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1、突破点 2解三角形提炼 1常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解提炼 2三角形形状的判断(1)从边出发，全部转化为边之间的关系进行判断(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理， 且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解提炼 3 三角形的常用面积公式 设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，其面积为 S.1
2、11(1)S 2aha2bhb2chc(ha，hb，hc 分别表示 a，b，c 边上的高 )111(2)S 2absin C2bcsin A2casin B.1(3)S 2r(abc)(r 为三角形 ABC 内切圆的半径 )回访 1正、余弦定理的应用1(2016 全国乙卷 )ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 a25，c2，cos A 3，则 b()1A.2B. 3C.2D.3D由余弦定理得5 b242b22，3解得 b3 或 b13(舍去 )，故选 D.2(2016 全国甲卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 cos A45 5， cos
3、C13，a1，则 b_.21 在 ABC 中， cos A 4， cos C 5 ，13 513 sin A35，sin C1213，sin B sin(A C) sin Acos Ccos Asin C3513541263 5 1365.63abasin B16521又 sin A sin B， b sin A313.5回访 2三角形的面积问题3(2013 全国卷 )ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2， B6， C4，则 ABC 的面积为 ()A2 32B.31C.23 2D.3 1 7B B6，C4， A B C 64 12.由正弦定理 b c，得2c，
4、sin Bsin Csin 6sin 4即2 c ， c22.1222117S ABC2bcsin A2222sin1231.故选 B.回访 3正、余弦定理的实际应用24(2014 国卷全 )如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角 MAN 60，C 点的仰角 CAB45以及 MAC75；从 C 点测得 MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.图150 根据图示， AC100 2 m.在 MAC 中， CMA 18075 60 45.ACAM由正弦定理得? AM100 3 m.MN在 AMN 中， AM sin 60 ，3
5、MN 100 3 2 150(m)热点题型 1正、余弦定理的应用题型分析：利用正、余弦定理解题是历年高考的热点，也是必考点，求解的关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化(2016 四川高考 )在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是a，b，cos Acos Bsin Cc，且abc.(1)证明： sin Asin Bsin C；2226(2)若 b c a 5bc，求 tanB.abc解 (1)证明：根据正弦定理，可设 sin A sin B sin C k(k0)则 a ksin A，bksin B， cksin C，3cos A cos Bsin C代入a b c中，有cos A
6、cos B sin C ， 2 分ksin Aksin Bksin C即 sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB).4 分在 ABC 中，由 A BC，有 sin(A B)sin( C) sin C，所以 sin Asin Bsin C.6 分2226(2)由已知， bca5bc，根据余弦定理，有cos Ab2 c2a23，8 分2bc52 4所以 sin A 1cos A5.9 分由(1)知 sin Asin Bsin AcosB cosAsin B，443所以 5sin B5cos B5 sin B，11 分故 tan B sin B 4.12 分cos
7、B关于解三角形问题， 一般要用到三角形的内角和定理， 正、余弦定理及有关三角形的性质， 常见的三角变换方法和原则都适用， 同时要注意 “三统一 ”，即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ”，这是使问题获得解决的突破口变式训练 1(1)在 ABC 中， a，b， c 分别为内角 A，B， C 的对边，已知1sin Aa2，c3，cos B4，则 cos C_.【导学号： 85952013】2 15 由余弦定理 b2a2c2 2accos B，5得 b22232 2 2 3 14 10，所以 b 10.222由余弦定理，得 cos C ab c 4109 102ab2 2 108 .因为 B 是 A
8、BC 的内角，4215所以 sin B1cosB4.abB，得 sin A6sin A2 15由正弦定理 sin Asin4，所以 cos C5 .(2)在 ABC 中， a， b，c 分别为内角 A， B， C 的对边，且 acos Bbcos(B C)0.证明： ABC 为等腰三角形；若 2(b2c2 a2) bc，求 cos Bcos C 的值解 证明： acos B bcos (BC) 0，由正弦定理得 sin Acos Bsin Bcos( A) 0，即 sin Acos Bsin Bcos A0，3 分 sin(AB)0， A Bk，k Z .4 分A，B 是 ABC 的两内角，
9、AB0，即 AB，5 分 ABC 是等腰三角形 .6 分由 2(b2c2 a2) bc，b2 c2a21得2bc4，7 分1由余弦定理得 cos A4，8 分27cos Ccos( 2A) cos 2A 1 2cos A8.10 分1AB， cos Bcos A4，11 分179cos Bcos C 4 8 8.12 分热点题型 2三角形面积的求解问题题型分析：三角形面积的计算及与三角形面积有关的最值问题是解三角形的重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等2(2015 山东高考 )设 f(x)sin xcos x cos x4 .(1)求 f(x)的单调区间；5A(2)
10、在锐角 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 f 2 0，a1，求 ABC 面积的最大值恒等变换【解题指导】(1)f(x) f(x)Asin(x )k 求 f(x)的单调区间化归思想A锐角三角形余弦定理基本不等式(2)f0 求 A建立 b， c 的等量关系 2正弦定理求 bc 的最大值 求 ABC 的面积解 (1)由题意知1cos2x2f(x) sin 2x22sin 2x 1 sin 2x122sin 2x2.2分由2 2k2x2 2k， k Z ，可得 4 kx4 k， k Z .由2332k2x 2 2k， k Z ，可得4 kx4 k，kZ .4分所以 f(x) 的
11、单调递增区间是 k， k(k Z )；单调递减区间是443分 k，kZ ).644(kA11(2)由 f2 sin A20，得 sin A2，7分3由题意知 A 为锐角，所以 cos A 2 .8 分由余弦定理 a2b2 c22bccos A，可得 1 3bcb2c2 2bc，10 分即 bc23，当且仅当 bc 时等号成立12 3因此2bcsin A4，所以 ABC 面积的最大值为2 34.12 分1在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换6转化为 yAsin(x) B(或 yAcos(x) B， y Atan(x) B)的形式，进而利用函数 ysin x(或 y co
12、s x， y tan x)的图象与性质解决问题2在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a2 b2 c2 2bccos A 中，有 a2 c2 和 ac 两项，二者的关系 a2c2 (ac)2 2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值变式训练 2(名师押题 )在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，1aa4cos C，b1.21(1)若 sin C 7，求 a，c；(2)若 ABC 是直角三角形，求 ABC 的面积解(1)sin C 21， cos2 2 4， cos C2.1分7C1sin C7714cos Caa， 8 a1，解得 a7或 a7 分7a7 .3又1a4cos C4a2b2c24a2 1 c2，a2ab2aa2 1 2(a21c2)，即 2c2a21.5 分当 a7时， c2；当 a 1 时， c 2 .6 分77(2)由 (1)可知 2c2a2 1.又 ABC 为直角三角形， C 不可能为直角若角 A 为直角，则 a2 b2c2c2 1， 2c2 1c2 1， c 2，a 3，8 分112S2bc2122 .9分若角 B 为直角，则 b2 a2c2，a2 c21.7 2c2 a2 1 (1c2) 1， c2 23， a213，即 c 36，a 33，11 分11632S2ac2336 .12分8