ABC 为正三角形，故6PA PB PC = 因为P 在平面ABC 内的正投影为点D ，故PD 平面ABC 又AB ?平面ABC ，所以AB PD 因为D 在平面PAB 内的正投影为点E ，故DE 平面PAB 又AB ?平面PAB ，所以AB DE 因为AB PD ，AB DE ，PD DE D =，,PD DE ?平面PDG ， 所以AB 平面PDG 又PG ?平面PDG ，所以AB P

21、G 因为PA PB =，所以G 是AB 的中点（2）过E 作EF BP 交PA 于F ，则F 即为所要寻找的正投影E GCD BAP F 理由如下，因为PB PA ，PB EF ，故EF PA 同理EF PC ， 又PA PC P =，,PA PC ?平面PAC ，所以EF 平面PAC ， 故F 即为点E 在平面PAC 内的正投影 所以13D PEF PEF V S DE -=?16PF EF DE =? 在PDG 中，PG =DG =，PD =2DE =由勾股定理知PE =PEF 为等腰直角三角形知2PFEF =，故43D PEF V -= 【2021，18】如图四边形ABCD 为菱形，G

22、为AC 与BD 交点，BE 平面ABCD ，()证明：平面AEC 平面BED ； ()若ABC =120，AE EC ，三棱锥E - ACD的体积为3解：() BE 平面ABCD ，BE AC ABCD 为菱形，BD AC ，AC 平面BED ，又AC ?平面AEC ，平面AEC 平面BED 6分 ()设AB=x ，在菱形ABCD 中，由ABC =120可得，AG=GC=2x ，GB=GD=2x 在RtAEC 中，可得EG=2x 在RtEBG 为直角三角形，可得BE=2x 9分31132E ACD V AC GD BE x -=?=，解得x =2 由BA=BD=BC 可得 AEC 的面积为3，

23、EAD 的面积与ECD 所以三棱锥E-ACD的侧面积为 12分18 解读（1）因为BE 平面ABCD ，所以BE AC 又ABCD 为菱形，所以AC BD 又因为BD BE B =，BD ，BE ?平面BED ，所以AC 平面BED 又AC ?平面AEC ，所以平面AEC 平面BED （2）在菱形ABCD 中，取2AB BC CD AD x =，又120ABC =，所以AG GC =，BG GD x =在AEC 中，90AEC =，所以12EG AC =，所以在Rt EBG 中，BE =，所以31122sin12023233E ACD V x x x x -=?=，解得1x = 在Rt EBA

24、 ，Rt EBC ，Rt EBD 中，可得AE EC ED = 所以三棱锥的侧面积1122322S =?=+侧【2014,19】如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且AO 平面C C BB 11. （1）证明：;1AB C B （2）若1AB AC ,1,601=BC CBB 求三棱柱111C B A ABC -的高. 证明：()连接 BC1，则O 为B 1C 与BC 1的交点，AO 平面BB 1C 1C . AO B 1C ， 2分 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，BC 1B 1C ，4分 BC 1平面ABC 1，AB ?平面A

25、BC 1， 故B 1C AB .6分()作OD BC ，垂足为D ，连结AD ，AO BC ，BC 平面AOD ， 又BC ?平面ABC ，平面ABC 平面AOD ，交线为AD ， 作OH AD ，垂足为H ，OH 平面ABC . 9分CBB 1=60，所以CBB 1为等边三角形，又BC =1，可得OD由于AC AB 1，11122OA B C =，AD =由OHAD=ODOA ，可得OH=14，又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为7，所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7。 12分另解(等体积法)：CBB 1=60，所以CBB 1为等边三角形，又BC =1，可

26、得BO AC AB 1，1112OA B C =，AB =1，9分则等腰三角形ABC 的面积为1228?=，设点B 1到平面ABC 的距离为d ，由V B 1-ABC =V A-BB 1C 得1,8427d d =?=解得，所以三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高高为7。12分 【2013，19】如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CA CB ，AB AA 1，BAA 160(1)证明：AB A 1C ；(2)若AB CB 2，A 1C ，求三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积 证明：(1)取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B 因为CA CB ，所以OC AB 由于AB

27、AA 1，BAA 160， 故AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1AB 因为OC OA 1O ，所以AB 平面OA 1C 又A 1C ?平面OA 1C ，故AB A 1C (2)解：由题设知ABC 与AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC OA 1又A 1C ，则A 1C 2OC 221OA ，故OA 1OC 因为OC AB O ，所以OA 平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC A 1B 1C 1的高又ABC 的面积S ABC ABC A 1B 1C 1的体积V S ABC OA 13【2012，19】如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，90ACB =?，AC=

28、BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点（1）证明：平面BDC 1平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 【解读】（1）在Rt DAC ?中，AD AC =， 得：45ADC ?=，同理：1114590A DC CDC ?=?=，得：1DC DC 由题设知BC CC 1，BC AC ，1CC AC C =，所以BC 平面11ACC A 又1DC ?平面11ACC A ，所以1DC BC 而DCBC C =，所以1DC 平面BDC 又1DC ?平面1BDC ，故平面BDC 1平面BDC （2）由已知AC=BC=21AA 1，D 是棱AA 1的中点， 设12AA

29、a =，AC BC AD a =，则11123122ABC A B C V a a a -=?= 由（1），BC 平面11ACC A ，所以BC 为四棱锥1B ACC D -的高，所以13111(3)322B ACCD V a a a a -=?= 因此平面BDC 1分此棱柱为两部分体积的比为11111333112112ABC A B C B ACC DB ACC Da a V V V a -= 【2011，18】如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB =，2AB AD =，PD 底面ABCD （1）证明：PA BD ；（2）若1PD AD =，求棱锥D P

30、BC -的高【解读】（1）因为60DBA =，2AB AD =，由余弦定理得3BD =， 从而222BD AD AB +=，故BD AD ，又PD 底面ABCD ，可得BD PD 所以BD 平面PAD ，故PA BD （2）如图所示，作DE PB ，垂足为E 已知PD 底面ABCD ，则PD BC 由（1）知BD AD ，又BC AD ，所以BC BD 故BC 平面PBD ，BC DE ，则DE 平面PBC A 1因为1AD =，2AB =，60DAB =，所以BD =，又1PD =，所以2PB =根据DE PB PD BD ?=?，得2DE =，即棱锥D PBC -的高为2 【2021，18

31、】如图，在平行四边形ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以AC 为折痕将ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA 。 （3） 证明：平面ACD 平面ABC ；（4） Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP=DQ=DA ，求三棱锥Q-ABP 的体积。18解：（1）由已知可得，BAC =90，BA AC 又BA AD ，所以AB 平面ACD 又AB ?平面ABC ， 所以平面ACD 平面ABC （2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =又23BP DQ DA =，所以BP = 作QE AC ，垂足为E ，则QE=13DC 由已知及（1）可得DC 平面ABC ，所以QE 平面ABC ，QE =1 因此，三棱锥Q ABP -的体积为11113451332Q ABP ABP V QE S -=?=?=