《2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷.理)含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷.理)含答案.docx（23页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、绝密启用前2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）数学试卷 ( 理工农医类 )注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题 : 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数 ylog 2 x2 的定义域是A (3,)B3,)
2、C (4,)D 4,)2.若数列 an 满足 :a11aman , 则, 且对任意正整数 m, n 都有 amn3lim (a1a2an )nA 1B 2C 3D 22323.过平行六面体 ABCDA1B1 C1 D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB 1D1 平行的直线共有A 4条B 6 条C 8 条D12 条4.“ a 1 ”是“函数f ( x) | xa |在区间 1,) 上为增函数”的A充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 D 既不充分也不必要条件5.已知 | a |2 | b |0,且关于 x 的方程 x 2| a | xa b0 有实根 , 则 a 与 b 的夹角
3、的取值范围是A0, B ,C , 2 D , 633366.某外商计划在 4 个候选城市投资3 个不同的项目 ,且在同一个城市投资的项目不超过2 个 , 则该外商不同的投资方案有A16种B36 种C42 种D60 种7.过双曲线 M : x 2y 21 的左顶点 A 作斜率为 1的直线 l ,若 l 与双曲线 M 的两条b2渐近线分别相交于点B,C ,且|AB|BC |,则双曲线 M 的离心率是A10B5C10D5328.设函数f (x)xa集合 M x |f (x) 0, P x | f ( x) 0 ,若 MP ,x,1则实数 a 的取值范围是A (, 1)B (0,1)C (1,)D 1
4、,)9.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,图 1则图中三角形( 正四面体的截面) 的面积是A2B3C 2D32210. 若圆 x 2y 24x4 y 100 上至少有三个不同的点到直线l : ax by 0 的距离为 22 , 则直线 l 的倾斜角的取值范围是， 5， ， AB， CD41230121262注意事项：请用 0.5 毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5 小题，每小题 4分(第 15 小题每空2 分)，共 20 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11.若5380 , 则实数 a 的值是 _.
5、1)的展开式中x 的系数是（ axx112.已知 xy1 0则 x 2y2 的最小值是 _.2xy2013.曲线 y1和 yx 2 在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是x_.14.若 f ( x)a sin( x) b sin(x)(ab0) 是偶函数 , 则有序实数对 (a, b) 可以44是 _.( 注 :写出你认为正确的一组数字即可)15.如图 2,OM / AB,点 P在由射线 OM ,线段 OB 及 AB 的延长线围成的区域内( 不含边界)运动, 且OPxOA yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 _;当x1y 的取值范围是 _.时 ,2PBMAO图 2三、解
6、答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分 12 分）如图3,D 是直角ABC 斜边BC 上一点 ,ABAD ,记CAD,ABC.()证明:sincos 20 ; ( ) 若AC3DC, 求的值 .ABDC图 317. （本小题满分 12 分）某安全生产监督部门对5 家小型煤矿进行安全检查 ( 简称安检 ),若安检不合格 ,则必须整改 .若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭 . 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格的概率是0.5,整改后安检合格的概率是 0.8,计算 ( 结果精确到 0.01);( )恰好有两家煤矿
7、必须整改的概率;( )平均有多少家煤矿必须整改;( )至少关闭一家煤矿的概率 .18. （本小题满分 14 分）如图4,已知两个正四棱锥PABCD 与 QABCD的高分别为1 和2,AB4( )证明 :PQ平面 ABCD;( )求异面直线AQ与 PQ所成的角;( )求点P 到平面QAD的距离.PDCABQ图 419（本小题满分14 分）已知函数 f ( x)xsin x , 数列 an 满足 : 0a1 1 , n 1,2,3,证明() 0an 1an 1 ; ( ) an 11 an3 .620（本小题满分14 分）对 1 个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义
8、为:1污物质量）, 要求清洗完后的清洁度为0.99 .有两种方案可供选物体质量（含污物）为 0.8择, 方案甲 : 一次清洗 ;方案乙 :分两次清洗 . 该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其 质 量 变 为 a(1 a3) . 设 用 x 单 位 质 量 的 水 初 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是x0.8 (x a 1) , 用 y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是yac ,x1ya其中 c (0.8c0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度.( ) 分别求出方案甲以及c0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;( ) 若采用方案乙, 当 a 为某固定值时, 如何安排初次
