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1、2016全国卷 (理科数学 )1L4 2016 全国卷 已知 z (m 3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A (3，1)B (1， 3)C (1， )D (， 3)1 A 解析 由题易知 m 30 ， m 10，解得 3m1.2A1 2016 全国卷 已知集合A 1 ，2，3 ，B x|(x1)(x 2)0 ，x Z ，则 A B ()A 1B 1， 2C 0 ， 1， 2，3D 1，0，1，2，32C解析 B x|(x 1)(x 2)0 ，x Z x| 1xn；第二次运算， a 2，s 2 2 2 6， k2，不满足 kn；第三次运算，a 5，s
2、6 2 5 17， k3，满足 kn，输出 s 17.39 C62016 全国卷 若 cos（ 4 ）5，则 sin2 ()71A. 25B.517C5D 2532 79D解析 cos（ 4 ） 5， sin2 cos（ 2 2） 2cos （ 4 ） 125.10 K3 2016 全国卷 从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，, ， xn，y1，y2，, ， yn，构成 n 个数对 (x1，y1)， (x2， y2)， (xn， yn)，其中两数的平方和小于1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ()4n2nA. m B. m4m2mC. n D. n1
3、0 C 解析 由题意可知 ( xi ， yi)(i 1， 2， , ， n)在如图所示的正方形中，两数平方和小于 1 的点在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知4 m， 4m.1nn2016全国卷 (理科数学 )3x2y211 H6 2016 全国卷 已知 F1， F2 是双曲线E： a2 b2 1 的左、右焦点，点M 在 E上， MF 1 与 x 轴垂直， sin MF 2F11，则 E 的离心率为 ()33A.2B.2C.3D 2|F1F2|，由正弦定理得e |F1F2|MF 2 |MF 1|11 A 解 析 易 知 离 心 率 e |MF 2 | |MF 1|22sin F 1MF
4、23 2.sin MF 1F2 sin MF 2F 111 312 B82016 全国卷 x 1与 y已知函数 f(x)(xR )满足 f( x) 2 f(x)，若函数 y xf(x) 图像的交点为 ( x1， y1)， (x2， y2)， , ， (xm， ym)，则（ xi yi) ()A 0B mC 2mD 4mx 1112 B 解析 由 f( x) 2 f(x) 得 f(x) 的图像关于点 (0， 1)对称， y x 1 x的图像也关于点 (0， 1)对称，两函数图像的交点必关于点 (0 ，1)对称，且对于每一组对称点 (xi，yi)和 (xi，yi)均满足xixi 0， yi yi2
5、，m 02 m.2413C8 2016 全国卷 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 cosA 5，cosC 135，a 1，则 b _21解析 cosA 4， cosC 5 ，且 A，C 为三角形的内角，sinA 3， sinC 12，13.13513513 sinB sin(A C) sinAcosC cosAsinC 63. 652016全国卷 (理科数学 )4由正弦定理得sinBb sinAa，解得 b 2113.14 G4， G5 2016 全国卷 ，是两个平面，m， n 是两条直线，有下列四个命题：如果 m n，m ， n，那么 .如果 m ， n ，那么 m n
6、.如果 ， m? ，那么 m .如果 m n，那么 m 与 所成的角和n 与 所成的角相等其中正确的命题有_ ( 填写所有正确命题的编号)14 解析 对于， m n， m ， n ，则 ， 的位置关系无法确定，故错误；对于，因为 n ，所以可过直线 n 作平面 与平面 相交于直线 c，则 n c，因为 m ，所以 mc，所以 m n，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知其正确；对于，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确故正确的有.15 M1 2016 国卷全 有三张卡片，分别写有1 和 2， 1 和 3， 2 和 3，甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的
7、数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_15 1 和 3解析 由题意得，丙不拿2 和 3.若丙拿 1 和 2，则乙拿2 和 3，甲拿 1 和 3，满足题意；若丙拿 1 和 3，则乙拿2 和 3，甲拿 1 和 2，不满足题意故甲卡片上的数字是1和3.16 B122016 国卷全 若直线y kx b 是曲线yln x 2 的切线，也是曲线y ln(x 1)的切线，则 b _16 1 ln2解析 曲线 y lnx 2的切线为 y1 x lnx1 1(其中 x1 为切点横坐标 )，x1曲线 y ln(x 1)的
