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1、本章主要内容 1. 排列及逆序; n阶行列式的定义、性质和计算； 3. 克莱姆法则。 学习重点： 行列式的性质和计算。,第1章 n阶行列式,1.1 排列的逆序数与对换,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同元素的所有排列的种数，通常用 表示.,易知,1.1.1 全排列及其逆序数,对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序, 于是在这些元素的任一排列中，某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。,于是在一个排列 中，若数 则这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514,定义,定义逆序,一般地，n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次
2、序.,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,如何计算排列逆序数？,问题,例如 排列32514 的逆序数是多少？,于是全体元素的逆序数之和就是,分别计算出排列中每个元素前面比它大的 数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序 数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列 的逆序数.,逆序数计算方法,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,3,1,故此排列的逆序数为0+1+0+3+1=5.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,例 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,1.1.2 排列的对换及其性
3、质,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,对换与排列的奇偶性的关系,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,首先考虑相邻对换的情况。,当 时，,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性.,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,