9、与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小?并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.21（本小题满分14 分）已知椭圆 C1: x2y21 , 抛物线 C 2 : ( y m) 22 px( p 0) , 且 C1, C2 的公共弦43AB 过椭圆 C1的右焦点.( )当 ABx轴时 , 求 m, p 的值 , 并判断抛物线C 2 的焦点是否在直线AB 上 ;( )是否存在m, p 的值 , 使抛物线 C 2 的焦点恰在直线AB 上? 若存在 , 求出符合条件的 m, p 的值 ; 若不存在 , 请说明理由 .答案：DADABDACCB11. 212. 5314. (1, 1)15. (
10、,0)1313.， (, )422三、解答题：本大题共6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分 12 分）如图 3,D 是直角 ABC 斜边 BC 上一点 ,AB=AD,记 CAD= , ABC= .A(1) 证明 sincos 20 ;（2）若 AC=3 DC,求的值 .BDC图 3解： (1) 如图3，( 2)2, sinsin(2)cos2 ，222即 sincos 20 （ 2）在ABC 中，由正弦定理得DCAC,DC3DC . sin3sinsinsin()sinsin由(1) 得 sincos2，sin3 cos23(12sin 2),
11、即 2 3 sin2sin3 0.解得 sin3 或 sin3230, sin3 ,3.2217.（本小题满分 12 分）某安全生产监督部门对5 家小型煤矿进行安全检查 (简称安检 ).若安检不合格 ,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭 .设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算 (结果精确到 0.01):( ) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;( ) 平均有多少家煤矿必须整改;( ) 至少关闭一家煤矿的概率 .解：（）每家煤矿必须整改的概率是1 0.5 ，且每家煤矿是否整改是相互独立的.所以恰好有两家煤矿必
12、须整改的概率是P1C52 (10.5) 20.5350.31 .16（）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5). 从而 的数学期望是E 5 0.5 2.5，即平均有2.50家煤矿必须整改 .( ) 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P2(10.5)(10.8)0.1 ，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是P310.9 50.4118. （本小题满分14 分）如图 4,已知两个正四棱锥P-ABCD 与 Q-ABCD的高分别为 1和 2,AB=4.( ) 证明 PQ平
13、面 ABCD; ( ) 求异面直线 AQ与 PB所成的角 ;( ) 求点 P 到平面 QAD的距离 .PzPDCDCABOBAxyQQ图解法一：（）连结AC、 BD，设 AC BDO . 由 P ABCD 与 Q ABCD都是正四棱锥，所以PO平面 ABCD ，QO 平面 ABCD .从而 P、O、 Q 三点在一条直线上，所以PQ平面 ABCD .（ II ）由题设知， ABCD 是正方形， 所以 ACBD 由（ I），PQ平面 ABCD ，故可以分别以直线CA 、DB 、QP 为 x轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 （如上图） ，由题设条件，相关各点的坐标分别是P(0,0,1) ，
14、Q(0,0, 2) ， B(0,2 2,0)所以AQ (22,0,2), PB(0, 22, 1),于是 cosAQ,PBAQPB3 .AQPB9从而异面直线AQ 与 PB 所成的角是 arccos3 .9( ) 由（），点D 的坐标是（0， 2 2 ，0）， AD(22,22,0) ，PQ(0,0, 3) ，设 n ( x, y, z) 是平面 QAD 的一个法向量，由n AQ02 xz0得y0.n AD0x取 x=1，得 n(1, 1,2 ) .所以点 P 到平面 QAD 的距离 dPQ n32 . .n2解法二：（）取 AD 的中点 M，连结 PM ， QM. 因为 P ABCD 与 Q
15、 ABCD都是正四棱锥，所以AD PM ， AD QM . 从而 AD 平面 PQM.又 PQ 平面 PQM ，所以 PQ AD . 同理 PQ AB，所以 PQ平面 ABCD .（）连结AC、 BD 设 ACBDO，由 PQ平面 ABCD 及正四棱锥的性质可知O 在PQ 上，从而取 OC 的中点P、 A、Q、C 四点共面N ，连结 PN.因为 PO1, NONO1，所以PONO ，POQ2OAOC2OQOA从而 AQ P. BP（或其补角）是异面直线AQDC与 PB 所成的角 .连接 BN ，MOBOB2 OP22) 2A因为 PB(213 PNON 2OP2(2) 213QBNOB2ON
16、2(22) 2(2) 210所以 cosBPNPB2PN 2BN 293103 2PB PN2339从而异面直线AQ 与 PB 所成的角是arccos3 9( ) 由（）知，AD平面 PM，所以平面PM 平面 QAD .过作于，则平面QAD ，所以的长为点P 到平面 QAD 的距离1OQ . 所以 MQP45 ，连结 OM，则 OMAB 22又，于是32PH PQ sin 45.2即点 P 到平面 QAD 的距离是 32 .219. （本小题满分14 分）已知函数f ( x)x sin x,数列 an 满足 :0 a1 1,an1f (an ), n1,2,3, .证明 :（ I） 0 an