8、切线为 y1x ln( x 1)x2(其中 x2为切点横坐标 )x2 12x2 111由题可知x1 x2 1，x2 ，lnx1 1 ln（ x2 1）x2 1x11，2解得1x2 ， b lnx1 1 1 ln2.17 D22016 国卷全 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，且 a1 1， S7 28.记 bn lg an，其中 x 表示不超过 x 的最大整数，如 0.9 0， lg99 1.(1)求 b1， b11， b101；(2)求数列 bn 的前 1000 项和17 解： (1)设 an 的公差为 d，据已知有7 21d28，解得 d 1，所以 an 的通项公式为 an n.故
9、b1 lg1 0， b11 lg11 1， b101 lg101 2.2016全国卷 (理科数学 )50， 1 n 10，1， 10 n100，(2) 因为 bn2， 100n 1000，3， n 1000，所以数列 bn 的前 1000 项和为 1 90 2 900 31 1893.18 K1 ， K6 ， K8 2016全国卷 某险种的基本保费为a(单位：元 )，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234 5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数01234
10、5概率0.300.150.200.200.100.05(1) 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2) 若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3) 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值18解： (1) 设 A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件 A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 P(A) 0.20 0.200.10 0.05 0.55.(2) 设 B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故 P(B) 0.10 0.050.15.又 P(AB) P(B)，故 P
11、(B|A) P（ AB） P（ B） 0.15 3 ，P（A）P（ A）0.5511因此所求概率为311.(3) 记续保人本年度的保费为X，则 X 的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05EX 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.19 G5， G112016全国卷 如图 1-4，菱形ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O， AB 5，AC 6，点 E，F 分别在 AD ，CD
12、上， AE CF 54，EF 交 BD 于点 H ，将 DEF 沿 EF折到 D EF 的位置， OD10.(1) 证明： D H平面 ABCD ；(2) 求二面角 B- DA-C 的正弦值2016全国卷 (理科数学 )6图 1-419 解： (1)证明：由已知得AC BD ， ADCD .又由 AE CF 得 AE CF ，故 AC EF.ADCD因此 EF HD ，从而 EF DH.由 AB 5， AC 6 得 DO BO AB2 AO2 4. 由 EFAC 得OHAE 1，DOAD4所以 OH 1， D H DH 3.于是 DH2 OH 2 32 12 10 D O2，故 D HOH.又
13、 D H EF，且 OH EFH ，所以 DH平面 ABCD .(2) 如图，以 H的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz，则为坐标原点， HFH(0，0， 0)， A(3， 1， 0)，B(0， 5，0)， C(3， 1， 0)， D(0，0， 3)，AB (3， 4， 0)， AC (6， 0，0)， AD (3，1， 3)设 m (x1，y1， z1)是平面 ABD 的法向量，则 0，3x1 4y1 0，mAB即3x1 y13z1 0， 0，mAD 所以可取 m(4 ，3， 5)6x2 0，设 n (x2， y2， z2)是平面 ACD的法向量，则nAC 0， 0，即3x
14、2 y2 3z2 0，nAD 所以可取 n (0， 3， 1) 147 5， sinm， n 2 95于是 cos m， n mn |m|n| 50 102525 .因此二面角 B-D A-C 的正弦值是29525 .22x y 1 的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左顶点，斜20 H8 2016 全国卷 已知椭圆 E： t32016全国卷 (理科数学 )7率为 k(k0) 的直线交E 于 A，M 两点，点N 在 E 上， MA NA.(1) 当 t 4， |AM | |AN|时，求 AMN 的面积；(2) 当 2|AM | |AN |时，求 k 的取值范围20 解： (1)设 M(x1，
15、y1)，则由题意知y10.22当 t4 时，椭圆 E 的方程为 x y 1，A( 2， 0)43AM 的倾斜角为由已知及椭圆的对称性知，直线4 ，因此直线AM 的方程为y x 2.2 2将 x y 2 代入 x4 y3 1 得 7y212y 0，解得 y 0 或 y 12，所以 y1 12.77因此 AMN 的面积 SAMN112121442 7749.222x y 1 得(2) 由题意知 t3， k0， A( t ， 0)将直线 AM 的方程 y k( x t)代入 t322222(3 tk )x 2 t tkx t k 3t 0.由 x1 (t2k2 3tt（ 3 tk2）t)2 得 x1
