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1、偏微分方程数值解法 7 抛物型方程差分法2,差分格式稳定性概念 显、隐格式稳定性分析 稳定性分析的矩阵方法, ,抛物型方程,简单显式差分格式,在实际应用时,取逐层计算形式.当初始层数据有误差时,误差会逐层传播,影响以后各层的解.,记 的误差为 , 设 无误差, 则有,取,设初始层上,仅有 ,其它点处无误差,在各计算层上,误差传播得到控制,取,设初始层上,仅有 ,其它点处无误差,在各计算层上,误差传播没有得到控制,无穷大范数定义,双层差分格式,记矩阵,双层格式的矩阵形式,双层差分格式初值稳定概念:,任意解都满足,其中 M 与 无关. k k0,简单显式差分格式,稳定性分析,设,此时差分格式稳定,
2、设齐次方程,系数矩阵可逆 ,记 称之为过渡矩阵 ,常系数差分格式,H 的谱半径:,定理: 双层差分格式稳定的必要条件是,存在与 无关的常数 M1 ,使得,定理 若 H = A-1B 为正规矩阵,即 HH* = H*H, 则条件,是双层差分格式按欧氏范数稳定的充分条件,注：欧氏范数(或离散L2范数),简单显式差分格式矩阵形式,过渡矩阵,特征值,过渡矩阵的谱半径,极值点满足,显式差分格式稳定充分条件.,简单隐式差分格式矩阵形式,特征值,过渡矩阵,过渡矩阵的谱半径,隐式差分格式无条件稳定.,C-N 格式矩阵形式,特征值,过渡矩阵的谱半径,C-N 格式是无条件稳定的.,数值实验题 用三种差分格式求 初
3、边值问题数值解,并与准确解比较,显格式,隐格式,C-N格式,数值计算实验,显格式: input T:=1 error = 7.9443e-006 k = 200,CN格式 input T:=1 error = 2.6227e-006 k = 50,T=input(input T:=); h=1/10;ta=1/200; r=ta/(h*h);s=1-2*r; x=0:h:1;N=length(x); t=0;uk=sin(pi*x); II=2:N-1;k=0;,%显格式计算程序,while tT t=t+ta; un=s*uk(II)+r*(uk(II-1)+uk(II+1); uk=0,un,0;k=k+1; end ux=exp(-pi*pi*t).*sin(pi*x); error=max(abs(ux-uk) plot(x,ux,x,uk,:or),