17、1an 1;an 113（II ）6an .证明 :（ I）先用数学归纳法证明0an1 ， 1,2,3,(i).当 n=1 时 , 由已知显然结论成立 .(ii).假设当 n=k 时结论成立 , 即 0ak1. 因为 0x0成立 . 于是 g( an )0,即 sin an an1an30 故 an 1 16an3 620. （本小题满分 14分）对 1 个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁度 (含污物体污物质量的清洁度定义为:1 )为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99.有两种方物体质量 (含污物 )案可供选择 ,方案甲 :一次清洗 ;方案乙 :两次清洗 .该物体初次清洗后受残留水
18、等因素影响 , 其 质 量 变 为 a (1 a 3). 设 用 x 单 位 质 量 的 水 初 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是x0.8 (xa 1 ), 用 y 质 量 的 水 第 二 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是 y ac ,其 中x1yac( 0. 8 c是该物体初次清洗后的清洁度 .0. 99( ) 分别求出方案甲以及 c0.95 时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少;( ) 若采用方案乙 , 当 a 为某定值时 , 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最少 ?并讨论 a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解： ( ) 设方案甲与方案乙的用水量分别为x
19、 与 z, 由题设有 x0.8 =0.99,解得 x=19.由 c0.95 得方案乙初次用水量为x13,第二次用水量 y 满足方程 :y0.95a0.99, 解得 y=4 a , 故 z=4a+3. 即两种方案的用水量分别为19与 4a +3.ya因为当 1a 3时, xz 4(4 a)0,即 xz ,故方案乙的用水量较少 .（ II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与 y ，类似（ I）得x5c4 ， ya(99 100c) （ * ）5(1 c)于是 x5c41100a(1c)a1y+ a(99 100c)5(15(1c)c)当 a为定值时 , x1100a(1 c) a1a45a1
20、,y 25(1 c)1当且仅当100a(1 c) 时等号成立 . 此时5(1c)c11(不合题意 , 舍去 )或 c 115a(0.8,0.99),10105a将 c11代入（ * ）式得 x 2 5a 1a 1, y 2 5a a.105a故 c11时总用水量最少 ,此时第一次与第二次用水量分别为105a25a1与25aa ,最少总用水量是T (a)a4 5a1 .当 1a3时,T ( a)2 510,故 T(a )是增函数 (也可以用二次函数的单调a性判断 ).这说明 ,随着 a 的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量 .21. （本小题满分14 分）已知椭圆C1: x2y21,抛
21、物线 C2: ( ym)22 px( p0) ,43且 C1、 C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点 .2 的焦点是否在直线上；()当 x 轴时,求 m 、p的值，并判断抛物线ABABC( ) 是否存在 m 、 p 的值，使抛物线C2 的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m 、 p 的值；若不存在，请说明理由 .解：（）当 AB x 轴时，点 A、 B 关于 x 轴对称，所以m 0，直线 AB 的方程为：x =1，从而点 A 的坐标为（ 1， 3 ）或（ 1，3） . 因为点 A 在抛物线上 .22所以 92 p ，即 p9 . 此时 C2 的焦点坐标为 （ 9，0），该焦点不
22、在直线AB 上.4816（II ）解法一：假设存在 m 、 p 的值使 C2 的焦点恰在直线AB上，由（ I）知直线 AB的斜率存在，故可设直线AB 的方程为 yk( x1) yk ( x1)由 x2y 2消去 y 得 (3 4k 2 ) x2 8k2 x4k 2 12 0 431设 A、 B 的坐标分别为（ x1, y1） , （x2, y2 ）,yA则 x1, x2 是方程的两根，x1 x28k 2.34k 2Ox( ym)22 px由yk(x1)B消去 y 得 (kxkm)22 px . 因为 C2的焦点F(pmk(x 1) 上，2, ) 在直线 yk ( pkp . 代入有 ( kx
23、kp)2所以 m1)，即 m k2 px .222k 2 x2p( k 22) xk 2 p20 .4x1, x2x1 x2 p( k 22) .k 28k222) .p8k2p(k(4k 23)( k234k2k 22)ABC1、 C2AB ( x1p ) ( x2p) x1x2p (2 1 x1) (2 1 x2 )2222p 43 (x1 x2 )412k 234k 212 .24k 24k238k 22)4k212k 45k 26 0(4 k23)( k 24k 23k 26.k6, p4 .32C22,my6( x1)m6( 1).F (3)3m6 m633m pm6 m6 p4333 AB( x1 , y1 )( x2 y2 )ABC1C2pF (1,0)F(,m)2AB (x1p) (x2p) x1x2 p (21 x1 ) (21 x2 ) .2222x1 x22(4 p) .3y2y1m0 2mx1x2 , p2ABkx2x1p1p 22ABy2m ( x1) ,p 2y1y22m ( x1 x22)4m(1p) .p23( p2)3x124y12123(x1x2 )4( y1y2 ) y2y10 .3x224y2212x2x1m23( p4)( p2)216(1p)( y1 m) 22 px1y1y2