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1、第二章 有限元法的基本原理,第一节 弹性力学有关知识,第二节 平面问题有限元法, 平面问题有限元法,数值计算方法,近似解,差分法、变分法,微分方程边值问题,离散、分片插值,单元、节点,非均匀网格 简化插值函数,Review,单元通过节点连接,第一节 弹性力学有关知识,载荷 (load) 应力 (Stress) 应变 (Strain) 位移 (Displacement),一、弹性力学中的物理量,Pv=pvx pvy pvzT,Pc= pcx pcy pczT,Ps= psx psy pszT,外界作用在弹性体上的力，又称为外力,载 荷,应 力,=x y z xy yz zx T,6个应力分量,应
2、 变,=x y z xy yz zx T,6个应变分量,Displacement,x axis: u y axis: v z axis: w,d=u v wT,位 移,变 形(deform,deformation),Pv=pvx pvy pvzT,Pc= pcx pcy pczT,Ps= psx psy pszT,=x y z xy yz zx T,=x y z xy yz zx T,d=u v wT,平衡方程 几何方程 物理方程,二、弹性力学的基本方程,Relationship among load, stress, strain and displacement,1、平衡方程,应力 载荷,
3、2、几何方程,应变 位移,3、物 理 方 程,应变 应力,平衡方程：3 几何方程：6 物理方程：6,15,15,=,Stress：6 Strain： 6 Disp. ： 3,基本未知量,stresses 力法 Displacements 位移法 stress, displacements 混合法,三、虚位移原理,Learn by yourself,definition of plane problem,3D,四、平面问题定义,plane stress,一个方向的尺寸远小于其他两个方向的尺寸； 载荷平行于平板平面内并沿厚度方向均匀分布,plane strain,一个方向的尺寸远大于其他两个方向的
4、尺寸； 载荷平行于截面并沿长度方向均匀分布,3D model,Much easier,位 移,载 荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,Procedure of Static Analysis of Plane Stress Problem,第二节 平面问题有限元法,平面应力问题的线性静力分析,static load linear stress, deformation,一、结构离散,Procedure of Static Analysis,单元编号（element label） 节点编号（node label）,(ui, vi) (uj, vj) (um, vm),Element l
5、abel Node label Node location,Disp. Components:,已知,未知,(ui, vi) 、(uj, vj) 、(um, vm),二、单元分析 (Element Analysis),目的：形成单元位移、应变、应力表达式 形成每个单元的刚度矩阵,1、位移函数 (displacement function),位移插值函数,单元内的位移插值表达式,分片插值,节点位移，单元内任一点的位移,Ni、 Nj 、 Nm,形函数物理意义,性 质,1.,2.,3.,Requirements for displacement function,(1) 常数项,(2) 线性项,(3
6、) 位移连续性,(4) 几何各向同性,1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5,收敛(convergence),位移函数应满足的条件,充分条件,位 移,载 荷,几何方程,物理方程,基本未知量,解题思路,2、单元应变和应力 (element strain and stress),(l=i，j，m),应变矩阵,bi、 bj 、 bm ci、 cj、 cm,常数矩阵,与单元形状有关,应力矩阵,基本未知量,数量有限！,质点位移 d (x, y),3、单元刚度矩阵 (element stiffness
7、matrix),单元刚阵,单元材料 板的厚度 单元面积 单元形状,常数矩阵,单元平衡方程,单元刚阵的性质,(2) 奇异性(singularity),(1) 对称性(symmetry),二、单元分析 (Element Analysis),目的：形成单元位移、应变、应力表达式, 形成每个单元的刚度矩阵,Question?,Can you obtain qe by solving the equation above?,Why?,线性方程组,三、总刚集成,global stiffness matrix of the structure,内力抵消,总刚矩阵,(s=i，j，m),1、总刚集成原理,K,结
8、构平衡方程,总刚矩阵 (Global Stiffness Matrix),2、总刚集成过程,（1）扩阶过程,（2）叠加过程,3、总刚矩阵的特点,对称性（Symmetry） KT=K 稀疏性（Sparse） 带状性（Band） 奇异性（singularity ） |K|=0,四、载荷移置,Kq=R,Nodal force: Concentrated force at nodes,1、集中力的移置,=,2、面力的移置,3、体力的移置,Question?,Can you obtain q by solving the equation above?,Why?,Kq=R,线性方程组,Kq=R,五、约束
9、处理,消除结构的刚体运动，从而消除K的奇异性,Time consuming!,六、求解线性方程组,七、计算其它物理量,位 移 法,节 点 位 移,无穷数量的质点位移,八、计算结果处理,1=(+)/2 2=(+)/6,1=(+)/2 2=(+)/2,九、结果显示、打印、分析,procedure of static analysis,Discretion,Global stiffness matrix,Load Translation,Results Process & Display,Calculate Other Quantities,Restrain Process,Solve Equations,Element analysis,Discretion,Patch interpolation,Displacement function defined over a element,points : Infinite nodes : finite,Kq=R,qe: basic unknowns,q,Equilibrium equations for each element,Equilibrium equation for whole structure,solve,Summary,Any Question?,The End,