16、2，3 tk3 tk故 |AM| |x1 t|26 t（ 1 k2）1k2.3 tk由题设知，直线AN 的方程为 y1(xt)，故同理可得 |AN|6k t （1 k2）k2 t.3k由 2|AM| |AN|得22k33 tk2，即(k 2)t 3k(2k 1)3k t当 k 32时上式不成立，因此3k（ 2k 1）t3 2.kk3 2k2 k 2（ k 2）（ k2 1）k 2t3 等价于k3 2k3 20，即 k3 20 ，k 20，3由此得k3 20或解得2k0，因此 k 的取值范围是 (32， 2)21 B122016 全国卷 (1)讨论函数 f( x)x 2 xx0时， (x2)ex
17、xe 的单调性，并证明当2 x 20.(2) 证明：当 a0，1)时，函数 g(x)ex ax a(x0) 有最小值 设 g(x) 的最小值为 h(a) ，2x求函数 h(a) 的值域21 解： (1)f(x)的定义域为 (， 2) ( 2， )f (x)x2ex2 0，（ x2）2016全国卷 (理科数学 )8当且仅当x 0 时， f(x) 0，所以 f(x) 在(， 2)，( 2， )上单调递增因此当 x (0， )时， f(x)f(0) 1.所以 (x 2)ex (x2) ，即 (x 2)exx20.(2) 证明： g(x)（x 2） ex a（ x 2）x 233f(x)a xx由 (
18、1) 知， f(x) a 单调递增，对任意 a 0， 1)， f(0) a a 10， f(2) aa 0，因此，存在唯一xa (0， 2，使得 f(xa) a 0，即 g(xa)0.当 0xxa 时， f(x) a0，g(x)xa 时， f(x) a0，g(x)0， g(x)单调递增因此 g(x)在 x xa 处取得最小值，最小值为 a（ x 1） f（ x ）（ x 1）g(xa) exa2a exaa 2a exa2，xaxaxaxxx于是 h(a) exa.由 e（x 1） e（ x 2）2 0( x0) ，可知 y e (x0) 单调递增，xa 2x2x20h(a) exa22所以，
19、由 xa(0 ，2，得 1 e e e .202xa 22 24x2因为 y e单调递增，对任意（1， e ，存在唯一的xa (0， 2， a f(xa) 0，x22 41e21)，使得 h( a) ，所以 h(a)的值域是（，.242综上，当a 0， 1)时， g(x)有最小值h(a)， h(a)的值域是（ 12，e4 .22 N12016 国卷全 选修 4-1：几何证明选讲如图 1-5，在正方形ABCD 中，E，G 分别在边 DA ，DC 上 (不与端点重合)，且 DE DG，过 D 点作 DF CE，垂足为 F.(1) 证明： B， C， G， F 四点共圆；(2) 若 AB 1， E
20、为 DA 的中点，求四边形BCGF 的面积图 1-522解： (1) 证明：因为 DF EC，所以 DEF CDF ，则有 GDF DEF FCB，DF DEDG，CFCDCB所以 DGF CBF ，由此可得 DGF CBF ，因此 CGF CBF 180，所以B，C， G， F 四点共圆(2) 由 B， C， G，F 四点共圆， CGCB 知 FG FB，连接 GB.由 G 为 Rt DFC 斜边 CD 的中点，知GF GC，故 Rt BCG Rt BFG ，因此，四边111形 BCGF 的面积 S 是 GCB 面积 S GCB 的 2 倍，即 S 2SGCB 2 1 .2222016全国卷
21、 (理科数学 )923 N32016 国卷全 选修 4-4：坐标系与参数方程22(1) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2) 直线 l 的参数方程是x tcos ，10，求 ly tsin (t 为参数 )， l 与 C 交于 A， B 两点， |AB|的斜率23 解： (1)由 xcos ，y sin 可得圆 C 的极坐标方程为2 12cos 11 0.(2) 在 (1)中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 ( R)2设 A，B 所对应的极径分别为， ，将 l 的极坐标方程代入圆C 的极坐标方程得 1212cos 11 0，于是 1 212cos
22、， 1 2 11，所以 |AB| | ）24 144cos2 44.12|121 2（ 由 |AB| 10得 cos2 3，则 tan 15，83所以 l 的斜率为15153 或3 .24 N42016 全国卷 选修 4-5：不等式选讲已知函数 f(x)11，M 为不等式 f(x)2x 2 x 2的解集(1) 求 M；(2) 证明：当 a， b M 时， |a b|1 ab|. 2x， x 1，224 解： (1)f(x)1，1x1，2212x， x 2.当 x 12时，由 f( x) 2 得 2x2，解得 x 1；当 1 x1时， f( x) 2；2 2当 x 12时，由 f(x) 2 得 2x 2，解得 x 1.所以 f( x) 2 的解集 M x| 1 x1 (2) 证明：由 (1) 知，当 a， b M 时， 1 a1， 1b 1，从而 ( a b)2 (1 ab)2 a2 b2 a2b2 1(a2 1)(1 b2 ) 0，因此 |a b| |1 ab|.2016全国卷 (理科数学 )10